高二上学期期中考点大串讲二

20252026学年高二上学期期中考点大串讲二数学【解析】第二章直线和圆的方程夯基*必备基础知识梳理一、直线的倾斜角与斜率、直线的方程直线的倾斜角当直线l与x轴相交时，我们以x轴为基准，x轴正向与直线向上的方向之间所成的角叫做直线的倾斜角.直线的倾斜角α的取值范围{α|0°≤α＜180°}规定：与x轴平行或重合的直线的倾斜角为0°．斜率的概念及斜率公式倾斜角α(α≠90°)的正切值．记法：k＝tanα．(α≠90°)经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式：k＝eq\f(y2－y1,x2－x1)．(x1≠x2)斜率与倾斜角的对应关系图示倾斜角(范围)α＝0°0°<α<90°α＝90°90°<α<180°斜率(范围)k＝0k>0不存在k<0两条不重合直线平行的判定当α1＝α2≠90°，则l1∥l2⇔k1＝k2当α1＝α2＝90°，则l1∥l2⇐两直线斜率都不存在或：两条直线的方向向量平行两条直线垂直的判定当l1⊥l2(两直线斜率都存在)⇔k1·k2＝－1当l1的斜率不存在，l2的斜率为0⇒l1⊥l2或：两条直线的方向向量的数量积为0结论平行于x轴的直线方程为:y=t平行于y轴的直线方程为:x=m直线的方向向量方程形式直线方程局限性选择条件点斜式不能表示与x轴垂直的直线①已知斜率；②已知一点斜截式y=kx+b不能表示与x轴垂直的直线①已知在y轴上的截距；②已知斜率两点式不能表示与x轴、y轴垂直的直线①已知两个定点；②已知两个截距截距式不能表示与x轴垂直、与y轴垂直、过原点的直线①已知两个截距；②已知直线与两条坐标轴围成的三角形的面积一般式Ax+By+C=0(A,B不全为0)表示所有的直线求直线方程的最后结果均可以化为一般式方程结论若直线在两坐标轴上的截距的（绝对值）相等，则(2)当截距为0时，设直线l的方程为y=kx,提升*常考题型归纳题型一：直线的倾斜角与斜率A. B. C. D.A.2 B.1 C.3 D.4题型二：直线的方程（1）求直线和直线的方程；（2）已知直线经过直线与直线交点，且在x轴上的截距是在y轴上的截距的3倍，求直线的方程．【例23】（多选）下列说法一定正确的是（

）题型三:直线方程的综合应用【例32】已知直线l过点M(2,1)，且分别与x轴的正半轴，y轴的正半轴交于A，B两点，当|MA|·|MB|取最小时，求直线l的方程．夯基*必备基础知识梳理二两直线的位置关系两条直线位置关系的判断平行l1∥l2重合垂直l1⊥l2斜截式l1：y＝k1x＋b1l2：y＝k2x＋b2k1＝k2且b1≠b2k1＝k2且b1=b2k1·k2＝－1一般式l1：A1x＋B1y＋C1＝0l2：A2x＋B2y＋C2＝0A1B2－A2B1＝0且B1C2－B2C1≠0或A1C2－A2C1≠0A1B2－A2B1＝0且B1C2－B2C1=0或A1C2－A2C1=0A1A2＋B1B2＝0两直线的位置关系方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(A1x＋B1y＋C1＝0，,A2x＋B2y＋C2＝0))的解一组无数组无解直线l1与l2的公共点的个数一个无数个零个直线l1与l2的位置关系相交重合平行两点间的距离点到直线的距离两条平行直线的距离常见的点关于直线的对称点常见的对称结论有设直线l为Ax+By+C=0①l关于x轴对称的直线是Ax+B（−y）+C=0；②l关于y轴对称的直线是A（−x）+By+C=0；③l关于直线y=x对称的直线是Bx+Ay+C=0；④l关于直线y=−x对称的直线是A（−y）+B（−x）+C=0．点P关于点M对称点P′的求法(点M为点P和点P′的中点）点P关于直线l对称P′点P关于直线l的对称点为，则直线l为线段的中垂线②线段的中点在直线l上；与已知直线Ax＋By＋C＝0平行的直线方程可设为：Ax＋By＋λ＝0(λ≠C)；垂直的直线方程可设为：Bx－Ay＋λ＝0.过直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交点的直线系方程为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ∈R)，但不包括l2.提升*常考题型归纳题型一：两条直线的位置关系A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件题型二:直线过定点问题（1）求证：直线恒过定点；（2）设（1）中的定点为，与，的交点分别为，，若恰为的中点，求．【例22】已知直线l的方程是3a−1x−a+1y−1=0，则对任意的实数a，直线lA．一 B．二 C．三 D．四题型三:两直线的交点及距离问题【例31】点(0，－1)到直线y＝k(x＋1)距离的最大值为()A．1 B．eq\r(2)C.eq\r(3) D．2【例32】若P，Q分别为直线3x＋4y－12＝0与6x＋8y＋5＝0上任意一点，则|PQ|的最小值为________．【例33】若直线5x＋4y－2m－1＝0与直线2x＋3y－m＝0的交点在第三象限，则实数m的取值范围是．题型四:对称问题【例31】过点P(0，1)作直线l，使它被直线l1：2x＋y－8＝0和l2：x－3y＋10＝0截得的线段被点P平分，则直线l的方程为____________；【例32】已知入射光线经过点M(－3,4)，被直线l：x－y＋3＝0反射，反射光线经过点N(2，6)，则反射光线所在直线的方程为．【例34】唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在的位置为A−3,0，若将军从山脚下的点B−1,1处出发，河岸线所在直线方程为x+y=1，则“将军饮马”的最短总路程为（A．5 B．3 C．13 D．5夯基*必备基础知识梳理三圆的方程圆的定义平面内与定点的距离等于定长的点的集合(轨迹)圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)圆心(a，b)，半径r圆的一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，(D2＋E2－4F＞0)圆心eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(D,2)，－\f(E,2)))，半径eq\f(1,2)eq\r(D2＋E2－4F)点与圆的位置关系点M(x0，y0)与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系：(1)若M(x0，y0)在圆外，则(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2.(2)若M(x0，y0)在圆上，则(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2.(3)若M(x0，y0)在圆内，则(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2.eq\o([常用结论])1．圆的三个性质(1)圆心在过切点且垂直于切线的直线上；(2)圆心在任一弦的中垂线上；(3)两圆相切时，切点与两圆心三点共线．2．两个圆系方程具有某些共同性质的圆的集合称为圆系，它们的方程叫圆系方程(1)同心圆系方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)，其中a，b为定值，r是参数；(2)半径相等的圆系方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)，其中r为定值，a，b是参数．1．二元二次方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的充要条件是eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(A＝C≠0，,B＝0，,D2＋E2－4AF＞0.))[常用结论]2．以A(x1，y1)，B(x2，y2)为直径端点的圆的方程为(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0．【方法归纳】与圆有关的最值问题把所求问题转化或利用所给式子的几何意义解题，充分体现了数形结合以及转化的数学思想，其中以下几类转化较为常见：(1)形如m＝eq\f(y－b,x－a)的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题；(2)形如m＝ax＋by的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题；(3)形如m＝(x－a)2＋(y－b)2的最值问题，可转化为两点间距离的平方的最值问题．提升*常考题型归纳题型一:求圆的方程【例12】已知圆C的圆心坐标是(0，m)，若直线2x－y＋3＝0与圆C相切于点A(2,7)，则圆C的标准方程为．题型二:与圆有关的轨迹问题【例21】长为10的线段的两个端点A，B分别在x轴和y轴上滑动，则线段AB的中点M的轨迹方程为()A．eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,9)＝1 B．eq\f(x2,16)－eq\f(y2,9)＝1C．y2＝16x D．x2＋y2＝25【例22】点A(3,0)为圆x2＋y2＝1外一点，P为圆上任意一点，若AP的中点为M，当P在圆上运动时，则点M的轨迹方程为．【例23】已知定点B3,0，点A在圆x+12+y2=4上运动，则线段A．x−12+y2C．x+12+y题型三:与圆有关的最值问题A.的最大值为 B.的最小值为1夯基*必备基础知识梳理四直线与圆、圆与圆的位置关系直线与圆的位置关系1.三种位置关系：相交、相切、相离．2.两种研究方法：①eq\x(\a\al(几,何,法))eq\o(→,\s\up11(圆心到直线的距离为d),\s\do4(半径为r))eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(d＜r⇔相交，弦长l＝2\r(r2－d2),d＝r⇔相切,d＞r⇔相离))②eq\x(代数法)eq\o(→,\s\up11(联立方程组消去xy),\s\do4(得一元二次方程，Δ＝b2－4ac))eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Δ＞0⇔相交,Δ＝0⇔相切,Δ＜0⇔相离))圆与圆的位置关系相离外切相交内含图形设圆O1：(x－a1)2＋(y－b1)2＝req\o\al(2,1)(r1>0)，圆O2：(x－a2)2＋(y－b2)2＝req\o\al(2,2)(r2>0)．位置关系几何法：圆心距d与r1，r2的关系代数法：两圆方程联立组成方程组的解的情况相离d>r1＋r2无解外切d＝r1＋r2一组实数解相