理论力学期末考试答案题库2025年

理论力学期末考试答案题库2025年一、静力学部分1.如图（注：文字描述替代图示）所示，水平梁AB长度为6m，A端为固定铰支座，B端为可动铰支座（约束沿竖直方向）。梁上作用有：距A端2m处的集中力F₁=20kN（与水平方向成30°斜向上），距A端4m处的均布荷载q=10kN/m（长度2m），梁中点C处悬挂一滑轮，滑轮两侧挂有重量分别为G₁=15kN、G₂=10kN的物体，滑轮自重不计且摩擦可忽略。试求A、B支座的约束反力。解答：（1）取梁AB为研究对象，分析受力：-A端固定铰支座反力：水平分量Fₐₓ，竖直分量Fₐᵧ；-B端可动铰支座反力：竖直分量Fᵦᵧ（水平方向无约束）；-集中力F₁分解为水平F₁ₓ=F₁cos30°=17.32kN，竖直F₁ᵧ=F₁sin30°=10kN；-均布荷载合力Q=q×2m=20kN，作用于距A端4+1=5m处；-滑轮两侧拉力均为T=G₂=10kN（因G₁>G₂，系统静止时拉力由较轻物体决定），滑轮对梁的作用力为T+G₁=25kN（竖直向下，作用于C点，距A端3m）。（2）列平面任意力系平衡方程：ΣFₓ=0：Fₐₓ-F₁ₓ=0→Fₐₓ=17.32kN（向右）；ΣFᵧ=0：Fₐᵧ+Fᵦᵧ-F₁ᵧ-Q-25kN=0→Fₐᵧ+Fᵦᵧ=10+20+25=55kN；ΣMₐ=0：Fᵦᵧ×6m-F₁ᵧ×2m-Q×5m-25kN×3m=0→6Fᵦᵧ=10×2+20×5+25×3=20+100+75=195→Fᵦᵧ=32.5kN；代入ΣFᵧ方程得Fₐᵧ=55-32.5=22.5kN（向上）。答案：A支座反力Fₐₓ=17.32kN（水平向右），Fₐᵧ=22.5kN（竖直向上）；B支座反力Fᵦᵧ=32.5kN（竖直向上）。2.空间构架由三根无重直杆铰接于O点，另一端分别固定在墙面A、B、C处（A在x轴，B在y轴，C在z轴）。已知O点受竖直向下的力F=50kN，杆OA与x轴夹角60°，杆OB与y轴夹角45°，杆OC沿z轴负方向。试求三根杆的内力。解答：（1）设三根杆均为二力杆，内力分别为Fₐ（沿OA拉/压）、Fᵦ（沿OB拉/压）、F꜀（沿OC拉/压），假设均为拉力（负号表示压力）。（2）O点受力：F（竖直向下，沿-z轴），Fₐ、Fᵦ、F꜀的分力。OA方向余弦：cosα₁=cos60°=0.5（x轴），cosβ₁=0（y轴），cosγ₁=sin60°=√3/2（z轴）；OB方向余弦：cosα₂=0（x轴），cosβ₂=cos45°=√2/2（y轴），cosγ₂=sin45°=√2/2（z轴）；OC方向余弦：cosα₃=0（x轴），cosβ₃=0（y轴），cosγ₃=-1（z轴）。（3）列空间汇交力系平衡方程：ΣFₓ=0：Fₐ×0.5=0→Fₐ=0；ΣFᵧ=0：Fᵦ×√2/2=0→Fᵦ=0；ΣFᵧ=0：Fₐ×√3/2+Fᵦ×√2/2+F꜀×(-1)-F=0→0+0-F꜀-50=0→F꜀=-50kN（负号表示压力）。答案：OA杆内力0，OB杆内力0，OC杆内力50kN（压力）。二、运动学部分3.半径R=0.5m的圆轮沿水平地面纯滚动，轮心O的速度vₒ=2m/s，加速度aₒ=1m/s²（向右）。轮缘上一点M在图示位置（O与M的连线与竖直方向成30°角，M在O的左上方）。试求该瞬时M点的速度和加速度。解答：（1）速度分析（纯滚动，瞬心为接触点C）：轮角速度ω=vₒ/R=2/0.5=4rad/s（顺时针）；M点速度vₘ=ω×CM，CM距离=√(R²+R²-2R²cos150°)=R√(2-2cos150°)=0.5×√(2+√3)≈0.966m；方向垂直于CM，与ω转向一致（斜向左上方）。或用基点法：vₘ=vₒ+vₘₒ（vₘₒ=ωR=2m/s，方向垂直于OM向左上方，与竖直方向成30°）。分解vₘₒ：水平分量vₘₒₓ=-vₘₒsin30°=-1m/s，竖直分量vₘₒᵧ=vₘₒcos30°=√3m/s；vₘₓ=vₒ+vₘₒₓ=2-1=1m/s，vₘᵧ=0+√3≈1.732m/s；vₘ=√(1²+(√3)²)=2m/s，方向与水平成60°角（arctan(√3/1)=60°）。（2）加速度分析（基点法，O为基点）：aₘ=aₒ+aₘₒᵗ+aₘₒⁿ（aₘₒᵗ=αR，α=aₒ/R=1/0.5=2rad/s²；aₘₒⁿ=ω²R=16×0.5=8m/s²）。aₘₒᵗ方向垂直于OM，与α转向一致（顺时针，故向左下方，与竖直方向成30°）；aₘₒⁿ方向沿OM指向O（右下方，与竖直方向成30°）。分解各加速度：aₒ=1m/s²（向右，x轴正方向）；aₘₒᵗ分量：x=-aₘₒᵗsin30°=-2×0.5×0.5=-0.5m/s²？不，aₘₒᵗ=αR=2×0.5=1m/s²，方向垂直OM向左下，与竖直成30°，故x分量=-1×sin30°=-0.5m/s²，y分量=-1×cos30°=-√3/2≈-0.866m/s²；aₘₒⁿ=8m/s²，方向沿OM指向O（右下，与竖直成30°），x分量=8×sin30°=4m/s²，y分量=-8×cos30°=-4√3≈-6.928m/s²；总加速度分量：aₘₓ=1-0.5+4=4.5m/s²；aₘᵧ=0-0.866-6.928≈-7.794m/s²；aₘ=√(4.5²+7.794²)≈8.99m/s²，方向与水平成arctan(7.794/4.5)≈60°（向下）。答案：M点速度大小2m/s，方向与水平成60°角斜向左上方；加速度大小约8.99m/s²，方向与水平成60°角斜向右下方。4.直角折杆OAB以角速度ω=3rad/s、角加速度α=2rad/s²绕O轴转动（OA长0.4m，AB长0.3m，OA垂直AB），小环M套在AB杆上，并用弹簧系于A点。某瞬时，M距A点0.2m，相对AB杆的速度vᵣ=1m/s（向B端），相对加速度aᵣ=0.5m/s²（向B端）。试求该瞬时M点的绝对加速度。解答：（1）牵连运动为OAB杆的定轴转动，牵连点为AB杆上与M重合的点M'。牵连速度vₑ=ω×OM，OM=√(OA²+AM²)=√(0.4²+0.2²)=√0.2≈0.447m，方向垂直于OM，大小vₑ=3×0.447≈1.341m/s；牵连加速度aₑ=α×OM（切向）+ω²×OM（法向），切向aₑᵗ=2×0.447≈0.894m/s²（垂直OM），法向aₑⁿ=9×0.447≈4.023m/s²（指向O）。（2）相对运动为M沿AB杆的直线运动，相对速度vᵣ=1m/s（沿AB向B），相对加速度aᵣ=0.5m/s²（沿AB向B）。（3）科氏加速度a꜀=2ω×vᵣ，大小=2×3×1=6m/s²，方向由右手法则：ω转向（假设逆时针），vᵣ沿AB向B（AB杆由A向B为x'轴，OA为y'轴，O为原点），则a꜀方向垂直于AB杆向上（y'轴正方向）。（4）绝对加速度aₐ=aₑᵗ+aₑⁿ+aᵣ+a꜀。将各加速度分解到直角坐标系（O为原点，OA为y轴，AB为x轴）：-aₑᵗ：与OM垂直，OM与OA夹角θ=arctan(AM/OA)=arctan(0.2/0.4)=26.565°，故aₑᵗ方向为θ+90°=116.565°，分解为x分量aₑᵗₓ=0.894×sin26.565°≈0.894×0.447≈0.400m/s²，y分量aₑᵗᵧ=0.894×cos26.565°≈0.894×0.894≈0.800m/s²；-aₑⁿ：指向O，方向为θ+180°=206.565°，分解为x分量aₑⁿₓ=4.023×sin26.565°≈4.023×0.447≈1.800m/s²（负向，因206.565°在第三象限），y分量aₑⁿᵧ=4.023×cos26.565°≈4.023×0.894≈3.600m/s²（负向）；-aᵣ：沿AB杆（x轴正方向），分量x=0.5m/s²，y=0；-a꜀：沿y轴正方向，分量x=0，y=6m/s²。总绝对加速度分量：aₐₓ=0.400-1.800+0.5≈-0.9m/s²；aₐᵧ=0.800-3.600+6≈3.2m/s²；aₐ=√((-0.9)²+3.2²)=√(0.81+10.24)=√11.05≈3.32m/s²，方向arctan(3.2/0.9)≈74.3°（第二象限）。答案：M点绝对加速度大小约3.32m/s²，方向与x轴正方向成约105.7°（或与y轴正方向成15.7°）。三、动力学部分5.质量m=2kg的物块A放在倾角θ=30°的固定斜面上，与质量M=4kg、半径r=0.2m的均质圆盘B用不可伸长的轻绳连接（绳绕圆盘无滑动）。物块与斜面间的动摩擦因数μ=0.3，系统由静止释放。试求释放后物块A的加速度及绳的拉力。解答：（1）受力分析：-物块A：重力mg，斜面支持力N=mgcosθ，摩擦力Fբ=μN=μmgcosθ，绳拉力T；-圆盘B：重力Mg，轴约束力Fₒₓ、Fₒᵧ，绳拉力T（顺时针力矩）。（2）运动关系：物块A加速度a与圆盘角加速度α满足a=rα（绳不可伸长且无滑动）。（3）动力学方程：对A（沿斜面方向）：mgsinθ-T-Fբ=ma→2×9.8×0.5-T-0.3×2×9.8×0.866=2a→9.8-T-5.09=2a→T=4.71-2a；对B（定轴转动）：T×r=Jα=0.5Mr²α=0.5Mr×a（因α=a/r）→T=0.5Ma=0.5×4×a=2a；（4）联立方程：2a=4.71-2a→4a=4.71→a≈1.178m/s²；T=2×1.178≈2.356N。答案：物块A的加速度约1.18m/s²，绳的拉力约2.36N。6.长度l=1m、质量m=3kg的均质杆AB，A端铰接于固定点，B端用水平弹簧连接（弹簧原长l₀=0.8m，刚度系数k=50N/m）。初始时杆静止于竖直位置（弹簧水平且未伸长），释放后杆在竖直平面内摆动。试求杆摆至与竖直方向成θ=30°时的角速度。解答：（1）系统机械能守恒（重力、弹簧力为保守力，铰支座无摩擦）。初始状态（θ=0°）：动能T₁=0，重力势能V₁=0（设A点为势能零点），弹簧势能V₁ₖ=0（原长）；末状态（θ=30°）：动能T₂=0.5Jω²=0.5×(1/3)ml²ω²=0.5×(1/3)×3×1²×ω²=0.5ω²；重力势能V₂=-mg×(l/2)cosθ（杆质心下降高度l/2(1-cosθ)，故势能减少）；弹簧伸长量Δx=lsinθ-l₀=1×0.5-0.8=-0.3m（负号表示压缩，势能仍为0.5kΔx²），弹簧势能V₂ₖ=0.5×50×(0.3)²=2.25J。（2）机械能守恒：T₁+V₁+V₁ₖ=T₂+V₂+V₂ₖ→0=0.5ω²-3×9.8×0.5×cos30°+2.25；计算：3×9.8×0.5×0.866≈12.74J，故0.5ω²=12.74-2.25=10.49→ω²=20.98→ω≈4.58rad/s。答案：杆摆至30°时的角速度约4.58rad/s。7.质量m=10kg的质点在平面内运动，受合力F=(2t)i+(3t²)j（t为时间，单位s，F单位N）作用。t=0时，质点位于(1,2)m，速度v₀=2i+1jm/s。试求t=2s时质点的位置坐标。解答：（1）由牛顿第二定律，加速度a=F/m=(0.2t)i+(0.3t²)jm/s²；（2）速度积分：v(t)=v₀+∫₀ᵗadt=(2+0.1t²)i+(1+0.1t³)j；（3）位置积分：r(t)=r₀+∫₀ᵗvdt=[1+2t+(0.1/3)t³]i+[2+t+(0.1/4)t⁴]j；（4）t=2s时：x=1+2×2+(0.1/3)×8=1+4+0.267≈5.267m；y=2+2+(0.1/4)×16=4+0.4=4.4m。答案：t=2s时质点位置坐标为(5.27,4.4)m（保留两位小数）。四、分析力学部分8.如图（文字描述）所示，水平面上放置一质量M=2kg的物块A，A上通过光滑铰链连接一质量m=1kg、长度l=0.5m的均质杆B。系统初始静止，杆B与竖直方向成θ₀=30°角。试用拉格朗日方程建立系统的运动微分方程（以A的水平位移x和杆B的摆角θ为广义坐标）。解答：（1）确定广义坐标：x（A的水平位移，向右为正），θ（杆B与竖直方向夹角，顺时针为正）。（2）计算动能：-物块A的动能T₁=0.5Mẋ²；-杆B的质心速度：质心坐标x_c=x+(l/2)sinθ，y_c=(l/2)cosθ；速度分量ẋ_c=ẋ+(l/2)θ̇cosθ，ẏ_c=-(l/2)θ̇sinθ；动能T₂=0.5m(ẋ_c²+ẏ_c²)=0.5m[ẋ²+lẋθ̇cosθ+(l²/4)θ̇²cos²θ+(l²/4)θ̇²sin²θ]=0.5m[ẋ²+lẋθ̇cosθ+(l²/4)θ̇²]；总动能T=T₁+T₂=0.5Mẋ²+0.5m[ẋ²+lẋθ̇cosθ+(l²/4)θ̇²]。（3）计算势能：取水平面为零势能面，杆B的势能V=mgh=mg(l/2)cosθ（h为质心高度）。（4）拉格朗日函数L=T-V=0.5(M+m)ẋ²+0.5mlẋθ̇cosθ+0.5m(l²/4)θ̇²-0.5