4.8 线段与角中的八大经典模型（举一反三）（教师版）

专题4.8线段与角中的八大经典模型【沪科版2024】TOC\o"1-3"\h\u【模型1单中点模型】 1【模型2相邻双中点模型】 3【模型3相间双中点模型】 8【模型4半角模型】 14【模型5角叠角模型】 21【模型6角夹角模型】 26【模型7单角平分线模型】 32【模型8双角平分线模型】 35模型1：单中点模型条件:C为AB的中点．结论:AC=BC=12AB，AB=2AC=2BC条件:C为AB上一点，D为BC的中点．结论:AD=12(AC+AB)，【模型1单中点模型】【例1】（23-24七年级·安徽合肥·阶段练习）如图，已知B，C两点把线段AD分成2:5:3三部分，M为AD的中点，BM=6cm，求【答案】4【分析】本题主要考查了线段的和差，中点的定义，先根据题意设可设AB=2x cm，BC=5x cm，CD=3x 【详解】解：由B，C两点把线段AD分成2:5:3三部分，可设AB=2x cm，所以AD=因为M是AD的中点，所以AM=所以BM=因为BM=6所以3x解得x=2所以CM=【变式1-1】（23-24七年级·吉林长春·阶段练习）如图，点C在线段AB上，点D是AC的中点，如果CD=4cm，AB=13

【答案】5【分析】本题考查了中点的性质及线段的和差，根据图形得出线段之间的关系是解题的关键．根据线段中点的性质，可求出AC，再根据线段的和差即可得出答案．【详解】解：∵点D是AC的中点，CD=4∴AC=2∵AB=13∴BC=【变式1-2】（2024七年级·全国·专题练习）如图，点B，D都在线段AC上，AB=18，点D是线段AB的中点，BD=3BC【答案】21【分析】本题考查了与线段中点有关的计算、线段的和差，先求出BD=9，再结合BD=3BC【详解】解：因为AB=18，点D是线段AB所以BD=18÷2=9因为BD=3所以BC=9÷3=3所以AC=【变式1-3】（2024七年级·全国·专题练习）如图，AB=10，点C是线段AB延长线上的动点，在线段BC上取一点N使得BN=2CN，点M为线段AC

【答案】是定值，5【分析】此题考查了线段的和差运算，线段的中点有关的计算，解题的关键是熟练掌握线段的和差关系．根据题意设CN=x，则BN=2CN=2x，由点M为线段AC的中点，表示出【详解】解：是定值．理由：设CN=x，则所以BC=3x，所以因为点M为线段AC的中点．所以MC=所以MN=所以MN-模型2：相邻双中点模型条件：C为AB上一点，E，F分别为AC，BC的中点．结论：EF=12条件：C为AB上一点，E，F分别为AB,BC的中点．结论：EF=12【模型2相邻双中点模型】【例2】（23-24七年级·广东广州·期末）如图，点C是线段AB上的一点，点M是线段AC的中点，点N是线段BC的中点．(1)如果AB=12cm，AM=5(2)如果MN=8cm，求【答案】(1)2(2)16【分析】本题考查了线段中点有关的计算．（1）先求出AC，再求出BC，根据线段的中点求出BC的长即可；（2）求出BC=2CN，AC=2【详解】（1）解：∵点M是线段AC的中点，∴AC=2∵AM=5∴AC=10∵AB=12∴BC=（2）解：∵点M是线段AC的中点，点N是线段BC的中点，∴BC=2NC，∵MN=∴AB=【变式2-1】（24-25七年级·河北衡水·期中）如图，已知数轴上A，B两点所表示的数分别为-2和8(1)若点A，B分别以每秒1和3个单位长度的速度向左移动，直接写出移动多少秒时，A，B两点的距离恰好为8？(2)若P为射线BA上的一点（点P不与A，B两点重合），M为PA的中点，N为PB的中点，当点P在射线BA上运动时，线段MN的长度是否发生改变？若不变，请你画出图形，并求出线段MN的长；若改变，请说明理由．(3)在第（2）问的条件下，点P所表示的数是多少时，PN=3【答案】(1)当移动1秒或9秒时，A，B两点的距离恰好为8(2)线段MN的长度不发生变化，其值为5，理由见详解(3)点P所表示的数为12或-7【分析】（1）设A、B两点移动的时间为ts，然后根据题意可分当点B在点A（2）此题可分两种情况讨论，即分MN=MP+NP和（3）分当点P在A、B两点之间运动和点P在点A的左侧运动两种情况求得AP的长，从而求得点P所表示的数．【详解】（1）解：设A、B两点移动的时间为ts，由题意可知ts后点A、B在数轴上所表示的数分别为当点B在点A的右侧时，则有8-3t--当点B在点A的左侧时，则有-2-t-综上所述：当移动1秒或9秒时，A，B两点的距离恰好为8；（2）解：线段MN的长度不发生变化，其值为5．∵M为PA的中点，N为PB的中点，∴MP=分下面两种情况：①当点P在A、B两点之间运动时（如图）．MN====5；②当点P在点A的左侧运动时（如图）．MN====5．综上所述，线段MN的长度不发生变化，其值为5．（3）解：当点P在A、B两点之间运动时PN=3∵MP=∴AP=又∵AP解得：AP=14AB=当点P在点A的左侧运动时PN=3同理得：AP=∵BP解得：AP=此时点P所表示的数为-7【点睛】本题考查了一元一次方程的应用及数轴的知识，由于引进了数轴，我们把数和点对应起来，也就是把“数”和“形”结合起来，二者互相补充，相辅相成，把很多复杂的问题转化为简单的问题，在学习中要注意培养数形结合的数学思想．【变式2-2】（2024七年级·全国·专题练习）（1）如图，已知AB=12cm，点C为线段AB上的一个动点，D、E分别是AC、①若点C恰为AB的中点，则DE=②若AC=4cm，则（2）如图，点C为线段AB上的一个动点，D、E分别是AC、BC的中点；若AB=a，则【答案】（1）①6；②6；（2）a【分析】本题考查了两点间的距离、线段的和差、线段的中点等知识点，掌握同一条直线上的两条线段的中点间的距离等于这两条线段和的一半成为解题的关键．（1）①根据线段的中点性质可得AC=CB=12AB=6、CD=12AC=3、（2）根据线段的中点性质可得AD=【详解】解：（1）①∵AB=12cm，点C恰为∴AC=∵D、E分别是AC、BC的中点,∴CD=12∴DE=3+3=6(②∵AB=12cm，∴CB=12-4=8∵D、E分别是AC、BC的中点,∴CD=12∴DE=2+4=6(故答案为：6，6；（2）∵点D、E分别是AC、BC的中点，∴AD=∴DE=故答案为：12【变式2-3】（23-24七年级·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知点B在直线AP上，点M，N分别是线段AB,(1)如图①，点B在线段AP上，AP=15，求MN(2)如图②，点B在线段AP的延长线上，AM-PN=3.5，点C为直线AB上一点，CA【答案】(1)MN(2)3或10【分析】本题考查与线段中点有关的计算：（1）根据中点的定义，推出MN=（2）根据中点的定义和线段的和差关系求出AP的长，分点C在点P的右侧，点C在点A，P之间，点C在点A的左侧，三种情况进行讨论求解即可．【详解】（1）解：由题意，得BM=12所以MN=因为AP=15所以MN=（2）由题意，得AM=12所以AM-所以AP=7当点C在点P的右侧时，CA+CP=(CP+当点C在点A，P之间时，CA+当点C在点A的左侧时，CA+CP=CA+(所以CP=综上所述，CP的长为3或10．模型3：相间双中点模型条件:E，F分别为AC，DB的中点．结论:EF=12(AB+CD)=12(a+b【模型3相间双中点模型】【例3】（23-24七年级·四川自贡·期末）如图，A，B，C，D是直线l上的四个点，M，N分别是AB，CD的中点．(1)如果MB=2cm，NC=1.8cm，BC=5cm(2)如果MN=10cm，BC=6cm，则AD(3)如果MN=a，BC=【答案】(1)12.6；(2)14；(3)2a【分析】（1）根据线段的和，可得MB+CN的长，根据线段中点的性质，可得AB与MB的关系，CD与（2）先根据线段的和与差，计算出BM+CN的长，再根据线段中点的性质，可得AB与MB的关系，CD与（3）根据（2）的解题过程，即可解答；此题主要考查了线段中点的定义，线段的计算，理解线段中点的定义，熟练掌握线段的计算是解题的关键．【详解】（1）解：∵MB=2cm，∴MB+∵M，N分别是AB，CD的中点，∴AB=2BM，∴AB+∴AD=故答案为：12.6；（2）解：∵MN=10cm，∴BM+∵M，N分别是AB，CD的中点，∴AB=2BM，∴AB+∴AD=故答案为：14；（3）解：∵MN=a，∴BM+∵M，N分别是AB，CD的中点，∴AB=2BM，∴AB+∴AB+∵AD=∴AD=2【变式3-1】（24-25七年级·广东江门·期中）已知线段AB=6，延长AB至点C，使BC=AB，反向延长线段AB至(1)按题意画出图形，并求出CD的长；(2)若M、N分别是AD、BC的中点，求MN的长．【答案】(1)18(2)12【分析】本题考查了线段的和与差以及线段中点的意义，结合图形解题会变得形象直观．（1）根据题意画出图形．可知AD=AB=（2）根据线段中点的意义，根据线段的和与差进一步解决问题．【详解】（1）解：画图如下：∵BC=∴CD==3×6=18；（2）如图：∵M、N分别是AD、BC的中点，∴AM=12∴MN=【变式3-2】（23-24七年级·湖北武汉·阶段练习）已知，点D为线段AB的中点．

(1)如图1，若AB=4cm，点C为线段AD的中点，则BC=(2)如图2，若点E在线段AB上，且EB=5DE，求(3)若AB=a，点E在直线AB上，且BE=b(a>b)【答案】(1)3(2)35或(3)FD=1【分析】本题主要考查了线段中点的有关计算，线段之间的数量关系，解题的关键是熟练掌握中点的定义，数形结合．（1）根据线段中点定义，数形结合，进行计算即可；（2）分两种情况进行讨论：当点E在点D的左侧时，当点E在点D的右侧时，分别画出图形，求出结果即可；（3）分两种情况进行讨论：当点E在线段AB的延长线上时，当点E在线段AB上时，分别画出图形，求出结果即可．【详解】（1）解：∵点D为线段AB的中点，AB=4∴AD=∵点C为线段AD的中点，∴AC=∴BC=故答案为：3．（2）解：∵点D为线段AB的中点，∴AD=设DE=x当点E在点D的左侧时，如图所示：

∴AD=∴AE=∴AEEB当点E在点D的右侧时，如图所示：

∴AD=∴AE=∴AEEB综上分析可知，AEEB=3（3）解：∵点D为线段AB的中点，AB=∴AD=∵F为BE的中点，BE=∴BF=当点E在线段AB的延长线上时，如图所示：

此时FD=当点E在线段AB上时，如图所示：

此时FD=综上分析可知，FD=12【变式3-3】（2024七年级·全国·专题练习）如图①，已知线段AB=m，CD=n，线段CD在射线AB上运动（点A在点B的左侧，点C(1)若BC=4，求AD(2)当CD在线段AB的延长线上时，如图②所示，若点M,N分别是线段AD,(3)当CD运动到某一时刻，使得点D与点B重合时，若点P是线段AB延长线上任意一点，请判断PA+【答案】(1)17或25(2)7(3)是，见解析【分析】此题主要考查了线段中点的定义，线段的计算，理解线段中点的定义，熟练掌握线段的计算是解决问题的关键．先根据非负数的性质求出m=14，n=7，则（1）若BC=4，则有以下两种情况，①当点C在点B的左侧时，则BD=CD-BC=3，根据AD=AB+BD可得AD的长；（2）设BC=a，则AD=AB+BC+CD=21+a，根据线段中点定义得，AM（3）设PB=t，根据点D与点B重合，点C在点D的左侧得点C在线段AB上，再根据点P在线段AB的延长线上画出图形，结合图形得PA=14+【详解】（1）解：∵m-14≥0，7-∴m解得：m=14∴AB若BC=4①当点C在点B的左侧时，如图1①所示：∵AB∴BD∴AD②当点C在点B的右侧时，如图1②所示：∵AB∴AD综上所述：线段AD的长为17或25．（2）解：设BC=a，如图∴AD∵点M,N分别是线段∴AM=12∴BM=∴MN=（3）解：PA+设PB=∵点D与点B重合，点C在点D的左侧，∴点C在线段AB上，又∵点P在线段AB的延长线上，如图3所示：∴PA=∴PA+∴PA+∴PA+模型4：半角模型条件:∠AOC=α,∠BOC=β(α>β),∠EOF=α+结论:∠AOE+∠BOF=α+β2,∠AOE-【模型4半角模型】【例4】（23-24七年级·贵州六盘水·期末）如图①所示，∠AOB=120°，将直角三角板的直角顶点放置在O点，OC平分(1)若∠COM=35°，则∠AOM=______(2)如果∠COM=α，∠BON=(3)如图②当直角三角板绕着O点顺时针旋转一定角度，使得OM在∠AOC的内部，ON在∠BOC的外部，若∠COM=α，∠BON=β，α，【答案】(1)20°；10°(2)2α(3)不存在，此时α，β满足2α【分析】本题主要考查了结合图形中角的计算，角平分线的定义，解题的关键是数形结合，熟练掌握角平分线定义．（1）先根据∠COM=35°，求出∠CON（2）根据∠MON=90°，∠COM=α，得出∠（3）根据∠MON=90°，∠COM=α，得出∠CON=90°-【详解】（1）解：∵∠COM∴∠CON∵OC平分∠AON∴∠AOC∴∠AOM=55°-35°=20°，∴∠BON（2）解：2α∵∠MON=90°，∴∠CON又∵OC平分∠AON∴∠AON∵∠AOB=∠AON∴120°=180°-2α即2α（3）解：不存在，此时α，β满足2α∵∠MON=90°，∴∠CON又∵OC平分∠AON∴∠AON∵∠BON=β∠AON即180°-2α故2α【变式4-1】（23-24七年级·福建龙岩·期末）如图，在平面内的五条射线OA、OB、OC、OD、OE中，射线(1)当射线OC、OD都在∠AOB内部，且θ①若∠DOE=20°，则∠BOC②若射线OD平分∠AOE，则∠DOE=(2)当射线OC、OD分别在∠AOB内、外部时，如图2(3)当射线OC、OD都在∠AOB外部时，如图3，若∠AOD=∠AOB【答案】(1)①40°；②24°(2)见解析(3)3【分析】本题考查了角平分线的定义，角的和差计算：（1）根据角平分线的定义可得∠AOC=2∠2=2∠3+∠4，①根据题意可得∠2=∠COD-∠DOE=52°，从而得到∠AOC=2∠2=104°，即可求解；②（2）根据角平分线的定义可得∠AOC=2∠2=2∠3，从而得到∠DOE（3）根据∠AOB∠AOD=∠AOB【详解】（1）解：∵射线OE平分∠∴∠AOC①∵θ=72°，∠∴∠AOB∴∠2=∠COD∴∠AOC∴∠BOC故答案为：40°②∵射线OD平分∠AOE∴∠AOE∴∠COD∴∠DOE故答案为：24°（2）解：∵射线OE平分∠AOC∴∠AOC∴∠DOE∴∠BOC∴∠BOC（3）解：∵∠AOB∴∠AOD∴∠AOC∴∠BOC【变式4-2】（23-24七年级·安徽池州·期末）（1）如图1，已知∠AOB内部有三条射线，ON平分∠BOC，OM平分∠AOC，若∠（2）若将（1）中的条件“ON平分∠BOC，OM平分∠AOC”改为“∠NOB=14∠COB（3）如图2，若ON、OC在∠AOB的外部时，ON平分∠BOC，OM平分∠AOC，当∠AOB=α，【答案】（1）30°；（2）14α；（3）没有关系，【分析】（1）根据角平分线性质可求∠MON，根据∠（2）由题意可得∠MON=∠MOC（3）根据角平分线性质可得∠MOC=12∠【详解】（1）∵ON平分∠BOC，OM平分∠∴∠COM=1∴∠MON∴∠AOM（2）∵∠AOB=α，∠∴∠MON∴∠AOM（3）与β的大小无关．理由：∵∠AOB=α∴∠AOC∵OM是∠AOC的平分线，ON是∠∴∴∠MOC=1∴∠MON即∠MON∠MON与β【点睛】此题考查了角的计算，以及角平分线，解决本题的关键是利用角的和与差．【变式4-3】（23-24七年级·北京西城·期末）已知：∠AOB=120°，射线OC是平面内一条动射线，射线OC绕点O顺时针旋转90°得到射线OD，OE平分

图1图2(1)如图1，当射线OC在∠AOB外部时，若∠COE=70°(2)如图2，当射线OC、OD都在∠AOB内部时，若∠COE=α，则∠(3)若OF平分∠BOC，直接写出∠EOF度数【答案】(1)80°(2)2(3)15°或165°【分析】本题主要考查旋转的性质、角平分线的性质和角度和差的关系，（1）根据旋转的性质，角平分线的定义以即可计算出结果．（2）根据角平分线的定义和角的和差关系计算即可．（3）分类讨论：当OC、OD位于∠AOB内部；当OC或OD位于∠AOB内部；当OC和【详解】（1）解：∵射线OC绕点O顺时针旋转90°得到射线OD∴∠∴∠EOD∵OE平分∠AOD∴∠AOE∴∠BOD（2）∵∠∴∠DOE∵OE平分∠AOD∴∠AOE∴∠（3）①当OC、OD位于

设∠AOC∵射线OC绕点O顺时针旋转90°得到射线OD，∴∠AOD=∠AOC∵OE平分∠AOD，OF平分∠∴∠EOD=1则∠EOF②当OC或OD位于∠AOB

设∠AOC=β，则∠∵OE平分∠AOD，OF平分∠∴∠EOD=1则∠EOF

设∠AOC=γ，则∠∵OE平分∠AOD，OF平分∠∴∠EOD=1则∠EOF③当OC和OD位于∠AOB

设∠AOC=α，则∠∵OE平分∠AOD，OF平分∠∴∠EOD=1则∠EOF故∠EOF度数15°或165°模型5：角叠角模型条件:∠AOC=α，∠BOD=β.结论:∠AOB+∠COD=α+β.【模型5角叠角模型】【例5】（23-24七年级·浙江·课后作业）已知∠ABC=∠DBE，射线BD在∠ABC的内部，按要求完成下列各小题．

尝试探究：如图1，已知∠ABC=90°，当BD是∠ABC的平分线时，∠ABE+∠DBC的度数为______；初步应用：如图2，已知∠ABC=90°，若BD不是∠ABC的平分线，求∠ABE+∠DBC的度数；拓展提升：如图3，若∠ABC=45°时，试判断∠ABE与∠DBC之间的数量关系，并说明理由．【答案】180°;180°;90°.【分析】（1）根据角平分线的定义和垂直定义得∠CBE=45°，ABE+∠DBC=∠ABC+∠CBE+∠DBC；（2）由∠ABE+∠DBC=∠ABC+∠CBE+∠DBC=∠ABC+∠DBE可得；（3）由∠DBE=∠ABC=45°，得∠ABE+∠DBC=∠ABC+∠CBE+∠DBC=∠ABC+∠DBE.【详解】尝试探究：∵∠ABC=90°，BD平分∠ABC，所以∠DBC=45°，因为∠DBE=∠ABC=90°，∠DBC+∠CBE=∠DBE所以∠CBE=45°．所以∠ABE+∠DBC=∠ABC+∠CBE+∠DBC=90°+45°+45°=180°．初步应用：因为∠DBE=∠ABC=90°，

所以∠ABE+∠DBC=∠ABC+∠CBE+∠DBC=∠ABC+∠DBE=180°．答：∠ABE+∠DBC的度数为180°．拓展提升：∠ABE+∠DBC=90°．理由：

因为∠DBE=∠ABC=45°，所以∠ABE+∠DBC=∠ABC+∠CBE+∠DBC=∠ABC+∠DBE=90°．【点睛】考核知识点：角平分线定义.理解角的关系是关键.【变式5-1】（23-24七年级·福建厦门·期末）如图，已知∠AOB与∠(1)若∠AOB=120°，求(2)若OE为∠AOB的角平分线，射线OC在∠BOE的内部，射线OD在∠AOE的内部，且满足∠COD=【答案】(1)∠BOC(2)2∠DOE【分析】（1）根据∠AOB与∠（2）设∠AOD=α，∠BOC=β，求得【详解】（1）解：∵∠AOB与∠BOC互补，∴∠BOC（2）解：2∠DOE设∠AOD=α∴∠COD=2∠AOD∵OE为∠AOB∴∠AOE∴∠DOE=∠AOE∠BOD∴2∠DOE【点睛】本题考查角平分线的定义，补角的意义，掌握角平分线的定义以及补角的定义是正确解答的前提．【变式5-2】（23-24七年级·广西崇左·期末）如图，一副三角尺AOB与COD的直角顶点O重合在一起．(1)∠AOD+∠(2)试判断∠AOC与∠(3)若∠AOD=4∠BOC，OE为∠BOC的平分线，求∠AOD【答案】(1)180°(2)∠AOC(3)∠AOD=144°；∠【分析】（1）根据题意可得∠AOB=∠COD（2）根据∠AOB=∠COD（3）由（1）得：∠AOD+∠BOC=180°，再由∠AOD=4∠BOC，可得∠BOC=36°，可求出∠AOD的度数，再由【详解】（1）解：根据题意得：∠AOB∴∠AOD故答案为：180°（2）解：∠AOC∵∠AOB∴∠AOB即∠AOC（3）解：由（1）得：∠AOD∵∠AOD∴4∠BOC解得：∠BOC∴∠AOD∵OE为∠BOC∴∠COE∴∠DOE=∠COD【点睛】本题考查余角与补角以及角平分线，根据题意得到∠AOD【变式5-3】（23-24七年级·湖北武汉·期末）已知∠ABC＝∠DBE，射线BD在∠ABC的内部．（1）如图1，已知∠ABC═90°，当BD是∠ABC的平分线时，求∠ABE的度数．（2）如图2，已知∠ABE与∠CBE互补，∠DBC：∠CBE＝1：3，求∠ABE的度数；（3）如图3，若∠ABC＝45°时，直接写出∠ABE与∠DBC之间的数量关系．【答案】（1）∠ABE＝135°；（2）∠ABE＝126°；（3）∠ABE+∠DBC＝90°．理由见解析.【分析】（1）利用角平分线的性质，先求出∠DBC、∠CBE的度数，再计算∠ABE的度数；（2）由已知条件得到∠ABD=∠CBE，设∠DBC=α，∠CBE=3α，得到∠ABD=3α，∠ABE=3α+α+3α=7α，根据题意列方程即可得到结论；（3）把∠ABE+∠DBC转化为∠ABC+∠DBE，代入计算得出结论．【详解】解：（1）∵∠ABC＝90°，BD平分∠ABC，∴∠DBC＝45°，∵∠DBE＝∠ABC＝90°，∠DBC+∠CBE＝∠DBE，∴∠CBE＝45°．∴∠ABE＝∠ABC+∠CBE＝90°+45°＝135°．故答案为135°．（2）∵∠ABC＝∠DBE，∴∠ABD＝∠CBE，∵∠DBC：∠CBE＝1：3，∴设∠DBC＝α，∠CBE＝3α，∴∠ABD＝3α，∠ABE＝3α+α+3α＝7α，∵∠ABE与∠CBE互补，∴7α+3α＝180°，∴α＝18°，∴∠ABE＝126°；（3）∠ABE+∠DBC＝90°．理由：∵∠DBE＝∠ABC＝45°，∴∠ABE+∠DBC＝∠ABC+∠CBE+∠DBC＝∠ABC+∠DBE＝90°．【点睛】本题考查角的和差关系及角的相关计算．通过观察图形，把∠ABE+∠DBC转化为∠ABC+∠DBE是解决本题的关键．模型6：角夹角模型条件:∠AOC=n∠EOC，∠BOD=n∠DOF.结论:∠EOF=1n[∠AOB+(n-1)∠【模型6角夹角模型】【例6】（23-24七年级·陕西咸阳·阶段练习）【问题背景】新定义：如果∠MON的内部有一条射线OP将∠MON分成的两个角，其中一个角是另一个角的n倍，那么我们称射线OP为∠MON的n倍分线，例如，如图1，∠MOP=4∠NOP，则OP为∠MON【问题再现】（1）若∠AOB=60°，OP为∠AOB的二倍分线，且∠【问题推广】（2）如图2，点A，O，B在同一条直线上，OC为直线AB上方的一条射线．若OP，OQ分别为∠AOC和∠BOC的三倍分线（∠COP①若∠AOC=120°，求②若∠AOC=α【拓展提升】（3）如图3，点A，O，B在同一条直线上，OC为直线AB上方的一条射线．已知∠MON=90°，且OM，ON所在射线恰好分别为∠AOC和∠BOC的三倍分线（【答案】（1）40°；（2）①135°；②不变，见解析；（3）90°【分析】本题考查了新定义，几何图形中角度的计算．（1）根据题意可得：∠BOP=2∠AOP（2）①由题意可得：∠COP=3∠AOP，∠COQ=3∠BOQ，根据②不变，根据题意得出∠COP=3（3）设∠MOC=α，则∠NOC=90°-α，根据题意得出∠COM=3∠AOM【详解】解：（1）因为∠AOB=60°，OP为∠AOB所以∠BOP=2∠AOP所以∠AOP所以∠BOP（2）①因为OP，OQ分别为∠AOC和∠BOC的三倍分线（∠COP所以∠COP=3∠AOP因为∠AOC所以∠BOC所以∠AOP=30°，所以∠COP=90°，所以∠POQ②不变．理由如下：因为OP，OQ分别为∠AOC和∠BOC的三倍分线，∠COP所以∠COP=3所以∠=3（3）设∠MOC因为∠MON所以∠NOC因为OM，ON所在射线恰好分别为∠AOC和∠BOC的三倍分线，所以∠COM=3∠AOM因为∠AOM所以13所以α=67.5°所以∠MOC=67.5°，所以∠AOC【变式6-1】（23-24七年级·浙江杭州·期末）如图，OC平分∠AOB，OD、OE三等分∠AOB，已知【答案】90°【分析】本题考查了角平分线及三等分线的定义，角的和差，由角平分线及三等分线的定义可得∠BOC=12∠【详解】解：OC平分∠AOB∴∠BOC又∵OD、OE三等分∴∠BOE∴∠COE∴∠AOB【变式6-2】（23-24七年级·河北廊坊·期末）如图，点A，O，B在一条直线上，∠AOC=3∠COD，OE(1)若∠COD=10°，求(2)若∠AOC=α，求∠【答案】(1)60°(2)90°-【分析】（1）先利用∠AOC与∠COD的倍数关系求出（2）先计算出∠COD，∠BOD的度数，然后利用角平分线的定义求出【详解】（1）解：∵∠AOC=3∠COD∴∠AOC∴∠AOC的余角的度数为（2）解：∵∠AOC=α∴∠COD=1又OE平分∠BOD∴∠DOE∴∠COE【点睛】本题考查了角平分线的有关计算，余角的定义等知识，正确识图，找准角的有关关系是解题的关键．【变式6-3】（23-24七年级·山东滨州·期末）已知∠AOB=120∘，在∠AOB(1)如图，在∠BOC内部作射线ON，使得∠BON=3∠CON；作射线OM平分(2)如果过点O作射线OD，使得2∠AOD=3∠BOD，则∠【答案】(1)∠(2)32°或176°【分析】（1）根据题意可求出∠AOC=13∠AOB=40°，∠BOC=23（2）分类讨论：当OD在∠AOB内部时，设∠BOD=x°，则∠AOD=32x°，由∠BOD+∠AOD=∠AOB=120°，可列出关于x的方程，解出x的值，即得出∠BOD的大小，最后由∠COD=∠BOC【详解】（1）解：∵∠AOB=∠AOC∴∠AOC∵∠BOC=∠BON∴∠CON∵OM平分∠AOC∴∠COM∴∠MON（2）分类讨论：①如图，当OD在∠AOB设∠BOD∵2∠AOD∴∠AOD∵∠BOD∴x°+解得：x=48∴∠BOD∵∠BOC∴∠COD②如图，当OD在∠AOB设∠BOD=y∵∠BOD∴y°+解得：y=96∴∠BOD∴∠COD故答案为：32°或176°．【点睛】本题考查角平分线的有关计算，角的n等分点的有关计算，一元一次方程的应用．利用数形结合和分类讨论的思想是解题关键．模型7：单角平分线模型条件:OM平分∠AOB.结论:∠AOM=∠BOM=12条件:射线OC在∠AOB内，OM平分∠BOC.结论:∠AOB+∠AOC=2∠AOM.【模型7单角平分线模型】【例7】（2024七年级·黑龙江·专题练习）如图，点O是直线AB上的一点，∠AOE=∠FOD=90°，(1)试说明∠AOF(2)求∠EOC【答案】(1)见解析(2)180°【分析】本题主要考查余角、补角，角平分线的性质，几何中角度的计算，理解图示中角度的关系，掌握余角、补角的计算是解题的关键．（1）根据同角的余角相等即可求解；（2）根据角平分线的性质，同角的余角相等可得，∠EOF=∠BOC【详解】（1）解：∵∠AOE∴∠AOF∴∠AOF（2）解：∵OB平分∠COD∴∠BOC∵∠AOE∴∠BOE∴∠BOD∴∠BOD∴∠BOC∵∠EOC∴∠EOC∴∠EOC【变式7-1】（23-24七年级·陕西西安·期末）如图，OB，OE是∠AOC内的两条射线，OD平分∠AOB，且∠COE=2∠BOE．若∠【答案】∠【分析】本题主要考查了角平分线的定义，几何图形中的角度计算．先根据角平分线的定义得出∠AOB=2∠AOD=30°，∠BOD=∠AOD=15°，再根据∠AOC【详解】解：∵OD平分∠AOB，∠∴∠AOB=2∠AOD∵∠AOC∴∠BOC∵∠COE又∵∠BOE∴3∠BOE∴∠BOE∴∠DOE【变式7-2】（23-24七年级·甘肃武威·开学考试）如图，∠ABC=60°，∠ABD=145°，BE平分【答案】115°【分析】本题主要考查了角平分线的定义，几何图形中角的计算，先根据角平分线定义得出∠ABE【详解】解：∵BE平分∠ABC，∠∴∠ABE∴∠DBE=∠ABD-∠ABE=145°-30°=115°．【变式7-3】（23-24七年级·吉林·期末）已知∠AOB=∠COD=90°，(1)如图，若∠AOC=30°，则∠DOE的度数是(2)将（1）中的条件“∠AOC=30°”改为“∠AOC是锐角”，猜想∠【答案】(1)60(2)∠DOE【分析】本题主要考查了几何图形中角度的计算，角平分线的定义：（1）先根据角之间的关系得到∠BOC=60°，再由角平分线的定义得到∠COE（2）仿照（1）求解即可．【详解】（1）解：∵∠AOC=30°，∴∠BOC∵OE平分∠BOC∴∠COE∵∠COD∴∠DOE故答案为：60；（2）解：∠DOE∵∠AOB∴∠BOC∵OE平分∠BOC∴∠COE∵∠COD∴∠DOE模型8：双角平分线模型条件:射线OC在∠AOB内，OM，ON分别平分∠BOC和∠AOC.结论:∠MON=12条件:射线OC在∠AOB外，OM，ON分别平分∠BOC和∠AOC结论:∠MON=12【模型8双角平分线模型】【例8】（2024七年级·全国·专题练习）已知：∠BOC在∠AOB的外部，OE平分∠AOB，OF平分∠BOC，OD平分∠AOC，∠【答案】40°或20°【分析】本题主要考查角度的和差计算，角平分线的性质，理解题意作图分析，掌握角平分线的性质计算角度的方法是解题的关键．根据题意作图，分类讨论：当∠BOD在∠AOB外部时，可得∠AOB=2∠AOE=60°，则∠AOD=∠COD