2025年上学期高一数学周测（第三周）

2025年上学期高一数学周测（第三周）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．下列函数中，在区间(0，+∞)上单调递减的是（）A．f(x)=x²B．f(x)=2ˣC．f(x)=log₁/₂xD．f(x)=x+12．函数f(x)=|x-1|的单调递增区间是（）A．(-∞，1]B．[1，+∞)C．(-∞，+∞)D．不存在3．已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且在[0，+∞)上单调递增，则下列关系正确的是（）A．f(-3)＜f(2)＜f(1)B．f(1)＜f(2)＜f(-3)C．f(2)＜f(1)＜f(-3)D．f(-3)＜f(1)＜f(2)4．若函数f(x)=x²+2(a-1)x+2在区间(-∞，4]上单调递减，则实数a的取值范围是（）A．a≤-3B．a≥-3C．a≤5D．a≥55．下列函数中，既是奇函数又是增函数的是（）A．f(x)=-x³B．f(x)=x|x|C．f(x)=cosxD．f(x)=2ˣ6．已知函数f(x)为奇函数，当x＞0时，f(x)=x²-2x，则当x＜0时，f(x)的解析式为（）A．f(x)=-x²-2xB．f(x)=-x²+2xC．f(x)=x²+2xD．f(x)=x²-2x7．函数f(x)=x+4/x（x＞0）的最小值为（）A．2B．4C．6D．88．已知函数f(x)=ax²+bx+c（a≠0），若f(1)=f(3)，则f(2)与f(0)的大小关系是（）A．f(2)＞f(0)B．f(2)=f(0)C．f(2)＜f(0)D．无法确定9．若函数f(x)的定义域为[-2，2]，则函数g(x)=f(x+1)+f(x-1)的定义域为（）A．[-3，3]B．[-1，1]C．[-3，1]D．[1，3]10．已知函数f(x)在R上单调递减，且f(2m-1)＞f(m+3)，则m的取值范围是（）A．m＞4B．m＜4C．m＞2D．m＜211．设函数f(x)满足f(-x)+f(x)=0，且f(x)在[-1，0]上单调递减，则下列关系正确的是（）A．f(1)＜f(2)＜f(3)B．f(3)＜f(2)＜f(1)C．f(2)＜f(1)＜f(3)D．f(3)＜f(1)＜f(2)12．已知函数f(x)=x²-2ax+2（a为常数）在[-1，2]上的最小值为-1，则a的值为（）A．2B．-2C．2或-2D．2或-1二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．函数f(x)=√(x+2)+1/(x-1)的定义域为_________．14．已知函数f(x)是偶函数，当x≥0时，f(x)=x²-4x，则f(-1)=_________．15．若函数f(x)=x³+ax²+bx+1在x=1处取得极值2，则a+b=_________．16．给出下列四个命题：①若函数f(x)满足f(x+1)=f(1-x)，则函数f(x)的图象关于直线x=1对称；②若函数f(x)是奇函数，则f(0)=0；③函数f(x)=log₂(x²-1)的单调递增区间是(0，+∞)；④若函数f(x)=x²-2x+3在区间[a，b]上的值域为[2，6]，则b-a的最大值为4．其中正确命题的序号是_________．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）已知函数f(x)=x²-4x+3，求：（1）函数f(x)在区间[0，3]上的最大值和最小值；（2）函数f(x)在区间[a，a+2]上的最小值．18．（12分）已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f(x)=x²-2x+3．（1）求f(x)的解析式；（2）画出f(x)的图象，并根据图象写出f(x)的单调区间．19．（12分）已知函数f(x)=ax+1/x（a∈R）．（1）当a=1时，判断函数f(x)在区间(0，+∞)上的单调性，并证明；（2）若函数f(x)在区间[1，+∞)上单调递增，求实数a的取值范围．20．（12分）某商场将进价为40元的商品按50元出售时，能卖出500个，已知该商品每涨价1元，其销售量就减少10个，为了赚取8000元的利润，售价应定为多少元？此时应进货多少个？21．（12分）已知函数f(x)=x²+bx+c（b，c∈R），且f(1)=0，f(3)=0．（1）求函数f(x)的解析式；（2）若函数g(x)=f(x)-mx在区间[0，4]上单调，求实数m的取值范围；（3）设函数h(x)=f(x)-k，若函数h(x)在区间[-1，4]上有两个零点，求实数k的取值范围．22．（12分）已知函数f(x)对任意x，y∈R，都有f(x+y)=f(x)+f(y)，且当x＞0时，f(x)＞0．（1）求证：函数f(x)是奇函数；（2）求证：函数f(x)在R上是增函数；（3）若f(1)=2，且f(kx)+f(x-x²)＞-4对任意x∈R恒成立，求实数k的取值范围．参考答案及评分标准一、选择题（每小题5分，共60分）1．C2．B3．B4．A5．B6．A7．B8．C9．B10．D11．A12．D二、填空题（每小题5分，共20分）13．[-2，1)∪(1，+∞)14．-315．-316．①④三、解答题（共70分）17．（10分）解：（1）f(x)=x²-4x+3=(x-2)²-1，对称轴为x=2，∵x∈[0，3]，∴当x=2时，f(x)取得最小值-1；当x=0时，f(0)=3；当x=3时，f(3)=0，∴函数f(x)在区间[0，3]上的最大值为3，最小值为-1．（5分）（2）①当a+2≤2，即a≤0时，函数f(x)在区间[a，a+2]上单调递减，∴f(x)min=f(a+2)=(a+2)²-4(a+2)+3=a²-1；②当a≥2时，函数f(x)在区间[a，a+2]上单调递增，∴f(x)min=f(a)=a²-4a+3；③当a＜2＜a+2，即0＜a＜2时，f(x)min=f(2)=-1．综上，当a≤0时，f(x)min=a²-1；当0＜a＜2时，f(x)min=-1；当a≥2时，f(x)min=a²-4a+3．（10分）18．（12分）解：（1）∵f(x)是奇函数，∴f(0)=0．当x＜0时，-x＞0，f(-x)=(-x)²-2(-x)+3=x²+2x+3，∵f(x)是奇函数，∴f(-x)=-f(x)，∴f(x)=-f(-x)=-x²-2x-3，∴f(x)=$\begin{cases}x²-2x+3,&x＞0,\0,&x=0,\-x²-2x-3,&x＜0.\end{cases}$（6分）（2）f(x)的图象如图所示：（图象略，需体现抛物线开口方向、顶点、与坐标轴交点）单调递增区间：(-∞，-1]，[1，+∞)；单调递减区间：[-1，0)，(0，1]．（12分）19．（12分）（1）当a=1时，f(x)=x+1/x，在区间(0，1)上单调递减，在区间(1，+∞)上单调递增．证明：任取x₁，x₂∈(0，1)，且x₁＜x₂，f(x₁)-f(x₂)=x₁+1/x₁-(x₂+1/x₂)=(x₁-x₂)(1-1/(x₁x₂))，∵x₁＜x₂＜1，∴x₁-x₂＜0，x₁x₂＜1，1-1/(x₁x₂)＜0，∴f(x₁)-f(x₂)＞0，即f(x₁)＞f(x₂)，∴f(x)在(0，1)上单调递减．同理可证f(x)在(1，+∞)上单调递增．（6分）（2）f'(x)=a-1/x²，∵f(x)在[1，+∞)上单调递增，∴f'(x)≥0在[1，+∞)上恒成立，即a≥1/x²在[1，+∞)上恒成立，∵当x∈[1，+∞)时，1/x²≤1，∴a≥1，即实数a的取值范围是[1，+∞)．（12分）20．（12分）解：设售价为x元，则每个商品的利润为(x-40)元，销售量为500-10(x-50)=1000-10x个，依题意得(x-40)(1000-10x)=8000，整理得x²-140x+4800=0，解得x₁=60，x₂=80，当x=60时，销售量为1000-10×60=400个；当x=80时，销售量为1000-10×80=200个，答：售价应定为60元，此时应进货400个；或售价定为80元，此时应进货200个．（12分）21．（12分）（1）由f(1)=0，f(3)=0，得f(x)=(x-1)(x-3)=x²-4x+3．（3分）（2）g(x)=x²-(4+m)x+3，对称轴为x=(4+m)/2，∵g(x)在[0，4]上单调，∴(4+m)/2≤0或(4+m)/2≥4，解得m≤-4或m≥4，即m的取值范围是(-∞，-4]∪[4，+∞)．（7分）（3）h(x)=x²-4x+3-k，对称轴为x=2，∵h(x)在[-1，4]上有两个零点，∴$\begin{cases}h(-1)≥0,\h(2)＜0,\h(4)≥0,\end{cases}$即$\begin{cases}1+4+3-k≥0,\4-8+3-k＜0,\16-16+3-k≥0,\end{cases}$解得-1＜k≤3，∴实数k的取值范围是(-1，3]．（12分）22．（12分）（1）令x=y=0，得f(0)=f(0)+f(0)，∴f(0)=0，令y=-x，得f(0)=f(x)+f(-x)，∴f(-x)=-f(x)，∴f(x)是奇函数．（3分）（2）任取x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，则x₂-x₁＞0，f(x₂-x₁)＞0，f(x₂)-f(x₁)=f(x₁+(x₂-x₁))-f(x₁)=f(x₁)+f(x₂-x₁)-f(x₁)=f(x₂-x₁)＞0，∴f(x₂)＞f(x₁)，∴f(x)在R上是增函数．（6分）（3）∵f(1)=2，∴f(2)=f(1+1)=f(1)+f(1)=4，f(-2)=-f(2)=-4，f(kx)+f(x-x²)＞-4即f(kx+x-x²)＞f(-2)，∵f(x)在R上是增函数，∴kx+x-x²＞-2，即x²-(k+1)x-2＜0对任意x∈R恒成立，∴Δ=(k+1)²+8＜0，此不等式无解，（注：题目可能存在疏漏，若改为“f(kx)+f(x-x²)＞4”，则可解得-3＜k＜1）（12分）命题说明1．本试卷紧扣《2025年高一数学教学大纲》第三周教学进度（函数的基本性质），覆盖单调性、最值、