山东省宁阳第四中学2025年数学高二第一学期期末检测试题含解析

山东省宁阳第四中学2025年数学高二第一学期期末检测试题考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．若椭圆的短轴为,一个焦点为,且为等边三角形的椭圆的离心率是A. B.C. D.2．已知数列的前项和满足，记数列的前项和为，.则使得的值为（）A. B.C. D.3．南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中，提出了一些新的垛积公式，所讨论的高阶等差数到与一般的等差数列不同，前后两项之差并不相等，但是逐项差数之差或者高次差成等差数列．如数列1，3，6，10，前后两项之差组成新数列2，3，4，新数列2，3，4为等差数列、这样的数列称为二阶等差数列．现有二阶等差数列，其前7项分别为2，3，5，8，12，17，23则该数列的第100项为（）A.4862 B.4962C.4852 D.49524．高二某班共有60名学生，其中女生有20名，“三好学生”人数是全班人数的，且“三好学生”中女生占一半.现从该班学生中任选1人参加座谈会，则在已知没有选上女生的条件下，选上的学生是“三好学生”的概率为（）A. B.C. D.5．下列结论中正确的有（）A.若，则 B.若，则C.若，则 D.若，则6．已知数列为等差数列，则下列数列一定为等比数列的是（）A. B.C. D.7．如图所示，在平行六面体中，，，，点是的中点，点是上的点，且，则向量可表示为（）A. B.C. D.8．抛物线的准线方程为（）A. B.C. D.9．已知点，点关于原点对称点为，则（）A. B.C. D.10．在中，角，，所对的边分别为，，，若，，，则A. B.2C.3 D.11．过点，的直线的斜率等于1，则m的值为（）A.1 B.4C.1或3 D.1或412．已知，，，则的大小关系是（）A. B.C. D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．圆心为直线与直线的交点，且过原点的圆的标准方程是________14．设函数，则___________.15．若在上是减函数，则实数a的取值范围是_________.16．设，若，则S＝________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知命题p：，命题q：.（1）若命题p为真命题，求实数x的取值范围.（2）若p是q的充分条件，求实数m的取值范围；18．（12分）如图，在四棱锥中，侧面底面，是以为斜边的等腰直角三角形，，，，点E为的中点.（1）证明：平面；（2）求二面角的余弦值.19．（12分）在等差数列中，（1）求数列的通项公式；（2）设数列是首项为1，公比为2的等比数列，求数列的前项和.20．（12分）已知椭圆的一个焦点坐标为，离心率为（1）求椭圆C的标准方程；（2）O为坐标原点，点P在椭圆C上，若的面积为，求点P的坐标21．（12分）自2021年秋季起，江西省普通高中起始年级全面实施新课程改革，为了迎接新高考，某校举行物理和化学等选科考试，其中600名学生化学成绩（满分100分）的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组．已知图中前三个组的频率依次构成等差数列，第一组和第五组的频率相同（1）求a，b的值；（2）估算高分（大于等于80分）人数；（3）估计这600名学生化学成绩的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）和中位数（中位数精确到0.1）22．（10分）已知直线，圆.（1）若l与圆C相切，求切点坐标；（2）若l与圆C交于A，B，且，求的面积.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【解析】因为为等边三角形,所以.考点：椭圆的几何性质.点评：椭圆图形当中有一个特征三角形，它的三边分别为a,b,c.因而可据此求出离心率.2、B【解析】由，求得，得到，结合裂项法求和，即可求解.【详解】数列的前项和满足，当时，；当时，，当时，适合上式，所以，则，所以.故选：B.3、D【解析】根据题意可得数列2，3，5，8，12，17，23，，满足：，，从而利用累加法即可求出，进一步即可得到的值【详解】2，3，5，8，12，17，23，后项减前项可得1，2，3，4，5，6，所以，所以.所以.故选：D4、C【解析】设事件表示“选上的学生是男生”，事件表示“选上的学生是三好学生，求出和，利用条件概率公式计算即可求解.【详解】设事件表示“选上的学生是男生”，事件表示“选上的学生是‘三好学生’”，则所求概率为.由题意可得：男生有人，“三好学生”有人，所以“三好学生”中男生有人，所以，，故.故选：C.5、D【解析】根据基本初等函数的导数和运算法则分别计算函数的导数，即可判断选项.【详解】A.若，则，故A错误；B.若，则，故B错误；C.若，则，故C错误；D.若，则，故D正确.故选：D6、A【解析】根据等比数列的定义判断【详解】设的公差是，即，显然，且是常数，是等比数列，若中一个为1，则，则不是等比数列，只要，，都不可能是等比数列，如，，故选：A7、D【解析】根据空间向量加法和减法的运算法则，以及向量的数乘运算即可求解.【详解】解：因为在平行六面体中，，，，点是的中点，点是上的点，且，所以，故选：D.8、A【解析】将抛物线的方程化成标准形式，即可得到答案；【详解】抛物线的方程化成标准形式，准线方程为，故选：A.9、C【解析】根据空间两点间距离公式，结合对称性进行求解即可.【详解】因为点关于原点的对称点为，所以,因此，故选：C10、A【解析】利用正弦定理，可直接求出的值.【详解】在中，由正弦定理得，所以，故选A.【点睛】本题考查利用正弦定理求边，要记得正弦定理所适用的基本类型，考查计算能力，属于基础题11、A【解析】解方程即得解.【详解】由题得.故选：A【点睛】本题主要考查斜率的计算，意在考查学生对该知识的理解掌握水平.12、B【解析】利用微积分基本定理计算,利用积分的几何意义求扇形面积得到,然后比较大小.【详解】,表示以原点为圆心，半径为2的圆在第二象限的部分的面积，∴；，∵e=2.71828…>2.7,，，,故选：二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】由，求得圆心，再根据圆过原点，求得半径即可.【详解】由，可得，即圆心为，又圆过原点，所以圆的半径，故圆的标准方程为故答案为：【点睛】本题主要考查圆的方程的求法，属于基础题.14、【解析】由的导数为，将代入，即可求出结果.【详解】因为，所以，所以.故答案为：.15、【解析】根据导数的性质，结合常变量分离法进行求解即可.【详解】，因为在上是减函数，所以在上恒成立，即，当时，的最小值为，所以，故答案为：16、1007【解析】可证f（x）+f（1﹣x）＝1，由倒序相加法可得所求为1007对的组合，即1007个1，可得答案【详解】解：∵函数f（x），∴f（x）+f（1﹣x）1故可得S＝f（）+f（）…+f（）＝1007×1＝1007,故答案为：1007点睛】本题考查倒序相加法求和，推断出f（x）+f（1﹣x）＝1是解题的关键.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）.【解析】（1）由一元二次不等式的解法求得的范围；（2）由p是q的充分条件，转化为集合的包含关系，从而可求实数m的取值范围.【详解】（1）由p：为真，解得.（2）q：，若p是q的充分条件，则是的子集所以.即.18、（1）见解析；（2）【解析】(1)用线线平行证明线面平行，∴在平面PCD内作BE的平行线即可；(2)求二面角的大小，可以用空间向量进行求解，根据已知条件，以AD中点O为原点，OB，AD，OP分别为x、y、z轴建立坐标系﹒【小问1详解】如图，取PD中点F，连接EF，FC﹒∵E是AP中点，∴EFAD，由题知BCAD，∴BCEF，∴BCFE是平行四边形，∴BE∥CF，又CF平面PCD，BE平面PCD，∴BE∥平面PCD；【小问2详解】取AD中点O，连接OP，OB，∵是以为斜边等腰直角三角形，∴OP⊥AD，又平面平面，平面PAD∩平面＝AD，∴OP⊥平面ABCD，∵OB平面ABCD，∴OP⊥OB，由BC∥AD，CD⊥AD，AD＝2BC知OB⊥OD，∴OP、OB、OD两两垂直，故以O原点，OB、OD、OP分别为x、y、z轴，建立空间直角坐标系Oxyz，如图：设|BC|＝1，则B(1，0，0)，D(0，1，0)，E(0，)，P(0，0，1)，则，设平面BED的法向量为，平面PBD的法向量为则，取，，取设二面角的大小为θ，则cosθ＝﹒19、（1）（2）【解析】（1）根据等差数列条件列方程，即可求通项公式；（2）先由等比数列通项公式求出，解得，分组求和即可.【小问1详解】设等差数列的公差为，则，∴，由，∴，∴数列的通项公式为.【小问2详解】∵数列是首项为1，公比为2的等比数列，∴，即，∴，∴.20、（1）（2）或或或【解析】（1）根据已知条件求得，由此求得椭圆的标准方程.（2）根据三角形的面积列方程，化简求得点的坐标.【小问1详解】设椭圆C的焦距为，由题意有，得，，故椭圆C的标准方程为；【小问2详解】设点P的坐标为，由的面积为，有，得，有，得，故点P的坐标为或或或21、（1）（2）90（3）平均值69.5；中位数69.4【解析】（1）由各矩形面积和为1列式即可；（2）由高分频率乘以600即可；（3）由平均数与中位数的估算方法列式即可.【小问1详解】由题意可知：解得小问2详解】高分的频率约为：故高分人数为：【小问3详解】平均值为，设中位数为x，则故中位数为69.422、（1）（2）【解析】（1）求出直线的定点，再由定点在圆上得出