第五单元复数【一周一测基础知识专项训练】-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

第五单元复数【一周一测基础知识专项训练】单项选择题1.[2025全国一卷](1+5i)i的虚部为()A.-1B.0C.1D.62.[2025北京卷]已知复数z满足i·z+2=2i,则|z|=()A.2B.22C.4D.83.[2024南京外国语学校期中]已知复数z的实部为正数,虚部为1,|z|=2,则z=()A.3+iB.-3+iC.1-3iD.1+3i4.[2025广东实验中学高一期末]已知复数z1=a+2i(a∈R)与z2=3+bi(b∈R)互为共轭复数,则z1z2的值是()A.4 B.6C.9 D.135.【数学文化】[2025深圳中学高一期中]棣莫弗公式(cosx+i·sinx)n=cosnx+i·sinnx(其中i为虚数单位)是由法国数学家棣莫弗发现的,根据棣莫弗公式可知,复数(cosπ3+i·sinπ3)A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限6.[2025重庆市南开中学、巴蜀中学、重庆一中等校高一期末]若复数z满足z-2z=1+3i,则z·i2027=()A.1-iB.-1+iC.-1-iD.1+i7.[2025宁波效实中学高一期末]已知虚数z1,z2是方程x3+x-2=0的两个不同的根,则下列说法正确的是()A.z1=1B.|z1|=2C.z12+z2=0D.z1+z28.【模块综合】[2025泰安一中高一月考]如图,复数z对应的向量为OZ,且|z-i|=5,则向量OZ在向量OP上的投影向量的坐标为()A.(15,25)B.(25,45)C.(35,65)多项选择题9.[2025龙岩一中高一期末]已知复数z=1+3i,则()A.|z|=2B.z+(2+3i)z=0C.复数z和复数z1=2-3i在复平面内对应的两点之间的距离为13D.复数z是方程x2-2x+4=0在复数集内的解10.[2024九省区联考]已知复数z,w均不为0,则()A.z2=|z|2B.zz=z2|z|2C.z−w=z11.[2025泰州中学阶段检测]18世纪末期,测量学家韦塞尔首次利用坐标平面上的点来表示复数,使复数及其运算具有了几何意义,例如|z|=|OZ|,即复数z的模的几何意义为在复平面内z对应的点Z到原点的距离.下列说法正确的是()A.若|z|=1,则z=±1或z=±iB.若在复平面内复数6+5i与-3+4i分别对应向量OA与OB,则向量BA对应的复数为9+iC.若在复平面内z对应的点为Z(-1,1),则z对应的点在第四象限D.若复数z满足1≤|z|≤2,则在复平面内复数z对应的点所构成的图形面积为π填空题12.[2025雅礼中学高一月考]在复数范围内方程9x2+16=0的解是.

13.【数学文化】[2025北京市第八十中学高一期中]欧拉公式eiθ=cosθ+isinθ把自然对数的底数e、虚数单位i、三角函数cosθ和sinθ联系在一起,充分体现了数学的和谐美,被称为“数学中的天桥”.若复数z满足(eiπ+i)·z=i,且复数z的共轭复数为z,则|zz|=14.[2025东北育才学校高一月考]已知复数z1=i-a,z2=1+i,其中a是实数.若z12=2i,则实数a=;若z1z2是纯虚数,则z1z2+(z1z2)2+(z1z解答题15.(13分)[2024兰州一中高一期中](1)已知复数z满足1z=iz+1,求(2)计算(1+i1−i)16.(15分)【教材变式】[2025烟台一中高一期中]已知复数z1=(m2+7m+12)+(m+3)i(m∈R),z2=1+2i.(1)若z1为纯虚数,求复数z1(2)若z1为虚数且在复平面内对应的点在直线y=12x上,求|z1z17.(15分)【模块综合】[2025长春市十一高中高一月考改编]设复数z1=1-ai(a∈R),z2=2+i,在复平面内,复数z1+z2对应的点在实轴上.(1)求z1z2;(2)若复数z1,z1z2对应的向量分别是OA,OB,其中O是原点,求cos∠AOB.18.(17分)[2025山东省昌乐二中高一期末]已知复数z=2+ai(a∈R,i为虚数单位),其共轭复数为z.(1)若复数(3+2i)·z是实数,求实数a的值;(2)若z1=z1−i,且复数z1(3)已知实系数一元二次方程x2+mx+9=0的两根为x1和x2,若|x1-x2|=23,求m的值.19.(17分)[2025复旦大学附中高一月考]已知复平面内与复数z1=i2028,z2=-(i+i2+i3+…+i2029),z3=cos37°+isin37°,z4=sin45°-icos45°对应的四点分别为Z1,Z2,Z3,Z4.(1)求z1+z2的模;(2)求证:Z1,Z2,Z3,Z4四点共圆;(3)若还有三点Z5,Z6,Z7与Z1,Z2,Z3,Z4共圆,其对应的复数分别为z5,z6,z7,若|z5-z6|=|z5+z7|=3,求△Z5Z6Z7的面积.参考答案1.C(1+5i)i=-5+i,其虚部为1.2.B方法一(直接法)因为iz+2=2i,所以z=−2+2ii=(−2+2i)(−i)方法二(结论法)因为iz+2=2i,所以z=−2+2ii,所以|z|=|−2+2ii|=|3.A复数z的实部为正数,虚部为1,故可设z=a+i(a>0),由|z|=2,可得a2+1=4,故a=3,z=3+i.4.D因为复数z1=a+2i与z2=3+bi互为共轭复数,所以a=3,b=−2(互为共轭复数的两个复数实部相等,虚部互为相反数),所以z1=3+2i,z2=3-2i,所以z1z2=(3+2i)(3-2i)=9+5.B(cosπ3+i·sinπ3)2=cos2π3+i·sin2π3=-12+36.D设z=a+bi(a,b∈R),根据z-2z=1+3i得到方程组,求出a,b,再利用复数乘法和乘方法则计算出答案.设z=a+bi(a,b∈R),则z=a-bi,z-2z=a+bi-2(a-bi)=-a+3bi,又z-2z=1+3i,故−a=1,3b=3,解得a=−1,b=1,故z=-1+i,z·i2027=(-1+i)·(i2)1

7.B流程化思维解题题目中的方程是一元三次方程,该如何来解?→想到因式分解→x3+x-2=(x-1)(x2+x+2)=0→z1,z2为x2+x+2=0的两个根,其中Δ=1-8=-7<0z1,z2为x2+x+2=0的两个虚数根,且两根为−1±7i2→不妨设z1=−1+7i2,z2=−1−7i2|z1|=1+74=2,z1+z2=-1,则z12+z2=(−1+7i2)2+8.D复数的几何意义+投影向量的求解思路导引首先根据复数的几何意义得出复数z=-m+mi(m>0),根据复数模的公式,即可求解m,故可得向量OZ,OP的坐标,最后代入向量的投影向量公式,即可求解.由题图可知,z=-m+mi(m>0),则|z-i|=|-m+(m-1)i|=m2+(m−1)2=5,解得m=4(m=-3舍去),所以OZ=(-4,4),OP=(2,4),则向量OZ在向量OP上的投影向量为OZ·OP|OP|·OP|OP9.ACDA(√)|z|=12+(B(✕)z+(2+3i)z=1+3i+(2+3i)(1-3i)=1+3i+2-23i+3i-3i2=1+2+3=6.C(√)复数z在复平面内对应的点坐标为(1,3),复数z1=2-3i在复平面内对应的点坐标为(2,-3),故在复平面内对应的两点之间的距离为(2−1D(√)(1+3i)2-2(1+3i)+4=1+23i+3i2-2-23i+4=0,故复数z是方程x2-2x+4=0在复数集内的解(若复数z=1+3i是方程x2−2x+4=0在复数集内的解,则复数z=1−3i也是方程x2−2x+4=0在复数集内的解,z+z10.BCD设复数z=a+bi,w=c+di,a,b,c,d∈R,a,b不同时为0,c,d不同时为0.A(✕)z2=(a+bi)2=a2+2abi+b2i2=a2-b2+2abi,而|z|=a2+b2,|z|2=a2+b2,所以z2B(√)zz=a+bia−bC(√)z−w=(a+bi)−(c+di)=(a−c)+(b−d)i=(a-c)-(b-d)i,而z=a-bi,w=c-di,D(√)zw=a+bic+di=(ac+bd)+(bc−ad)ic2+d2,所以|zw|=(ac+bd)2+(bc−ad)2c2+d2,而|z||w|=a2+b2c11.BD12.x=±43i利用直接开平方法求出方程的解.9x2+16=0,化为x2=-169,即x2=(±43i)2,解得x=±43i,所以方程9x2+16=0的解是13.1由题意可得eiπ=cosπ+isinπ=-1,所以(eiπ+i)·z=(-1+i)·z=i,所以z=i−1+i=i(−1−i)(−1+i)(−1−i)=−i+11−(−1)=12-12i.所以z=1214.-1i第一空:复数z1=i-a,则z12=(-a+i)2=(a2-1)-2ai=2i,又a是实数,因此a2−1=0,−2a=2第二空:复数z1=i-a,z2=1+i,a∈R,则z1z2=−a+i1+i=(−a+i)(1−i)(1+i)(1−i)=(1−a)+(a+1)i2=1−a2+a+12i,因为z1z2是纯虚数(纯虚数实部为0,虚部不为0),于是1−a2=0,a+12≠0,解得a=1,因此z1z2=i,又i1=i,i2=-1,i3=-i,i4=1,则n∈N*时,i4n-3=i,i4n-2=-1,i4n-1=-i,i4n=1,即有n∈N*时,i4n-15.【解析】(1)由题可得z+1=zi,所以z=1i−1=−则|z|=(−12)(2)原式=[(1+i)22]6+(2+3i)(3+16.【解析】(1)由z1=(m2+7m+12)+(m+3)i(m∈R)为纯虚数,可得m2+7m+12=0,m+3≠0,此时z1=-i,则z12

025=(-i)2025=-i2025=(2)由z1为虚数且在复平面内对应的点在直线y=12x得(m+3)=12(m2+7m+12),解得m=-2或m=-3.由于z1为虚数,所以m=-3舍去,故m=-2,则z1=2+i.(12分)方法一|z1z2|=|2+i1+2i|=|(2+i方法二|z1z2|=|2+i1+2i|=|2+i||1+2i|17.【解析】(1)因为复数z1=1-ai(a∈R),z2=2+i,所以z1+z2=(1-ai)+(2+i)=3+(1-a)i(a∈R).(2分)因为复数z1+z2对应的点在实轴上,所以1-a=0,得a=1,所以z1=1-i,(5分)所以z1z2=(1-i)(2+i)=2+i-2i-i2=3-i.(7分)(2)由(1)知向量OA=(1,-1),OB=(3,-1),(9分)于是有OA·OB=1×3+(-1)×(-1)=4,|OA|=12+(−1)2=2,|因为∠AOB为OA与OB的夹角,所以cos∠AOB=cos<OA,OB>=OA·OB|OA||OB18.【解析】(1)由z=2+ai可得z=2-ai,所以(3+2i)·z=(3+2i)·(2-ai)=6-3ai+4i-2ai2=6+2a+(4-3a)i,(2分)由复数(3+2i)·z是实数(实数虚部为0,实部为任意实数),可得4-3a=0,解得a=43.(2)z1=z1−i=2+ai1−i=(2+ai易知复数z1在复平面内所对应的点的坐标为(2−a2又复数z1在复平面内所对应的点位于第四象限,所以2−a2即实数a的取值范围为(-∞,-2).(10分)(3)第一步:求方程的根为实数时m的值若方程的两根为实数根,则|x1-x2|=(x1+x2)解得m=±43;(12分)第二步:求方程的根为虚数时m的值若方程的两根为虚数根,则设x1=c+bi,x2=c-bi,c,b∈R,可得|x1-x2|=|2bi|=|2b|=23,则b=±3,不妨令x1=c+3i,x2=c-3i,则x1x2=c2+3=9,所以c2=6,所以c=±6,由根与系数的关系可得-m=x1+x2=±26,所以m=±26,此时Δ=m2-36<0,满足题意.(16分)第三步:总结得结果综上,可知m=±26或±43.(17分)19.【解析】(1)z1=i2028=(i2)1

014=因为i4n+1+i4n+2+i4n+3+i4n+4=0,所以z2=-(i+i2+i3+…+i2029)=-(i+i2+i3+…+i2028+i2029)=-i2029=-i2028·i=-i,所以z1+z2=1-i,|z1