2025~2026学年上海市上海中学东校高一上学期期中素质评估数学试卷

2025~2026学年上海市上海中学东校高一上学期期中素质评估数学试卷一、填空题(★)1.已知集合，，则______．(★)2.不等式的解集是________.(★★)3.函数（且）无论取何值，函数图像恒过一个定点，则定点坐标为________.(★★)4.若非空集合不是单元素集，则其中所有元素之和________.(★★)5.已知一元二次方程有一个根比1大，另一个根比1小，则实数a的取值范围是______.(★★)6.关于的方程的解集为______．(★★★)7.已知，则__________.(★★★)8.若，且函数与的图象有两个交点，则满足条件的不同集合有______个．(★★★)9.设，则的最小值为______.(★★★)10.已知二次函数，甲同学：的解集为；乙同学：的解集为；丙同学：此二次函数的对称轴在y轴左侧.在这三个同学的论述中，只有一个论述是错误的，则a的取值范围是________.(★★)11.已知为实数，用表示有限集合的元素个数，则所有可能的值是_________.(★★★★)12.已知集合点不在第一、三象限，集合，若“”是“”的必要条件，则实数a的取值范围是______.(★★★)13.设，若仅有一个常数使得对于任意的，都有满足方程，这时，的取值的集合为________．(★★★)14.已知集合，集合是集合的三元子集，即，中的元素满足，则符合要求的集合有______个．二、单选题(★★)15.“”是“”的（）

A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件(★★)16.下列结论中，正确的是（）

A．若，则B．若，则C．若，则D．(★★)17.数学上将形如（p为素数）的素数称为“梅森素数”，试估计“梅森素数”的位数为（）．

A．607B．608C．609D．610(★★★)18.在上海中学东校科技节中，李明同学定义了可分比集合：若集合满足对任意，都有，则称是可分比集合．若集合均为可分比集合，且（为正整数），则的最大值为（）

A．6B．7C．8D．9三、解答题(★★★)19.已知常数，集合，集合．(1)若，求；(2)若，求实数的取值范围．(★★★)20.已知幂函数的图象关于轴对称，且，．(1)求；(2)若，求的取值范围．(★★★)21.对于二次函数，若存在，使成立，则称为该二次函数的不动点．(1)已知函数，求该函数的不动点；(2)若对于任意的，二次函数恒有两个相异的不动点，求实数的取值范围．(★★★)22.某蛋糕店推出两款新品蛋糕，分别为薄脆百香果蛋糕和朱古力蜂果蛋糕，已知薄脆百香果蛋糕单价为x元，朱古力蜂果蛋糕单价为y元，现有两种购买方案：方案一：薄脆百香果蛋糕购买数量为a个，朱古力蜂果蛋糕购买数量为b个，花费记为;方案二：薄脆百香果蛋糕购买数量为b个，朱古力蜂果蛋糕购买数量为a个，花费记为．（其中）(1)试问哪种购买方案花费更少？请说明理由；(2)若a，b，x，y同时满足关系，求这两种购买方案花费的差值S最小值（注：差值花费较大值-花费较小值）．(★★★★★)23.桌上有十个苹果，要把这十个苹果放到九个抽屉里，无论怎样放，我们会发现至少会有一个抽屉里面放不少于两个苹果．这一现象就是我们所说的“抽屉原理”．抽屉原理的一般含义为：如果每个抽屉代表一个集合，每一个苹果就可以代表一个元素，假如有个元素放到n个集合中去，共中必定有一个集合里至少有两个元素．应用抽屉原理，解答下列问题：设n为正整数，集合.对于集合A中的任意元素和，记.(1)当时，岩，，求和的值；(2)当时，对于A中的任意两个不