2026届新高考数学冲刺突破复习等差数列基本量运算

2026届新高考数学冲刺突破复习

等差数列基本量运算1.理解等差数列的概念和通项公式和前n项和的意义.2.熟记并能灵活运用公式解决问题.3.掌握等差数列的基本量a1和d的运算(公式法)；理解性质加策略技巧的简化运算.本节课目标年份试卷类型题型考查内容简介解题方法2025全国二卷选择题已知等差数列前n项和Sn​，求5S5​利用等差数列前n项和公式，列方程求解基本量（首项a1​和公差

d）2024全国甲卷（文）选择题已知等差数列前n项和Sn​，求特定项利用前n项和公式，结合等差数列性质求解2024全国甲卷（理）选择题已知等差数列两项，求前n项和Sn​联立通项公式，解出首项和公差，或利用性质整体代换2024新课标全国Ⅱ卷填空题已知等差数列两项条件，求前n项和列方程求基本量，或利用片段和性质简化计算2023新课标全国Ⅰ卷选择题判断数列为等差数列与数列{Sn​/n}为等差数列之间的充要条件紧扣等差数列的定义和求和公式的特征进行推理2023新课标全国Ⅰ卷解答题已知等差数列项与前n项和的关系，求通项公式或公差建立关于首项a1​和公差d

的方程（组）求解（基本量法）2023全国甲卷（文/理）选择题已知等差数列前n项和，求另一前n项和利用等差数列前n项和公式，或结合性质求解2023全国乙卷（文）填空题已知等差数列前n项和及项的关系，求公差直接利用等差数列求和公式及通项公式求解2022全国乙卷（文）填空题直接已知首项a1​和前n项和Sn​的表达式，求公差d利用前n项和公式待定系数或直接比较求解从这五年的考题中，我们可以发现一些稳定的规律和备考重点：•核心聚焦：考查始终围绕等差数列的通项公式和前n项和公式展开。解题的通用钥匙就是通过题目的条件列出关于首项a1和公差d的方程或方程组，即“基本量法”•性质活用：灵活运用等差数列性质能极大提升解题效率和准确性。1.等差数列的有关概念(1)等差数列的定义定义表达式为

.(2)等差中项由三个数a，A，b组成等差数列，则A叫做a与b的等差中项，且______

.an－an－1＝d(常数)(n≥2，n∈N*)2A＝a＋b一预学、知识梳理(3){an}为等差数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则ak＋al＝

；特别地，若k＋l＝2m，则

ak＋al＝

；(下标和相等性质)am＋an2am2.等差数列的有关公式(1)定义式：

(2)通项公式：an＝

＝am＋(n－m)d(m，n∈N*).(3)前n项和公式：Sn＝

或Sn＝

.a1＋(n－1)d(3)特征：①已知数列{an}的通项公式是an＝pn＋q(其中p，q为常数)，则数列{an}一定是等差数列，且公差为p.②数列{an}是等差数列⇔Sn＝An2＋Bn(A，B为常数).这里公差d＝2A.核心：五个量a1，n，d，an，Sn，可“知三求二”).一预学、知识梳理an－an－1＝d(常数)(n≥2，n∈N*)（P124自2）例1.(选择性必修第二册P15T4改编)已知在等差数列{an}中，a4＋a8＝20，a7＝12，则a4等于A.－2

B.4

C.6

D.8√设等差数列{an}的公差为d，∴a4＝a1＋3d＝6.题型一等差数列基本量的运算（求出a1和d两个基本量，再求其余量）二导学、以题入学思考1：我们的目标是什么？用什么量来搭建桥梁？

思考2：这个数列是唯一确定的吗？

练1（P124例1）(1)(2023·全国甲卷)记Sn为等差数列{an}的前n项和.若a2＋a6＝10，a4a8＝45，则S5等于A.25

B.22

C.20

D.15√题型一等差数列基本量的运算（求出a1和d两个基本量，再求其余量）法一设等差数列{an}的公差为d，首项为a1，a2＋a6＝a1＋d＋a1＋5d＝10，即a1＋3d＝5，

①又a4a8＝(a1＋3d)(a1＋7d)＝45，②①②联立，解得d＝1，a1＝2，方法二依题意可得，a2＋a6＝2a4＝10，a4a8＝45，所以a4＝5，a8＝9，于是a3＝a4－d＝5－1＝4，所以S5＝5a3＝20.思考：以上题型结构特征?数列是唯一确定的吗？如何解题？结构：题干给出两个条件，说明该数列是唯一确定，三互学、集思广益解题思路：①（基本量运算（公式法）+方程组思想）用公式转成关于a1和d的方程组求解，③结构特征：（1）当2个条件只与an有关时，可设an＝pn＋q建立方程求解（2）当2个条件只与Sn有关时，可设Sn＝An2＋Bn建立方程求解②利用等差数列相关性质(下标和)，简化运算，1.(2024·全国甲理)等差数列{an}的前n项和为Sn，若S5＝S10，a5＝1,则a1＝3.记Sn为等差数列{an}的前项和，已知S2＝10，S5＝55．则a10＝四悟学、融会贯通

（P125跟1）2.(多选)记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知S4＝0，a5＝5，则下列选项正确的是A.a2＋a3＝0 B.an＝2n－5C.Sn＝n(n－4) D.d＝－2（P124自4）练1.(2023·安康模拟)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a3＋a4＝4，则S6等于A.6

B.12

C.18

D.24返回√由等差数列的性质，可得a1＋a6＝a3＋a4＝4，例2.已知等差数列{an}，a3＋a8＝10，则3a5＋a7＝四悟学、融会贯通思考3:我们的已知条件是什么？能分别求出a1和d的具体值吗？思考4:这样的数列是唯一的吗？有什么技巧快速解题？动画展示数列的不唯一性思考：以上题型结构特征?数列是唯一确定的吗？如何解题？结构：题干给出单一条件，说明该数列不是唯一确定，五互学、集思广益解题思路：①（基本量运算+整体代入）用公式转成关于a1和d的方程或数量关系代入求解，③技巧（小题）：特殊值，不妨设d=0（常数列）或a1=0②利用等差数列相关性质(下标和)，简化运算，六互学、各显神通1.已知数列{an}是等差数列，若a1－a9＋a17＝7，则a3＋a15等于A.7

B.14

C.21

D.7(n－1)因为a1－a9＋a17＝(a1＋a17)－a9＝2a9－a9＝a9＝7，所以a3＋a15＝2a9＝2×7＝14.2.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若2S3＝3S2＋6，则公差d等于3.(2024·全国甲文)等差数列{an}的前n项和为Sn，若S9＝1，则a3＋a7＝

√七悟学、小结反思（1）本节课我们主要学习了哪些内容?哪类具体题型？用到了哪些思想方法？（2）对于等差数列运算题，我们必须要掌握的哪种方法？尽量理解并运用哪些方法？内容具体题型等差数列相关公式的运用方法（1）两个条件（2）单一条件方程组思想、整体代入、代入消元法、特殊值法转成基本量a1和d的运算（万能+底线），会运用性质以及特殊值简化运算思考题5.记Sn是公差不为0的等差数列{an}的前项和，若S5＝10，a4＝3

，（1）求数列通项an和前n项和Sn（2）求a2+

a5+a8+⋯+a59＝3.记Sn为等差数列{an}的前项和，已知S2＝4，S6＝24．则Sn＝基础题