2025~2026学年上海市徐汇中学高三上学期期中考试数学试卷

2025~2026学年上海市徐汇中学高三上学期期中考试数学试卷一、填空题(★★)1.已知集合，或，则______．(★★)2.若复数满足，则_____．(★)3.展开式中常数项为______.（用数字作答）(★★★)4.已知为等差数列的前项和，若，，则______.(★★)5.双曲线的虚轴长为______．(★★★)6.已知，，则_____．(★★)7.设向量，且，则______.(★★★)8.徐汇中学家长会期间，在汇学博物馆，汇学长廊，创新实验室的三个地点需要志愿者服务，现有甲、乙、丙、丁四人报名参加，每个地点仅需1名志愿者，每人至多在一个地点服务，若甲不能到第一个地点服务，则不同的安排方法共有______．(★★★)9.已知正四面体，设沿，，方向的力分别为1N，2N，3N，则这三个力的合力的大小为______．(★★★★)10.已知函数，，若存在，使得，则的最大值为_____．(★★★)11.已知函数，其中且．给出下列四个结论：①若，则函数的零点是；②若函数无最小值，则的取值范围为；③若，则在区间上单调递减，在区间上单调递增；④若关于的方程恰有三个不相等的实数根，则的取值范围为，且的取值范围为．其中，所有正确结论的序号是_____．(★★★)12.若对任意的，总存在唯一的，使得成立，则实数a的取值范围是______．二、单选题(★★★)13.下列函数中，是偶函数且在上为减函数的是（）

A．B．C．D．(★★★)14.已知实数满足，则“成立”是“成立”的（）

A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．非充分非必要条件(★★★)15.某个家庭中有若干个小孩，假定生男孩和生女孩是等可能的，设事件：该家庭中有男孩、又有女孩，事件：该家庭中最多有一个女孩．有以下两个命题：①若该家庭中有两个小孩，则与互斥；②若该家庭中有三个小孩，则与相互独立．则：（）

A．①②均为真命题B．①为真命题，②为假命题C．①为假命题，②为真命题D．①②均为假命题(★★★★)16.高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，为了纪念数学家高斯，我们把函数称为高斯函数，其中表示不超过的最大整数，如，则点集所表示的平面区域的面积是（）

A．4B．2C．6D．1三、解答题(★★★)17.在三角形中，内角A，B，C所对边分别为、、，已知．(1)求角A的大小；(2)若且，三角形的面积为，求三角形的周长．(★★★)18.如图，在四棱锥中，底面ABCD，底面ABCD为直角梯形，，，，，E，F，G分别为线段AD，DC，PB的中点.(1)证明：平面平面；(2)求直线GC与平面PCD所成角的正弦值.(★★★)19.人工智能正在逐渐改变着我们的日常生活，不过，它所涉及的数学知识并非都是遥不可及的高深理论．为了解“拼音输入法”的背后原理，随机选取甲类题材“新闻稿”中1200字作为样本语料库A，其中“一”出现了30次，统计“一”与其后面一个字（或标点）的搭配情况，数据如下：

“一”与其后面一个字（或标点）的搭配情况频数“一个”6“一些”4“一群”2“一条”2其他假设用频率估计概率．(1)求的值，并估计甲类题材中“一”出现的概率；(2)在甲类题材“新闻稿”中随机抽取2个“一”，其中搭配“一个”出现的次数仅为1次，求它的概率；(3)另外随机选取甲类题材“新闻稿”中800字作为样本语料库B进行统计，“一”出现了24次，“一格”出现了2次，若在甲类题材“新闻稿”的撰写中，输入拼音“yige”时，“一个”和“一格”谁在前面更合适?（结论不要求证明）(★★★)20.已知、分别为椭圆的左、右焦点，点在椭圆上，离心率为．(1)求椭圆的方程；(2)设为椭圆的左顶点，过点的直线交椭圆于、两点，，求直线的方程．(3)若过椭圆上一点的切线方程为，利用上述结论，设是从椭圆中心到椭圆在点处切线的距离，当在椭圆上运动时，判断是否为定值．若是求出