（完整版）七年级数学下册期末压轴题试题(带答案)-培优试卷

一、解答题1．如图1，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，边长为2的正方形ABCD（点D与点O重合）和边长为4的正方形EFGH的边CO和GH都在x轴上，且点H坐标为（7，0）．正方形ABCD以3个单位长度/秒的速度沿着x轴向右运动，记正方形ABCD和正方形EFGH重叠部分的面积为S，假设运动时间为t秒，且t＜4．（1）点F的坐标为；（2）如图2，正方形ABCD向右运动的同时，动点P在线段FE上，以1个单位长度/秒的速度从F到E运动．连接AP，AE．①求t为何值时，AP所在直线垂直于x轴；②求t为何值时，S＝S△APE．2．已知：AB∥CD，截线MN分别交AB、CD于点M、N．（1）如图①，点B在线段MN上，设∠EBM＝α°，∠DNM＝β°，且满足+（β﹣60）2＝0，求∠BEM的度数；（2）如图②，在（1）的条件下，射线DF平分∠CDE，且交线段BE的延长线于点F；请写出∠DEF与∠CDF之间的数量关系，并说明理由；（3）如图③，当点P在射线NT上运动时，∠DCP与∠BMT的平分线交于点Q，则∠Q与∠CPM的比值为（直接写出答案）．3．已知AB∥CD，∠ABE与∠CDE的角分线相交于点F．（1）如图1，若BM、DM分别是∠ABF和∠CDF的角平分线，且∠BED＝100°，求∠M的度数；（2）如图2，若∠ABM＝∠ABF，∠CDM＝∠CDF，∠BED＝α°，求∠M的度数；（3）若∠ABM＝∠ABF，∠CDM＝∠CDF，请直接写出∠M与∠BED之间的数量关系4．如图，已知直线射线CD，．P是射线EB上一动点，过点P作PQEC交射线CD于点Q，连接CP．作，交直线AB于点F，CG平分．（1）若点P，F，G都在点E的右侧，求的度数；（2）若点P，F，G都在点E的右侧，，求的度数；（3）在点P的运动过程中，是否存在这样的情形，使？若存在，求出的度数；若不存在，请说明理由．5．综合与实践背景阅读：在同一平面内，两条不重合的直线的位置关系有相交、平行，若两条不重合的直线只有一个公共点，我们就说这两条直线相交，若两条直线不相交，我们就说这两条直线互相平行两条直线的位置关系的性质和判定是几何的重要知识，是初中阶段几何合情推理的基础．已知：AM∥CN，点B为平面内一点，AB⊥BC于B．问题解决：（1）如图1，直接写出∠A和∠C之间的数量关系；（2）如图2，过点B作BD⊥AM于点D，求证：∠ABD＝∠C；（3）如图3，在（2）问的条件下，点E、F在DM上，连接BE、BF、CF，BF平分∠DBC，BE平分∠ABD，若∠FCB+∠NCF＝180°，∠BFC＝3∠DBE，则∠EBC＝．6．如图，直线AB∥直线CD，线段EF∥CD，连接BF、CF．（1）求证：∠ABF+∠DCF＝∠BFC；（2）连接BE、CE、BC，若BE平分∠ABC，BE⊥CE，求证：CE平分∠BCD；（3）在（2）的条件下，G为EF上一点，连接BG，若∠BFC＝∠BCF，∠FBG＝2∠ECF，∠CBG＝70°，求∠FBE的度数．7．阅读下面文字：对于可以如下计算：原式上面这种方法叫拆项法，你看懂了吗？仿照上面的方法，计算：（1）（2）8．对于有理数、，定义了一种新运算“※”为：如：，．（1）计算：①______；②______；（2）若是关于的一元一次方程，且方程的解为，求的值；（3）若，，且，求的值．9．我们知道，任意一个正整数都可以进行这样的分解：（，是正整数，且），在的所有这种分解中，如果，两因数之差的绝对值最小，我们就称是的最佳分解，并规定：．例如：可分解成，或，因为，所以是的最佳分解，所以（1）填空：；；（2）一个两位正整数（，，，为正整数），交换其个位上的数字与十位上的数字得到的新数减去原数所得的差为，求出所有的两位正整数；并求的最大值；（3）填空：①；②；10．阅读下面的文字，解答问题．对于实数a，我们规定：用符号[a]表示不大于a的最大整数；用{a}表示a减去[a]所得的差．例如：[]＝1，[2.2]＝2，{}＝﹣1，{2.2}＝2.2﹣2＝0.2．（1）仿照以上方法计算：[]＝{5﹣}＝；（2）若[]＝1，写出所有满足题意的整数x的值：．（3）已知y0是一个不大于280的非负数，且满足{}＝0．我们规定：y1＝[]，y2＝[]，y3＝[]，…，以此类推，直到yn第一次等于1时停止计算．当y0是符合条件的所有数中的最大数时，此时y0＝，n＝．11．阅读理解：一个多位数，如果根据它的位数，可以从左到右分成左、中、右三个数位相同的整数，其中a代表这个整数分出来的左边数，b代表的这个整数分出来的中间数，c代表这个整数分出来的右边数，其中a，b，c数位相同，若b﹣a＝c﹣b，我们称这个多位数为等差数．例如：357分成了三个数3，5，7，并且满足：5﹣3＝7﹣5；413223分成三个数41，32，23，并且满足：32﹣41＝23﹣32；所以：357和413223都是等差数．（1）判断：148等差数，514335等差数；（用“是”或“不是”填空）（2）若一个三位数是等差数，试说明它一定能被3整除；（3）若一个三位数T是等差数，且T是24的倍数，求该等差数T．12．先阅读下面的材料，再解答后面的各题：现代社会会保密要求越来越高，密码正在成为人们生活的一部分，有一种密码的明文（真实文）按计算机键盘字母排列分解，其中这26个字母依次对应这26个自然数（见下表）．QWERTYUIOPASD12345678910111213FGHJKLZXCVBNM14151617181920212223242526给出一个变换公式：将明文转成密文，如，即变为：，即A变为S．将密文转成成明文，如，即变为：，即D变为F．（1）按上述方法将明文译为密文．（2）若按上方法将明文译成的密文为，请找出它的明文．13．如图①，在平面直角坐标系中，点，，其中，是16的算术平方根，，线段由线段平移所得，并且点与点A对应，点与点对应．（1）点A的坐标为；点的坐标为；点的坐标为；（2）如图②，是线段上不同于的任意一点，求证：；（3）如图③，若点满足，点是线段OA上一动点（与点、A不重合），连交于点，在点运动的过程中，是否总成立？请说明理由．14．如图，已知//，点是射线上一动点（与点不重合），分别平分和，分别交射线于点．（1）当时，的度数是_______；（2）当，求的度数（用的代数式表示）；（3）当点运动时，与的度数之比是否随点的运动而发生变化?若不变化，请求出这个比值；若变化，请写出变化规律．（4）当点运动到使时，请直接写出的度数．15．如图，在长方形ABCD中，AB=8cm，BC=6cm，点E是CD边上的一点，且DE=2cm，动点P从A点出发，以2cm/s的速度沿A→B→C→E运动，最终到达点E．设点P运动的时间为t秒．（1）请以A点为原点，AB所在直线为x轴，1cm为单位长度，建立一个平面直角坐标系，并用t表示出点P在不同线段上的坐标．（2）在（1）相同条件得到的结论下，是否存在P点使△APE的面积等于20cm2时，若存在，请求出P点坐标；若不存在，请说明理由．16．某超市分别以每盏150元，190元的进价购进A，B两种品牌的护眼灯，下表是近两天的销售情况．销售日期销售数量(盏)销售收入(元)A品牌B品牌第一天21680第二天341670（1）求A，B两种品牌护眼灯的销售价；（2）若超市准备用不超过4900元的金额购进这两种品牌的护眼灯共30盏，求B品牌的护眼灯最多采购多少盏？17．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点，其中满足，D为直线AB与轴的交点，C为线段AB上一点，其纵坐标为.（1）求的值；（2）当为何值时，和面积的相等；（3）若点C坐标为（-2,1），点M（m，-3）在第三象限内，满足，求m的取值范围.（注：表示的面积）18．在平面直角坐标系xOy中，对于给定的两点P，Q，若存在点M，使得△MPQ的面积等于1，即S△MPQ＝1，则称点M为线段PQ的“单位面积点”，解答下列问题：如图，在平面直角坐标系xOy中，点P的坐标为（1，0）．（1）在点A（1，2），B（﹣1，1），C（﹣1，﹣2），D（2，﹣4）中，线段OP的“单位面积点”是；（2）已知点E（0，3），F（0，4），将线段OP沿y轴向上平移t（t＞0）个单位长度，使得线段EF上存在线段OP的“单位面积点”，直接写出t的取值范围．（3）已知点Q（1，﹣2），H（0，﹣1），点M，N是线段PQ的两个“单位面积点”，点M在HQ的延长线上，若S△HMN≥S△PQN，求出点N纵坐标的取值范围．19．判断下面方程组的解法是否正确，如果全部正确，判断即可；如果有错误，请写出正确的解题过程．解：①×2-②×3，得，解得，把代入方程①，得，解得．∴原方程组的解为20．每年的6月5日为世界环保日，为提倡低碳环保，某公司决定购买10台节省能源的新机器，现有甲、乙两种型号的机器可选，其中每台的价格、产量如下表：甲型机器乙型机器价格（万元/台）ab产量（吨/月）240180经调查：购买一台甲型机器比购买一台乙型机器多12万元，购买2台甲型机器比购买3台乙型机器多6万元．（1）求a、b的值；（2）若该公司购买新机器的资金不超过216万元，请问该公司有哪几种购买方案？（3）在（2）的条件下，若公司要求每月的产量不低于1890吨，请你为该公司设计一种最省钱的购买方案．21．某公园的门票价格如下表所示：某中学七年级(1)、(2)两个班计划去游览该公园，其中(I)班的人数较少，不足50人；(2)班人数略多，有50多人．如果两个班都以班为单位分别购票，则一共应付1172元，如果两个班联合起来，作为一个团体购票，则需付1078元．(1)列方程求出两个班各有多少学生；(2)如果两个班联合起来买票，是否可以买单价为9元的票？你有什么省钱的方法来帮他们买票呢？请给出最省钱的方案．22．如图，，是的平分线，和的度数满足方程组，（1）求和的度数；（2）求证：.（3）求的度数.23．我市某包装生产企业承接了一批上海世博会的礼品盒制作业务，为了确保质量，该企业进行试生产．他们购得规格是的标准板材作为原材料，每张标准板材再按照裁法一或裁法二裁下A型与B型两种板材．如图甲，（单位：）（1）列出方程（组），求出图甲中a与b的值；（2）在试生产阶段，若将30张标准板材用裁法一裁剪，4张标准板材用裁法二裁剪，再将得到的A型与B型板材做侧面和底面，做成图乙的竖式与横式两种礼品盒．①两种裁法共产生A型板材________张，B型板材_______张；②已知①中的A型板材和B型板材恰好做成竖式有盖礼品盒x个，横式无盖礼品盒的y个，求x、y的值．24．某治污公司决定购买10台污水处理设备．现有甲、乙两种型号的设备可供选择，其中每台的价格与月处理污水量如下表：甲型乙型价格(万元/台)xy处理污水量(吨/月)300260经调查：购买一台甲型设备比购买一台乙型设备多2万元，购买3台甲型设备比购买4台乙型设备少2万元．（1）求x，y的值；（2）如果治污公司购买污水处理设备的资金不超过91万元，求该治污公司有哪几种购买方案；（3）在（2）的条件下，如果月处理污水量不低于2750吨，为了节约资金，请为该公司设计一种最省钱的购买方案．25．阅读材料：如果x是一个有理数，我们把不超过x的最大整数记作[x]．例如，[3.2]=3，[5]=5，[－2.1]=－3．那么，x=[x]+a，其中0≤a＜1．例如，3.2=[3.2]+0.2，5=[5]+0，－2.1=[－2.1]+0.9．请你解决下列问题：（1）[4.8]=，[－6.5]=；（2）如果[x]=3，那么x的取值范围是；（3）如果[5x－2]=3x+1，那么x的值是；（4）如果x=[x]+a，其中0≤a＜1，且4a=[x]+1，求x的值．26．如图，在平面直角坐标系中，轴，轴，且，动点从点出发，以每秒的速度，沿路线向点运动；动点从点出发，以每秒的速度，沿路线向点运动．若两点同时出发，其中一点到达终点时，运动停止．（Ⅰ）直接写出三个点的坐标；（Ⅱ）设两点运动的时间为秒，用含的式子表示运动过程中三角形的面积；（Ⅲ）当三角形的面积的范围小于16时，求运动的时间的范围．27．若关于x的方程ax+b＝0（a≠0）的解与关于y的方程cy+d＝0（c≠0）的解满足﹣1≤x﹣y≤1，则称方程ax+b＝0（a≠0）与方程cy+d＝0（c≠0）是“友好方程”．例如：方程2x﹣1＝0的解是x＝0.5，方程y﹣1＝0的解是y＝1，因为﹣1≤x﹣y≤1，方程2x﹣1＝0与方程y﹣1＝0是“友好方程”．（1）请通过计算判断方程2x﹣9＝5x﹣2与方程5（y﹣1）﹣2（1﹣y）＝﹣34﹣2y是不是“友好方程”．（2）若关于x的方程3x﹣3+4（x﹣1）＝0与关于y的方程+y＝2k+1是“友好方程”，请你求出k的最大值和最小值．28．（发现问题）已知，求的值．方法一：先解方程组，得出，的值，再代入，求出的值．方法二：将①②，求出的值．（提出问题）怎样才能得到方法二呢？（分析问题）为了得到方法二，可以将①②，可得．令等式左边，比较系数可得，求得．（解决问题）（1）请你选择一种方法，求的值；（2）对于方程组利用方法二的思路，求的值；（迁移应用）（3）已知，求的范围．29．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标分别为(1，0)、(-2，0)，现同时将点分别向上平移2个单位，再向左平移1个单位，分别得到点的对应点，连接、、.（1）若在轴上存在点,连接，使S△ABM=S□ABDC，求出点的坐标；（2）若点在线段上运动，连接，求S=S△PCD+S△POB的取值范围；（3）若在直线上运动，请直接写出的数量关系.30．某生态柑橘园现有柑橘21吨，计划租用A，B两种型号的货车将柑橘运往外地销售．已知满载时，用2辆A型车和3辆B型车一次可运柑橘12吨；用3辆A型车和4辆B型车一次可运柑橘17吨．（1）1辆A型车和1辆B型车满载时一次分别运柑橘多少吨？（2）若计划租用A型货车m辆，B型货车n辆，一次运完全部柑橘，且每辆车均为满载．①请帮柑橘园设计租车方案；②若A型车每辆需租金120元/次，B型车每辆需租金100元/次．请选出最省钱的租车方案，并求出最少租车费．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、解答题1．（1）（3，4）；（2）①t=时，AP所在直线垂直于x轴；②当t为或时，S＝S△APE．【分析】（1）根据直角坐标系得出点F的坐标即可；（2）①根据AP所在直线垂直于x轴，得出关于t的方程，解答即可；②分和两种情况，利用面积公式列出方程即可求解．【详解】（1）由直角坐标系可得：F坐标为：（3，4）；故答案为：（3，4）；（2）①要使AP所在直线垂直于x轴．如图1，只需要Px＝Ax，则t+3＝3t，解得：，所以即时，AP所在直线垂直于x轴；②由题意知，OH＝7，所以当时，点D与点H重合，所以要分以下两种情况讨论：情况一：当时，GD＝3t﹣3，PF＝t，PE＝4﹣t，∵S＝S△APE，∴BC×GD＝，即：2×（3t﹣3）＝，解得：；情况二：当时，如图2，HD＝3t﹣7，PF＝t，PE＝4﹣t，∵S＝S△APE，∴BC×CH＝，即：2×[2﹣（3t﹣7）]＝，解得：，综上所述，当t为或时，S＝S△APE．【点睛】本题考查了平面直角坐标系中点的移动，一元一次方程的应用等问题，理解题意，分类讨论是解题关键．2．（1）30°；（2）∠DEF+2∠CDF＝150°，理由见解析；（3）【分析】（1）由非负性可求α，β的值，由平行线的性质和外角性质可求解；（2）过点E作直线EH∥AB，由角平分线的性质和平行线的性质可求∠DEF＝180°﹣30°﹣2x°＝150°﹣2x°，由角的数量可求解；（3）由平行线的性质和外角性质可求∠PMB＝2∠Q+∠PCD，∠CPM＝2∠Q，即可求解．【详解】解：（1）∵+（β﹣60）2＝0，∴α＝30，β＝60，∵AB∥CD，∴∠AMN＝∠MND＝60°，∵∠AMN＝∠B+∠BEM＝60°，∴∠BEM＝60°﹣30°＝30°；（2）∠DEF+2∠CDF＝150°．理由如下：过点E作直线EH∥AB，∵DF平分∠CDE，∴设∠CDF＝∠EDF＝x°；∵EH∥AB，∴∠DEH＝∠EDC＝2x°，∴∠DEF＝180°﹣30°﹣2x°＝150°﹣2x°；∴∠DEF＝150°﹣2∠CDF，即∠DEF+2∠CDF＝150°；（3）如图3，设MQ与CD交于点E，∵MQ平分∠BMT，QC平分∠DCP，∴∠BMT＝2∠PMQ，∠DCP＝2∠DCQ，∵AB∥CD，∴∠BME＝∠MEC，∠BMP＝∠PND，∵∠MEC＝∠Q+∠DCQ，∴2∠MEC＝2∠Q+2∠DCQ，∴∠PMB＝2∠Q+∠PCD，∵∠PND＝∠PCD+∠CPM＝∠PMB，∴∠CPM＝2∠Q，∴∠Q与∠CPM的比值为，故答案为：．【点睛】本题主要考查了平行线的性质、角平分线的性质，准确计算是解题的关键．3．（1）65°；（2）；（3）2n∠M+∠BED=360°【分析】（1）首先作EG∥AB，FH∥AB，连结MF，利用平行线的性质可得∠ABE+∠CDE=260°，再利用角平分线的定义得到∠ABF+∠CDF=130°，从而得到∠BFD的度数，再根据角平分线的定义和三角形外角的性质可求∠M的度数；（2）先由已知得到∠ABE=6∠ABM，∠CDE=6∠CDM，由（1）得∠ABE+∠CDE=360°-∠BED，∠M=∠ABM+∠CDM，等量代换即可求解；（3）由（2）的方法可得到2n∠M+∠BED=360°．【详解】解：（1）如图1，作，，连结，，，，，，，，，，和的角平分线相交于，，，、分别是和的角平分线，，，，；（2）如图1，，，，，与两个角的角平分线相交于点，，，，，，；（3）由（2）结论可得，，，则．【点睛】本题主要考查了平行线的性质和四边形的内角和，关键在于掌握两直线平行同位角相等，内错角相等，同旁内角互补的性质．4．（1）40°；（2）65°；（3）存在，56°或20°【分析】（1）依据平行线的性质以及角平分线的定义，即可得到∠PCG的度数；（2）依据平行线的性质以及角平分线的定义，即可得到∠ECG=∠GCF=25°，再根据PQ∥CE，即可得出∠CPQ=∠ECP=65°；（3）设∠EGC=4x，∠EFC=3x，则∠GCF=4x-3x=x，分两种情况讨论：①当点G、F在点E的右侧时，②当点G、F在点E的左侧时，依据等量关系列方程求解即可．【详解】解：（1）∵∠CEB=100°，AB∥CD，∴∠ECQ=80°，∵∠PCF=∠PCQ，CG平分∠ECF，∴∠PCG＝∠PCF+∠FCG＝∠QCF+∠FCE=∠ECQ=40°；（2）∵AB∥CD∴∠QCG=∠EGC，∠QCG+∠ECG=∠ECQ=80°，∴∠EGC+∠ECG=80°，又∵∠EGC-∠ECG=30°，∴∠EGC=55°，∠ECG=25°，∴∠ECG=∠GCF=25°，∠PCF=∠PCQ=（80°-50°）=15°，∵PQ∥CE，∴∠CPQ=∠ECP=65°；（3）设∠EGC=4x，∠EFC=3x，则∠GCF=∠FCD=4x-3x=x，①当点G、F在点E的右侧时，则∠ECG=x，∠PCF=∠PCD=x，∵∠ECD=80°，∴x+x+x+x=80°，解得x=16°，∴∠CPQ=∠ECP=x+x+x=56°；②当点G、F在点E的左侧时，则∠ECG=∠GCF=x，∵∠CGF=180°-4x，∠GCQ=80°+x，∴180°-4x=80°+x，解得x=20°，∴∠FCQ=∠ECF+∠ECQ=40°+80°=120°，∴∠PCQ＝∠FCQ＝60°，∴∠CPQ=∠ECP=80°-60°=20°．【点睛】本题主要考查了平行线的性质，解题时注意：两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等．5．（1）；（2）见解析；（3）105°【分析】（1）通过平行线性质和直角三角形内角关系即可求解．（2）过点B作BG∥DM，根据平行线找角的联系即可求解．（3）利用（2）的结论，结合角平分线性质即可求解．【详解】解：（1）如图1，设AM与BC交于点O,∵AM∥CN，∴∠C＝∠AOB，∵AB⊥BC，∴∠ABC＝90°，∴∠A＋∠AOB＝90°，∠A＋∠C＝90°，故答案为：∠A＋∠C＝90°；（2）证明：如图2，过点B作BG∥DM，∵BD⊥AM，∴DB⊥BG，∴∠DBG＝90°，∴∠ABD＋∠ABG＝90°，∵AB⊥BC，∴∠CBG＋∠ABG＝90°，∴∠ABD＝∠CBG，∵AM∥CN，∴∠C＝∠CBG，∴∠ABD＝∠C；（3）如图3，过点B作BG∥DM，∵BF平分∠DBC，BE平分∠ABD，∴∠DBF＝∠CBF，∠DBE＝∠ABE，由（2）知∠ABD＝∠CBG，∴∠ABF＝∠GBF，设∠DBE＝α，∠ABF＝β，则∠ABE＝α，∠ABD＝2α＝∠CBG，∠GBF＝∠AFB＝β，∠BFC＝3∠DBE＝3α，∴∠AFC＝3α＋β，∵∠AFC＋∠NCF＝180°，∠FCB＋∠NCF＝180°，∴∠FCB＝∠AFC＝3α＋β，△BCF中，由∠CBF＋∠BFC＋∠BCF＝180°得：2α＋β＋3α＋3α＋β＝180°，∵AB⊥BC，∴β＋β＋2α＝90°，∴α＝15°，∴∠ABE＝15°，∴∠EBC＝∠ABE＋∠ABC＝15°＋90°＝105°．故答案为：105°．【点睛】本题考查平行线性质，画辅助线，找到角的和差倍分关系是求解本题的关键．6．（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）∠FBE＝35°．【分析】（1）根据平行线的性质得出∠ABF＝∠BFE，∠DCF＝∠EFC，进而解答即可；（2）由（1）的结论和垂直的定义解答即可；（3）由（1）的结论和三角形的角的关系解答即可．【详解】证明：（1）∵AB∥CD，EF∥CD，∴AB∥EF，∴∠ABF＝∠BFE，∵EF∥CD，∴∠DCF＝∠EFC，∴∠BFC＝∠BFE+∠EFC＝∠ABF+∠DCF；（2）∵BE⊥EC，∴∠BEC＝90°，∴∠EBC+∠BCE＝90°，由（1）可得：∠BFC＝∠ABE+∠ECD＝90°，∴∠ABE+∠ECD＝∠EBC+∠BCE，∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠EBC，∴∠ECD＝∠BCE，∴CE平分∠BCD；（3）设∠BCE＝β，∠ECF＝γ，∵CE平分∠BCD，∴∠DCE＝∠BCE＝β，∴∠DCF＝∠DCE﹣∠ECF＝β﹣γ，∴∠EFC＝β﹣γ，∵∠BFC＝∠BCF，∴∠BFC＝∠BCE+∠ECF＝γ+β，∴∠ABF＝∠BFE＝2γ，∵∠FBG＝2∠ECF，∴∠FBG＝2γ，∴∠ABE+∠DCE＝∠BEC＝90°，∴∠ABE＝90°﹣β，∴∠GBE＝∠ABE﹣∠ABF﹣∠FBG＝90°﹣β﹣2γ﹣2γ，∵BE平分∠ABC，∴∠CBE＝∠ABE＝90°﹣β，∴∠CBG＝∠CBE+∠GBE，∴70°＝90°﹣β+90°﹣β﹣2γ﹣2γ，整理得：2γ+β＝55°，∴∠FBE＝∠FBG+∠GBE＝2γ+90°﹣β﹣2γ﹣2γ＝90°﹣（2γ+β）＝35°．【点睛】本题主要考查平行线的性质，解决本题的关键是根据平行线的性质解答．7．（1）（2）【分析】（1）根据例子将每项的整数部分相加，分数部分相加即可解答；（2）根据例子将每项的整数部分相加，分数部分相加即可解答.【详解】（1）（2）原式【点睛】此题考察新计算方法，正确理解题意是解题的关键，根据例子即可仿照计算.8．（1）①5；②；（2）1；（3）16．【分析】(1)根据题中定义代入即可得出；(2)根据，讨论3和的两种大小关系，进行计算；(3)先判定A、B的大小关系，再进行求解．【详解】（1）根据题意：∵，∴，∵，∴．（2）∵，∴，①若，则，解得，②若，则，解得(不符合题意)，∴．（3）∵，∴，∴，得，∴．【点睛】本题考查了一种新运算，读懂题意掌握新运算并能正确化简是解题的关键．9．（1），1；（2）两位正整数为39，28，17，的最大值为；（3）①；②【分析】（1）仿照样例进行计算即可；（2）由题设可以看出交换前原数的十位上数字为a，个位上数字为b，则原数可以表示为，交换后十位上数字为b，个位上数字为a，则交换后数字可以表示为，根据“交换其个位上的数字与十位上的数字得到的新数减去原数所得的差为54”确定出a与b的关系式，进而求出所有的两位数，然后求解确定出的最大值即可；（3）根据样例分解计算即可．【详解】解：（1）∵，∴；∵，∴，故答案为：；1；（2）由题意可得：交换后的数减去交换前的数的差为：，∴，∵，∴或或，∴t为39，28，17；∵39＝1×39＝3×13，∴；28＝1×28＝2×14＝4×7，∴＝；17＝1×17，∴；∴的最大值．（3）①∵∴；②∴；故答案为：；【点睛】本题主要考查了有理数的运算，理解最佳分解的定义，并将其转化为有理数的运算是解题的关键．10．（1）2；3﹣；（2）1、2、3；（3）256，4【分析】（1）依照定义进行计算即可；（2）由题可知，，则可得满足题意的整数的的值为1、2、3；（3）由，可知，是某个整数的平方，又是符合条件的所有数中最大的数，则，再依次进行计算．【详解】解：（1）由定义可得，，，．故答案为：2；．（2），，即，整数的值为1、2、3．故答案为：1、2、3．（3），即，可设，且是自然数，是符合条件的所有数中的最大数，，，，，，即．故答案为：256，4．【点睛】本题属于新定义类问题，主要考查估算无理数大小，无理数的整数部分和小数部分，理解定义内容是解题关键．11．（1）不是，是；（2）见解析；（3）432或456或840或864或888【分析】（1）根据等差数的定义判定即可；（2）设这个三位数是M，，根据等差数的定义可知，进而得出即可．（3）根据等差数的定义以及24的倍数的数的特征可先求出a的值，再根据是8的倍数可确定c的值，又因为，所以可确定a、c为偶数时b才可取整数有意义，排除不符合条件的a、c值，再将符合条件的a、c代入求出b的值，即可求解．【详解】解：（1）∵，∴148不是等差数，∵，∴514335是等差数；（2）设这个三位数是M，，∵，∴，∵，∴这个等差数是3的倍数；（3）由（2）知，∵T是24的倍数，∴是8的倍数，∵2c是偶数，∴只有当35a也是偶数时才有可能是8的倍数，∴或4或6或8，当时，，此时若，则，若，则，若，则，大于70又是8的倍数的最小数是72，之后是80,88当时不符合题意；当时，，此时若，则，若，则，（144、152是8的倍数），当时，，此时若，则，若，则，（216、244是8的倍数），当时，，此时若，则，若，则，若，则，（280,288,296是8的倍数），∵，∴若a是偶数，则c也是偶数时b才有意义，∴和是c是奇数均不符合题意，当时，，当时，，当时，，当时，，当时，，综上，T为432或456或840或864或888．【点睛】本题考查新定义下的实数运算、有理数混合运算，整式的加减运算，能够结合倍数的特点及熟练掌握整数的奇偶性是解题关键．12．（1）N,E,T密文为M,Q,P;（2）密文D,W,N的明文为F,Y,C．【分析】(1)

由图表找出N,E,T对应的自然数,再根据变换公式变成密文.(2)由图表找出N=M,Q,P对应的自然数，再根据变换.公式变成明文.【详解】解：（1）将明文NET转换成密文：即N,E,T密文为M,Q,P;（2）将密文D,W,N转换成明文：即密文D,W,N的明文为F,Y,C．【点睛】本题考查有理数的混合运算，此题较复杂，解答本题的关键是由图表中找到对应的数或字母，正确运用转换公式进行转换．13．（1），，；（2）证明见解析；（3）成立，理由见解析【分析】（1）根据算术平方根、立方根得、；再根据直角坐标系、平移的性质分析，即可得到答案；（2）根据平移的性质，得；根据平行线性质，分别推导得，，从而完成证明；（3）结合题意，根据平行线的性质，推导得、；结合（2）的结论，通过计算即可完成证明．【详解】（1）连接∵是16的算术平方根∴∴∴∵∴∴∴∵线段由线段平移所得，并且点与点A对应，点与点对应∴，∴故答案为：，，；（2）∵线段由线段平移所得∴，∴∵∴∵∴∴（3）∵∴∵∴∵∴，即∵∴∴∵∴∵，∴由（2）的结论得：，∵，∴∴∵∴∴∴在点运动的过程中，总成立．【点睛】本题考查了算术平方根、立方根、平行线、平移、直角坐标系的知识；解题的关键是熟练掌握直角坐标系、平移、平行线的性质，从而完成求解．14．（1）120°；（2）90°-x°；（3）不变，；（4）45°【分析】（1）由平行线的性质：两直线平行同旁内角互补可得；（2）由平行线的性质可得∠ABN=180°-x°，根据角平分线的定义知∠ABP=2∠CBP、∠PBN=2∠DBP，可得2∠CBP+2∠DBP=180°-x°，即∠CBD=∠CBP+∠DBP=90°-x°；（3）由AM∥BN得∠APB=∠PBN、∠ADB=∠DBN，根据BD平分∠PBN知∠PBN=2∠DBN，从而可得∠APB：∠ADB=2：1；（4）由AM∥BN得∠ACB=∠CBN，当∠ACB=∠ABD时有∠CBN=∠ABD，得∠ABC+∠CBD=∠CBD+∠DBN，即∠ABC=∠DBN，根据角平分线的定义可得∠ABP=∠PBN=∠ABN=2∠DBN，由平行线的性质可得∠A+∠ABN=90°，即可得出答案．【详解】解：（1）∵AM∥BN，∠A=60°，∴∠A+∠ABN=180°，∴∠ABN=120°；（2）∵AM∥BN，∴∠ABN+∠A=180°，∴∠ABN=180°-x°，∴∠ABP+∠PBN=180°-x°，∵BC平分∠ABP，BD平分∠PBN，∴∠ABP=2∠CBP，∠PBN=2∠DBP，∴2∠CBP+2∠DBP=180°-x°，∴∠CBD=∠CBP+∠DBP=（180°-x°）=90°-x°；（3）不变，∠ADB：∠APB=．∵AM∥BN，∴∠APB=∠PBN，∠ADB=∠DBN，∵BD平分∠PBN，∴∠PBN=2∠DBN，∴∠APB：∠ADB=2：1，∴∠ADB：∠APB=；（4）∵AM∥BN，∴∠ACB=∠CBN，当∠ACB=∠ABD时，则有∠CBN=∠ABD，∴∠ABC+∠CBD=∠CBD+∠DBN，∴∠ABC=∠DBN，∵BC平分∠ABP，BD平分∠PBN，∴∠ABP=2∠ABC，∠PBN=2∠DBN，∴∠ABP=∠PBN=2∠DBN=∠ABN，∵AM∥BN，∴∠A+∠ABN=180°，∴∠A+∠ABN=90°，∴∠A+2∠DBN=90°，∴∠A+∠DBN=（∠A+2∠DBN）=45°．【点睛】本题主要考查平行线的性质和角平分线的定义，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．15．（1）建立直角坐标系见解析，当0＜t≤4时，即当点P在线段AB上时，其坐标为：P(2t，0)，当4＜t≤7时，即当点P在线段BC上时，其坐标为：P(8，2t﹣8)，当7＜t≤10时，即当点P在线段CE上时，其坐标为：P(22﹣2t，6)；（2）存在，当点P的坐标分别为：P(，0)或P(8，4)时，△APE的面积等于．【分析】（1）建立平面直角坐标系，根据点P的运动速度分别求出点P在线段AB，BC，CE上的坐标；（2）根据（1）中得到的点P的坐标以及，分别列出三个方程并解出此时t的值再进行讨论．【详解】（1）正确画出直角坐标系如下：当0＜t≤4时，点P在线段AB上，此时P点的横坐标为，其纵坐标为0；∴此时P点的坐标为：P(2t，0)；同理：当4＜t≤7时，点P在线段BC上，此时P点的坐标为：P(8，2t﹣8)；当7＜t≤10时，点P在线段CE上，此时P点的坐标为：P(22﹣2t，6)．（2）存在，①如图1，当0＜t≤4时，点P在线段AB上，，解得：t（s）；∴P点的坐标为：P(，0)．②如图2，当4＜t≤7时，点P在线段BC上，；∴；解得：t=6（s）；∴点P的坐标为：P(8，4)．③如图3，当7＜t≤10时，点P在线段CE上，；解得：t（s）；∵7，∴t（应舍去），综上所述：当P点的坐标为：P（，0)或P（8，4)时，△APE的面积等于．【点睛】本题考查了三角形的面积的计算公式，，在本题计算的过程中根据动点的坐标正确地求出三角形的底边长度和高是解题的关键．16．（1）A品牌为210元/盏，B品牌为260元/盏．（2）10盏．【分析】（1）设A品牌护眼灯的销售价为x元/盏，B品牌护眼灯的销售价为y元/盏，根据总价=单价×数量结合两天的销售情况，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）设采购m盏B品牌的护眼灯，则采购(30-m)盏A品牌的护眼灯，根据总价=单价×数量结合总费用不超过4900元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论．【详解】（1）设A品牌护眼灯的销售价为x元/盏，B品牌护眼灯的销售价为y元/盏，依题意，得：，解得：．答：A品牌护眼灯的销售价为210元/盏，B品牌护眼灯的销售价为260元/盏．（2）设采购m盏B品牌的护眼灯，则采购(30-m)盏A品牌的护眼灯，依题意，得：150(30-m)+190m≤4900，解得：m≤10．答：B品牌的护眼灯最多采购10盏．【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．销售日期销售数量(盏)销售收入(元)A品牌B品牌第一天21680第二天34167017．（1）；（2）当时，和面积的相等；（3）m的取值范围是【分析】（1）利用非负数的性质求出a，b，c即可．（2）设点D的坐标为（0，y），根据面积关系，构建方程求出y，再根据△BOC和△AOD面积的相等，构建方程求出t即可．（3）分两种情形：①当-2＜m＜0时，如图1中，②当m≤-2时，如图2中，根据S△MOC≥5，构建不等式求解即可．【详解】解：（1）∵|a-2|+(b-3)2+=0，又∵|a-2|≥0，(b-3)2≥0，≥0，∴，∴a=2，b=3，c=-4；（2）设点D的坐标为（0，y），则S△BOD=×BO×OD=×4×y＝2y，S△AOD=xA•OD=×2y=y，S△AOB=×OB•yA=×4×3＝6，∵S△BOD+S△AOD=S△AOB，即2y+y=6，解得y=2，即点D的坐标为（0，2），∴S△BOC=BO•yc=×4t=2t，S△AOD=xA•OD=×2×2=2，∵△BOC和△AOD面积的相等，即2t=2，解得t=1，∴当t=1时，△BOC和△AOD面积的相等；（3）①当-2＜m＜0时，如图1中，过点C作CF⊥轴于点F，过点M作GE⊥轴于点E，过点C作CG⊥轴交GE于点G，则四边形CGEF为矩形，∵SCGEF=2×4=8，S△CFO=×2×1＝1，S△EMO=×(0−m)×3=−m，S△CMG=×(m+2)×4＝2(m+2)，∴S△MOC=SCGEF-S△CFO-S△EMO-S△CMG=8−1−(−m)−2(m+2)=3−m，∵S△MOC≥5，即3−m≥5，解得m≤-4，这与-2＜m＜0矛盾．②当m≤-2时，如图2中，过点C作GF⊥轴于点F，过点M作ME⊥轴于点E，过点M作MG⊥轴交GF于点G，则四边形MEFG为矩形，∵SGMEF=(0-m)×4=-4m，S△CFO=×2×1＝1，S△EMO=×(0−m)×3=−m，S△CMG=×(−2−m)×4＝−2(m+2)，∴S△MOC=SCGEF-S△CFO-S△EMO-S△CMG=−4m−1−(−m)−[−2(m+2)]=3−m，∵S△MOC≥5，即3−m≥5，解得m≤-4，综上所述，m的取值范围是m≤-4．【点睛】本题考查了坐标与图形的性质，三角形的面积，非负数的性质等知识，解题的关键是学会利用参数，构建方程解决问题，属于中考压轴题．18．（1），；（2）或；（3）见解析【分析】（1）分别根据三角形的面积计算△OPA，△DPB，△DPC，△OPD的面积即可；（2）分线段OP在线段EF下方和线段OP在线段EF上方分别求解；（3）画出图形，根据S△PQN=1，得到S△HMN≥，分当xN=0时，当xN=2时，分别结合S△HMN≥，得到不等式，求出N点纵坐标的范围．【详解】解：（1）S△OPA=，则点A是线段OP的“单位面积点”，S△OPB=，则点B不是线段OP的“单位面积点”，S△OPC=，则点C是线段OP的“单位面积点”，S△OPD=，则点D不是线段OP的“单位面积点”，（2）设点G是线段OP的“单位面积点”，则S△OPG=1，∵点E的坐标为（0，3），点F的坐标为（0，4），且点G在线段EF上，∴点G的横坐标为0，∵S△OPG=1，线段OP为y轴向上平移t（t＞0）个单位长度，当为单位面积点时，当为单位面积点时，综上所述：1≤t≤2或5≤t≤6；（3）∵M，N是线段PQ的两个单位面积点，∴S△PQM=1，S△PQN=1，∵P（1，0），Q（1，-2），∴PQ=2，∴M，N的横坐标为0或2，∵点M在HQ的延长线上，∴点M的横坐标为xM=2，∵S△HMN≥S△PQN，∴S△HMN≥，当xN=0时，S△HMN=，则，∴或；当xN=2时，S△HMN=，则，∴或．【点睛】本题主要考查三角形的面积公式，并且能够理解单位面积点的定义，解题关键是找到单位面积点的轨迹进行求解．19．【分析】用加减消元法解二元一次方程组，在两个方程作差时符号出错了，正确为①②，得，再求解即可．【详解】解：上述解法不正确．正确解题过程如下：①②，得，解得，把代入方程①，得，解得．原方程组的解为．【点睛】本题考查了二元一次方程组的解，解题的关键是熟练掌握加减消元法解二元一次方程组．20．（1）；（2）有4种方案：3台甲种机器，7台乙种机器；2台甲种机器，8台乙种机器；1台甲种机器，9台乙种机器；10台乙种机器.（3）最省钱的方案是购买2台甲种机器，8台乙种机器.【分析】（1）根据购买一台甲型机器比购买一台乙型机器多12万元，购买2台甲型机器比购买3台乙型机器多6万元这一条件建立一元二次方程组求解即可,（2）设买了x台甲种机器,根据该公司购买新机器的资金不超过216万元，建立一次不等式求解即可,（3）将两种机器生产的产量相加,使总产量不低于1890吨，求出x的取值范围,再分别求出对应的成本即可解题.【详解】（1）解：由题意得,解得，；（2）解：设买了x台甲种机器由题意得:30＋18(10－x)≤216解得：x≤3∵x为非负整数∴x＝0、1、2、3∴有4种方案：3台甲种机器，7台乙种机器；2台甲种机器，8台乙种机器；1台甲种机器，9台乙种机器；10台乙种机器.（3）解：由题意得：240＋180（10－x）≥1890解得：x≥1.5∴1.5≤x≤3∴整数x＝2或3当x＝2时购买费用＝30×2＋18×8＝204(元)当x＝3时购买费用＝30×3＋18×7＝216(元)∴最省钱的方案是购买2台甲种机器，8台乙种机器.【点睛】本题考查了利润的实际应用,二元一次方程租的实际应用,一元一次不等式的实际应用,难度较大,认真审题,找到等量关系和不等关系并建立方程组和不等式组是解题关键.21．(1)七（1）班有47人，七（2）班有51人;(2)如果两个班联合起来买票，不可以买单价为9元的票,省钱的方法，可以买101张票，多余的作废即可【解析】【分析】（1）由两个班联合起来，作为一个团体购票，则需付1078元可知：可得票价不是9元，所以两个班的总人数没有超过100人，设七（1）班有x人，七（2）班有y人，可列方程组，解方程组即可得答案；（2）如果两班联合起来作为一个团体购票，则每张票11元，省钱的方法，可以买101张票，多余的作废即可。【详解】解：（1）∵两个班联合起来，作为一个团体购票，则需付1078元有∵可得票价不是9元，所以两个班的总人数没有超过100人，∴设七（1）班有x人，七（2）班有y人，依题意得：∴七（1）班有47人，七（2）班有51人（2）因为47+51=98<100∴如果两个班联合起来买票，不可以买单价为9元的票∴省钱的方法，可以买101张票，多余的作废即可。可省：【点睛】熟练掌握二元一次方程组的实际问题是解题的关键。22．（1）和的度数分别为和；（2）见解析；（3）【分析】根据，解二元一次方程组，求出和的度数；根据平行线判定定理，判定；由“是的平分线”：，再根据平行线判定定理，求出的度数.【详解】解：（1）①②，得，，代入①得和的度数分别为和.（2），（3）是的平分线，【点睛】本题运用二元一次方程组给出已知条件，熟练掌握二元一次方程组的解法以及平行线相关定理是解题的关键.23．（1）a=60，b=40；（2）①64，38；②x=7，y=12【分析】（1）由图示利用板材的长列出关于a、b的二元一次方程组求解；（2）①根据已知和图示计算出两种裁法共产生A型板材和B型板材的张数；②根据竖式与横式礼品盒所需要的A、B两种型号板材的张数列出关于x、y的二元一次方程组，然后求解即可．【详解】解：（1）由题意得：，解得：，答：图甲中与的值分别为：60、40；（2）①由图示裁法一产生型板材为：，裁法二产生型板材为：，所以两种裁法共产生型板材为（张，由图示裁法一产生型板材为：，裁法二产生型板材为，，所以两种裁法共产生型板材为（张，故答案为：64，38；②根据题意竖式有盖礼品盒的个，横式无盖礼品盒的个，则型板材需要个，型板材需要个，所以，解得．【点睛】本题考查的知识点是二元一次方程组的应用，关键是根据已知先列出二元一次方程组求出a、b的值，根据图示列出算式以及关于x、y的二元一次方程组．24．（1）；（2）该公司有6种购买方案，方案1：购买10台乙型设备；方案2：购买1台甲型设备，9台乙型设备；方案3：购买2台甲型设备，8台乙型设备；方案4：购买3台甲型设备，7台乙型设备；方案5：购买4台甲型设备，6台乙型设备；方案6：购买5台甲型设备，5台乙型设备；（3）最省钱的购买方案为：购买4台甲型设备，6台乙型设备．【分析】（1）由一台A型设备的价格是x万元，一台乙型设备的价格是y万元，根据题意得等量关系：购买一台甲型设备-购买一台乙型设备=2万元，购买4台乙型设备-购买3台甲型设备=2万元，根据等量关系，列出方程组，再解即可；（2）设购买甲型设备m台，则购买乙型设备（10-m）台，由题意得不等关系：购买甲型设备的花费+购买乙型设备的花费≤91万元，根据不等关系列出不等式，再解即可；（3）由题意可得：甲型设备处理污水量+乙型设备处理污水量≥2750吨，根据不等关系，列出不等式，再解即可．【详解】（1）依题意，得：，解得：．（2）设该治污公司购进m台甲型设备，则购进(10﹣m)台乙型设备，依题意，得：10m+8(10﹣m)≤91，解得：m≤5．又∵m为非零整数，∴m=0，1，2，3，4，5，∴该公司有6种购买方案，方案1：购买10台乙型设备；方案2：购买1台甲型设备，9台乙型设备；方案3：购买2台甲型设备，8台乙型设备；方案4：购买3台甲型设备，7台乙型设备；方案5：购买4台甲型设备，6台乙型设备；方案6：购买5台甲型设备，5台乙型设备．（3）依题意，得：300m+260(10﹣m)≥2750，解得：m≥3，∴m=4，5．当m=4时，总费用为10×4+8×6=88(万元)；当m=5时，总费用为10×5+8×5=90(万元)．∵88＜90，∴最省钱的购买方案为：购买4台甲型设备，6台乙型设备．【点睛】此题主要考查了二元一次方程组的应用和一元一次不等式的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系和不等关系，列出方程（组）和不等式．25．（1）4，﹣7；（2）3≤x＜4；（3）；（4）或或或【分析】（1）根据题目中的定义，[x]表示不超过x的最大整数，求出结果即可；（2）根据定义，是大于等于3小于4的数；（3）由得到，求出的取值范围，再由是整数即可得到的值；（4）由和得，设是整数，即可求出的取值范围，然后分类讨论求出的值即可．【详解】解：（1）∵不超过4.8的最大整数是4，∴，∵不超过的最大整数是，∴故答案是：4，；（2）∵，∴是大于等于3小于4的数，即；（3）∵，∴，解得，∵是整数，∴；（4）∵，∴，∵，∴，即，∵（是整数），∴，∵，∴，解得，当时，，，当时，，，当时，，，当时，，，综上：的值为或或或．【点睛】本题考查新定义问题，不等式组的运用，解题的关键是理解题目中的意义，列出不等式组进行求解．26．（Ⅰ）；（Ⅱ）当时，三角形的面积为；当时，三角形的面积为；（Ⅲ）或．【分析】（Ⅰ）先求出的长，再根据的长即可得；（Ⅱ）先分别求出点运动到点所需时间、点运动到点所需时间，从而可得，再分和两种情况，分别利用三角形的面积公式、梯形的面积公式即可得；（Ⅲ）根据（Ⅱ）的结论，分和两种情况，分别建立不等式，解不等式即可得．【详解】解：（Ⅰ）轴，，，轴，，；（Ⅱ）∵点运动的路径长为，所用时间为7秒；点运动的路径长为，所用时间为秒，∴根据其中一点到达终点时运动停止可知，运动时间的取值范围为，点运动到点所用时间为4秒，点运动到点所用时间为，因此，分以下两种情况：①如图，当时，，则三角形的面积为；②当时，如图，过点作，交延长线于点，，，则三角形的面积为，，，综上，当时，三角形的面积为；当时，三角形的面积为；（Ⅲ）①当时，则，解得，则此时的取值范围为；②当时，则，解得，则此时的取值范围为，综上，当三角形的面积的范围小于16时，或．【点睛】本题考查了坐标与图形、三角形的面积公式、一元一次不等式的应用等知识点，较难的是题（Ⅱ），正确分两种情况讨