2025~2026学年上海市同济大学第二附属中学高三上学期期中考试数学试卷

2025~2026学年上海市同济大学第二附属中学高三上学期期中考试数学试卷一、填空题(★★)1.全集，若集合，则__________.(★)2.不等式的解集是__________.(★★)3.若复数（是虚数单位），则__________.(★)4.已知向量，，若，则__________．(★★)5.已知，则__________.(★★)6.若的二项展开式中第项是常数项，则__________.(★★)7.记为数列的前项和，若，，则____(★★)8.函数的最小值是__________.(★★)9.若圆锥的侧面积是底面积的2倍，则其母线与底面所成角的大小是__________.(★★★)10.若点、为椭圆的长轴顶点，过椭圆上任一不同于、的点作的垂线，垂足为点，若，则该椭圆的离心率为__________.(★★★)11.已知一个棱长为的正方体木块可以在一个封闭的圆锥形容器内任意转动，若圆锥的底面半径为4，高为，则实数的最大值是__________.(★★★)12.已知平面向量、、满足且，向量满足，则的最大值是__________.二、单选题(★)13.已知α，β表示两个不同的平面，m为平面α内的一条直线，则“”是“”的（）

A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件(★★)14.设，若幂函数的定义域为，且其图象关于轴对称，则的值可以是（）.

A．B．1C．D．2(★★)15.投掷一枚均匀的骰子，若事件表示“掷出的倍数”，事件表示“掷出偶数”，事件表示“掷出合数”，则与事件独立的事件是（）.

A．是和B．只有C．只有D．不存在(★★★★)16.已知，且函数有且仅有一个零点.若方程无解，则实数的取值范围是（）.

A．B．C．D．三、解答题(★★★)17.如图，正四棱柱的底面边长为，高为，点是棱上的一个动点（点与、均不重合）.(1)当点是棱的中点时，求证：直线平面；(2)当时，求点到平面的距离.(★★★)18.在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．（I）求角B的大小；（II）求cosA+cosB+cosC的取值范围．(★★)19.树立和践行“绿水青山就是金山银山，坚持人与自然和谐共生”的理念越来越深入人心，已形成了全民自觉参与，造福百姓的良性循环．据此，某网站退出了关于生态文明建设进展情况的调查，调查数据表明，环境治理和保护问题仍是百姓最为关心的热点，参与调查者中关注此问题的约占．现从参与关注生态文明建设的人群中随机选出200人，并将这200人按年龄分组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，得到的频率分布直方图如图所示．(1)求出的值；求出这200人年龄的样本平均数（同一组数据用该区间的中点值作代表）和中位数（精确到小数点后一位）；(2)现在要从年龄较小的第1，2组中用分层抽样的方法抽取5人，再从这5人中随机抽取3人进行问卷调查，求第2组恰好抽到2人的概率.(★★★)20.已知椭圆的对称中心在坐标原点，以坐标轴为对称轴，且经过点和．(1)求椭圆的标准方程；(2)过点作不与坐标轴平行的直线交曲线于，两点，过点，分别向轴作垂线，垂足分别为点，，直线与直线相交于点．①求证：点在定直线上；②求面积的最大值．(★★★★)21.已知函数，直线是函数在处的切线.(1)当时，求函数的单调减区间；(2)求证：