专题47数学归纳法（举一反三讲义）数学人教A版选择性（原卷版）

专题4.7数学归纳法（举一反三讲义）【人教A版】TOC\o"13"\h\u【题型1数学归纳法的证明步骤】 2【题型2用数学归纳法证明恒等式】 2【题型3用数学归纳法证明不等式】 3【题型4用数学归纳法证明几何问题】 4【题型5用数学归纳法证明整除问题】 5【题型6用数学归纳法证明数列问题】 6【题型7用数学归纳法证明其他问题】 7知识点1数学归纳法1．归纳法由一系列有限的特殊事件得出一般结论的推理方法，通常叫做归纳法，它是人们发现规律，产生猜想的一种方法.归纳法分为完全归纳法和不完全归纳法.2．数学归纳法一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：第一步(归纳莫基)，证明当n取第一个值n0(n0∈N*)时命题成立；第二步(归纳递推)，以当n=k(k≥n0,k∈N*)时命题成立为条件，推出当n=k+1时命题也成立.只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立.上述证明方法称为数学归纳法.3．数学归纳法的重要结论及适用范围数学归纳法的重要结论适用范围只适用于证明与正整数有关的数学命题【题型1数学归纳法的证明步骤】【例1】（2425高二上·陕西榆林·阶段练习）利用数学归纳法证明不等式1+12+13+⋯+12nA．2k−1项 B．2k项 C．k【变式11】（2425高二上·浙江杭州·期末）用数学归纳法证明：fn=1+12+13+⋯+12n≥n+2A．1项 B．2k−1项 C．2k+1项 【变式12】（2425高二上·上海·期中）用数学归纳法证明1n+1+1n+2+1n+3A．12k+1 B．C．12k+1+1【变式13】（2425高二上·全国·课前预习）对于不等式n2+n<n+1n∈（1）当n=1时，左边=12+1（2）假设当n=k（k≥1且k∈N+）时，不等式成立，即那么当n=k+1时，k+12+k+1所以当n=k+1时，不等式成立，则上述证法（

）A．过程全部正确 B．n=1验证不正确C．归纳假设不正确 D．从n=k到n=k+1的推理不正确【题型2用数学归纳法证明恒等式】【例2】（2425高二上·全国·课后作业）用数学归纳法证明：(1)1+3+5+⋯+2n−1(2)1×4+2×7+3×10+⋯+n3n+1【变式21】（2425高二上·全国·课后作业）用数学归纳法证明：对任意的正整数n,2+6+10+⋯+4n−2【变式22】（2425高二上·上海·课后作业）用数学归纳法证明12+2【变式23】（2425高二上·全国·课后作业）用数学归纳法证明以下恒等式n∈N∗(1)−1+3−5+⋯+−1(2)n+1n+2【题型3用数学归纳法证明不等式】【例3】（2425高二上·全国·课后作业）用数学归纳法证明：1×2+2×3+⋯+n【变式31】（2425高二上·福建莆田·阶段练习）用数学归纳法证明：1n+1【变式32】（2025高三·全国·专题练习）当n>1且n∈N∗时，求证：【变式33】（2025高三·全国·专题练习）用数学归纳法证明不等式：1+1【题型4用数学归纳法证明几何问题】【例4】（2425高二上·全国·课后作业）用数学归纳法证明：凸n边形的内角和fn=【变式41】（2025高三·全国·专题练习）已知平面上有n个圆，其中任意两圆都相交，任意三圆不共点，试推测n个圆把平面分为几部分？用数学归纳法证明你的结论．【变式42】（2425高二下·全国·课堂例题）平面内有nn≥2,n∈N+【变式43】（2425高二·全国·课后作业）平面内有n(n≥2)个圆，其中每两个圆都相交于两点，并且每三个圆都不相交于同一点，记这n个圆的交点个数为f(n)，猜想f(n)的表达式，并用数学归纳法证明．【题型5用数学归纳法证明整除问题】【例5】（2025高三·全国·专题练习）用数学归纳法证明：32n+2【变式51】（2425高二下·全国·课后作业）用数学归纳法证明：fn=2n+7【变式52】（2425高二·全国·随堂练习）设n∈N∗，用数学归纳法证明：【变式53】（2025高三·全国·专题练习）已知数列an满足a1=0，a2=1，an+2=an+1【题型6用数学归纳法证明数列问题】【例6】（2025高三·全国·专题练习）已知在数列an中，a1=1，Sn是它的前n项和，当n≥2(1)求a2，a3，a4(2)用数学归纳法证明所得的结论．【变式61】（2425高二·全国·课堂例题）在数列an,bn中，a1=2,b1=4(1)求a2,a(2)根据计算结果，猜想an【变式62】（2425高二上·全国·课后作业）已知正项数列an的前n项和为Sn，满足(1)求出数列an(2)根据数列an【变式63】（2425高二·上海·随堂练习）设数列an的前n项和为Sn，S1=12，对任意(1)求S2，S3，(2)猜想Sn【题型7用数学归纳法证明其他问题】【例7】（2425高二下·山西吕梁·期末）给出下列不等式：1>11+11+11+1（1）根据给出不等式的规律，归纳猜想出不等式的一般结论；（2）用数学归纳法证明你的猜想.【变式71】（2425高二下·河南南阳·期末）设fn=nn+1，(1)当n=1,2,3,4时，试比较fn(2)根据（1）的结果猜测一个一般性结论，并加以证明．【变式72】（2425高二下·河南南阳·期末）观察下列不等式：5+3≥8，25+9≥32，125+27≥128，625+81≥512，……．(1)根据这