第3章圆锥曲线与方程（举一反三讲义培优篇）数学苏教版选择性

第3章圆锥曲线与方程全章十三大压轴题型归纳（举一反三讲义·培优篇）【苏教版】题型1题型1椭圆中的焦点三角形问题1．（2025·广西柳州·模拟预测）已知椭圆E:x216+y212=1的左右焦点分别为F1,F2，上顶点为A，过F1A．12 B．16 C．20 D．24【答案】B【解题思路】根据条件可得AB=【解答过程】由椭圆E:x216过F1且垂直于AF2的直线与椭圆C交于B所以BC为线段AF的垂直平分线，得AB=则△ABC的周长为AB+故选：B.

2．（2025·广东深圳·模拟预测）设F1，F2为椭圆C:x236+y220=1的两个焦点，A．315 B．12 C．415 【答案】C【解题思路】由椭圆标准方程可得a=6，b=25，c=4，根据题意得MF1=F【解答过程】由椭圆C：x236+y220=1因M为C上一点且在第一象限，则M由△MF1F2为等腰三角形，则可得当MF1=此时△MF1F当MF2=综上，可得△MF1F故选：C．

3．（2425高二上·河北石家庄·期中）设点P为椭圆C:x2a2+y24=1(a>2)上一点，F1，F2【答案】4【解题思路】利用给定条件，利用椭圆的定义及余弦定理求出F1【解答过程】依题意，椭圆C的半焦距c=a在△PF1F2中，∠F1P由余弦定理得F1即F1则F1PP故答案为：434．（2425高二上·河北衡水·期末）已知点P是椭圆x2a2+y2b2=1(1)求椭圆的标准方程；(2)若∠F1P【答案】(1)x(2)16【解题思路】（1）求出a、c的值，可得出b的值，由此可得出椭圆的标准方程；（2）利用椭圆定义结合余弦定理可求得PF1⋅【解答过程】（1）因为椭圆的焦距为2c=6，得c=3，又2a=PF1+P因此，椭圆的标准方程为x2（2）因为点P是椭圆x225+可得PF又由∠F1P①−②可得3PF1则△F1P5．（2425高二上·广东广州·期中）设椭圆x2a2+y2(1)求椭圆的方程；(2)设P为椭圆上一点，且∠F1P【答案】(1)x2(2)C△PF1【解题思路】（1）由椭圆的上顶点坐标求得b,由离心率及椭圆中a,b,c的关系可求得b，从而得椭圆的方程；（2）根据椭圆的定义得PF1+PF2=2a及焦距长F1F【解答过程】（1）由题意知b=6a2∴椭圆的方程为x2（2）由（1）知c=a2又∵P为椭圆x29+∴焦点三角形F1PF在△F1P即PF由PF1+②①，整理得PF所以三角形F1PF题型2题型2椭圆中的最值问题1．（2425高二上·吉林长春·期末）已知B是椭圆x23+y2=1的上顶点，点A．2 B．22 C．322【答案】C【解题思路】设出M点坐标，利用坐标表示出MB并进行化简，再根据椭圆的有界性结合二次函数的性质求解出MB的最大值.【解答过程】设Mx0,y0所以MB=−2又因为y0∈−1,1所以MBmax故选：C.2．（2425高二上·四川绵阳·阶段练习）已知椭圆C：x24+y23=1的左、右焦点分别为F1，F2，M为C上任意一点，NA．213−1 B．42−5 C．【答案】B【解题思路】利用椭圆的定义，将MF1转化为【解答过程】如图，M为椭圆C上任意一点，则MF又因为N为圆E：(x−5)2|MN|−M当且仅当M、N、E、F2共线且M、N在E、F由题意知，F2(1,0)，E(5,4)，则所以|MN|−MF1故选：B．

3．（2025·宁夏银川·二模）已知A(3,0),B(−3,0)，P是椭圆x225+y216=1【答案】25【解题思路】先根据条件得|PA|+|PB|=10，再利用基本不等式求最值.【解答过程】由已知可得A(3,0),B(−3,0)为椭圆x2根据椭圆定义知|PA|+|PB|=10，所以|PA|⋅|PB|≤|PA|+|PB|当且仅当|PA|=|PB|=5时等号成立，故|PA|⋅|PB|的最大值为25.故答案为：25.4．（2425高二·全国·课后作业）已知P是椭圆x24+y2【答案】最小值为144【解题思路】设点P的坐标为x0,y0，则x0【解答过程】因为P是椭圆x2所以a=6,b=2,c=42，且椭圆焦点在y点P是椭圆上任意一点，设点P的坐标为x0则x0所以PA==8=8因为458当y0=45所以PA当y0=−6时，5．（2425高二·全国·课后作业）（1）已知F1，F2是椭圆x2100+（2）已知A(1,1)，F1是椭圆5x2+9y【答案】（1）100；（2）|PA|+|PF1|的最大值为6+【解题思路】（1）利用椭圆定义和基本不等式求|PF1|⋅|PF2|的最值；（2）求【解答过程】（1）∵a=10，20=|PF∴|PF1∴|P（2）设F2为椭圆的右焦点，5x2由已知，得|PF1|+|P∴|PA①当|PA|>|PF2|时，有0<|PA|−|PF2|≤|AF2|，等号成立时，|PA|+|P②当|PA|<|PF2|时，有0<|PF2|−|PA|≤|AF2|，等号成立时，|PA|+|P综上，可知|PA|+|PF1|的最大值为6+题型3题型3双曲线中的焦点三角形问题1．（2526高二上·全国·单元测试）已知双曲线C:y24−x2=1的上、下焦点分别为F1,F2，过F1的直线l与双曲线A．14 B．12 C．10 D．8【答案】B【解题思路】利用双曲线的定义可求得△ABF【解答过程】如图，由题意可得a2=4⇒2a=4，△ABF由双曲线的定义可得AF2−AF1=所以AF2+所以△ABF故选：B.

2．（2025·江西·二模）过双曲线C:x22−y2=1的中心作直线l与双曲线C交于P、Q两点，设双曲线C的右焦点为FA．33 B．1 C．2 D．【答案】D【解题思路】设双曲线的左焦点为F′，连接PF′、QF′，根据双曲线的对称性得到S△PFQ=【解答过程】设双曲线的左焦点为F′，连接PF′、Q由∠PFQ=2π3不妨设P在双曲线的右支上，设PF′=m，PF由双曲线的定义可得PF在△FPF′中由余弦定理可得，即12=m2+所以S△PFQ故选：D.3．（2025高二·全国·专题练习）已知双曲线x22−y22=1的右焦点为F2，P为其左支上任意一点，点【答案】3【解题思路】根据双曲线的定义得到焦点坐标和PF2−PF1=22，通过分析当A，P，【解答过程】如图，△APF2的周长l=PA+因为PF2−当A，P，F1三点共线（点P在图中点P1处）时，周长AF1=此时lmin所以答案为：324．（2526高二上·全国·单元测试）已知双曲线C:x2a(1)若双曲线C与椭圆x24+y2(2)若b=1，点P在双曲线右支上，且∠F1P【答案】(1)x2(2)3.【解题思路】（1）求出椭圆的焦点坐标，再利用待定法求出双曲线方程.（2）利用双曲线定义，结合余弦定理、三角形面积公式求解.【解答过程】（1）椭圆x24+y2依题意，4a2−1b2=1（2）设|PF1|=m，|P在△PF1F则mn=4c所以△F1P5．（2425高一上·上海·期末）已知双曲线Γ:x2(1)若Γ的实轴长为2，焦距为4，求Γ的渐近线方程；(2)已知P是双曲线Γ:x2−y28【答案】(1)y=±(2)S【解题思路】（1）利用实轴长，和焦距求出渐近线.（2）利用双曲线定义，及两点之间线段最短，得到点P在线段AF1上，得到直线【解答过程】（1）令双曲线的半焦距为c，依题意，a=1,c=2，由c2=a2+b2，得b=（2）由双曲线的定义可得|PF所以△APF2的周长为由于2a+|AF2|为定值，要使△APF2即点P在线段AF∵F1(−3,0),A(0,即x=y26−3，将其代入x2因此点P(−2,26题型4双曲线中的最值问题题型4双曲线中的最值问题1．（2526高二上·全国·课后作业）已知A7,3，双曲线C:x24−y25=1A．−1 B．2 C．3 D．1【答案】D【解题思路】由双曲线的定义得PF−PF【解答过程】如图，设双曲线的右焦点为F′3,0，连接PF因为AF而AF′≥PA−当P,F′,A三点共线且F′在故选：D．2．（2025高二·全国·专题练习）已知F是双曲线y24−x212=1的下焦点，AA．9 B．8 C．7 D．6【答案】A【解题思路】求出上焦点F1的坐标，由双曲线的定义可得PF+PA【解答过程】由y24−x2∴c=a所以下焦点F0,−4，上焦点为F由双曲线的定义得PF+当A，P，F1三点共线时，PF故选：A．3．（2025·贵州安顺·模拟预测）已知F是双曲线C:x22−y24=1的右焦点，P是C左支上一点，【答案】4【解题思路】利用双曲线定义，将|MP|+|PF|转化为|MP|+|PF【解答过程】设双曲线C的左焦点为F1，连接PF1由题知，实轴长2a=22由双曲线定义知，PF=2a+则|MP|+|PF|≥|PD|+|PF|−2=|PD|−2当P，D，F1三点共线时，|MP|+|PF|且最小值为DF故答案为：424．（2425高二上·吉林长春·阶段练习）已知双曲线C:x2a2−y2b2=1a>0,b>0(1)求双曲线C的方程;(2)若点A12,0，点P为双曲线C左支上一点，求PA【答案】(1)x(2)23【解题思路】（1）利用点到直线的距离公式和离心率列方程求出a，b，c，即可得到双曲线的方程；（2）根据双曲线的定义将PA+PF的最小值转化为【解答过程】（1）由题意知ca=5则b=c所以双曲线C的方程为x2（2）设双曲线C的左焦点为F0，则F由双曲线的定义知：PF−PF可得PA+当P，F0，A三点共线时，PA+P故PA+PF的最小值为5．（2425高二上·湖北武汉·期中）已知双曲线x2(1)求双曲线的方程；(2)已知定点A1，4，若双曲线的左焦点为F1，【答案】(1)x(2)9【解题思路】（1）利用待定系数法求双曲线方程；（2）首先利用双曲线的定义，结合数形结合，求距离和的最小值.【解答过程】（1）由条件可知，2a=4，ca=2，得a=2,c=4，所以双曲线方程为：x2（2）∵F1是双曲线x∴a=2，b=23，c=4，F设双曲线的右焦点为F2，则F由双曲线的定义可得PF1−所以PF1+PA=4+PF

当且仅当A、P、F因此，PF1题型5题型5与抛物线有关的最值问题1．（2425高二下·云南昆明·阶段练习）已知P是抛物线y2=4x上的一个动点，那么点P到直线y=x+3的距离与到该抛物线准线距离之和的最小值为（A．2 B．22 C．32 【答案】B【解题思路】根据抛物线的定义把点P到l的距离转化到点P到焦点F的距离，就是求点F到直线x−y+3=0的距离.【解答过程】设过点P分别向准线l和x−y+3=0作垂线，垂足分别为P1因为抛物线y2=4x的焦点F1,0所以只需要求PF+当且仅当F,P,P2三点共线时PF+PP2最小，且最小值为点故选：B.2．（2025·北京大兴·三模）已知点P(x,y)是准线为l的抛物线x2=4y上一动点，PM⊥l于点M，点Q(22,0)，则A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解题思路】由抛物线的性质，结合抛物线的定义求解即可．【解答过程】由题意抛物线x2=4y的焦点为由抛物线的定义可得：|PM|=|PF|，则|PM|+|PQ|=|PF|+|PQ|≥|QF|=(2当且仅当F、P、Q三点共线时取等号．即|PM|+|PQ|的最小值是3．故选：C.3．（2025高三·全国·专题练习）已知点Q22,0及抛物线y=x24上一动点Px,y，则y+【答案】2【解题思路】根据抛物线的定义将点P到焦点F的距离转化为到准线的距离，再根据三点共线时距离和最短求出结果即可.【解答过程】∵y=x24∴焦点为F(0,1)，准线为：y=−1，由抛物线的定义，点P到焦点F的距离等于到准线的距离，即|PF|=y+1，∴y+|PQ|=|PF|+|PQ|−1，∵当F,P,Q三点共线时，|PF|+|PQ|最小，此时(|PF|+|PQ|)min∴(y+|PQ|)min故答案为：2.4．（2025高三·全国·专题练习）求抛物线v2=2u上一点M到【答案】2【解题思路】数形结合，根据抛物线的定义，结合两点间线段最短进行求解即可.【解答过程】由抛物线v2=2u的标准方程可知，点Q是该抛物线的焦点，准线方程为过M作直线u=−12的垂线，垂足为由抛物线的定义可知：MP=于是MQ+所以当M,P,N三点共线时，M到Q12,05．（2425高二·上海·随堂练习）在两个条件①点B3,2；②点B3,4中任选一个，补充在下面的问题中．已知抛物线y2=4x的焦点为F，准线为(1)点P到点F与它到________的距离之和的最小值；(2)点P到点A−1,1与它到准线l(3)点P到直线y=−4x−5与它到准线l的距离之和的最小值．【答案】(1)答案见解析(2)5(3)9【解题思路】（1）选①：因点B3,2在抛物线的内部，由抛物线的定义，点P到点F与它到点B的距离之和的最小值就是点B到准线l的距离，即可求出；选②：因点B3,4在抛物线外部，所以最小值就是点B到点（2）点P到点A−1,1与它到准线l的距离之和的最小值即为|PA|+|PF∣的最小值，即为|AF|（3）点P到直线y=−4x−5与它到准线l的距离之和的最小值，即为点F到直线y=−4x−5的距离，由点到直线距离公式即可求得.【解答过程】（1）因为抛物线y2=4x的焦点F的坐标1,0,准线l的方程为选①：因点B3,2根据抛物线的定义，点P到焦点F的距离即为点P到准线l的距离,所以最小值就是点B到准线l的距离，故最小值是3+−1选②：因点B3,4在抛物线外部，所以最小值就是点B到点F故最小值是BF=（2）因为点A−1,1在准线l点P到准线l的距离即为点P到焦点F的距离，所以点P到点A−1,1与它到准线l的距离之和的最小值即为|PA|+|PF∣则最小值为|AF|=−1−1（3）点P到准线l的距离即为点P到焦点F的距离，所以点P到直线y=−4x−5与它到准线l的距离之和的最小值，即为点F到直线y=−4x−5的距离，由点到直线距离公式得−4−5−4题型6题型6椭圆的弦长与“中点弦”问题1．（2425高二上·重庆·期末）已知椭圆C:y29+x2=1的一个焦点是F，过原点的直线与C相交于点A，B，△ABFA．355 B．655 C．【答案】D【解题思路】设直线AB方程y=kx,Ax1,y1【解答过程】如图：由题，不妨设F0,22，直线设直线AB方程y=kx,Ax联立y2x1S△ABF解得k=±6，故|AB|=1+故选：D.2．（2425高二上·河北廊坊·期末）已知椭圆x29+y23=1，过点P1,1的直线交椭圆于A，B两点，且A．x+3y−4=0 B．3x+y−4=0 C．x−3y+2=0 D．3x−y−2=0【答案】A【解题思路】判断点P在椭圆内，利用点差法求出直线AB的斜率即可得其方程.【解答过程】椭圆x29+y23=1则x129而x1+x2=2,y1所以直线AB的方程为y−1=−13(x−1)故选：A.3．（2425高二上·甘肃·期末）已知椭圆C:x24+y28=1内一点M1, 2，直线l与椭圆【答案】4【解题思路】利用“点差法”求得直线的斜率，写出直线方程，联立方程组结合弦长公式即可求解.【解答过程】设Ax则x124因为M1, 2为线段AB则y1所以直线l的方程为y−2=−1×x−1联立x+y−3=0x24所以AB=故答案为：434．（2526高二上·全国·课后作业）已知椭圆C:y2a2+(1)求椭圆C的标准方程；(2)过点0,2的直线l被椭圆C截得的弦长为322，求直线【答案】(1)y(2)1413+122【解题思路】（1）根据离心率和过点列方程组求解即可；（2）分直线l斜率存在和不存在时讨论，当直线l斜率存在时，设其方程为y=kx+2，与椭圆方程联立，利用弦长公式求出弦长，列方程求解即可．【解答过程】（1）由题意得a2=b2+∴椭圆C的标准方程为y2（2）分直线l斜率是否存在讨论：当斜率不存在时，直线方程为x=0，此时截得的弦长为22当斜率存在时，设直线l的方程为y=kx+2，联立y＝kx＋设直线l与椭圆C的交点为Ax1,则Δ=16k2−8k则AB=1+k2x化简得7k解得k=±14∴直线l的方程为y=±14综上，1413+122x−7y+14=05．（2425高二上·贵州黔南·阶段练习）已知动点M到点5,0的距离比它到直线x+7=0的距离小2，记动点M的轨迹为C.(1)求C的方程；(2)直线l与C交于A，B两点，若线段AB的中点坐标为4,−2，求直线l的方程.【答案】(1)y(2)5x+y−18=0【解题思路】（1）设Mx,y，根据条件得出x−5（2）设直线方程，与抛物线方程联立，得出x1+x【解答过程】（1）设Mx,y，则由题意可得x−5化简得y2=20x，故C的方程为（2）由题意可知，直线AB的斜率不为0，故设直线AB:x=my+n，Axx=my+ny2=20x则y1则x1因线段AB的中点坐标为4,−2，则y1+y解得m=−15,n=则直线l的方程为5x+y−18=0.题型7题型7双曲线的弦长与“中点弦”问题1．（2425高二上·海南省直辖县级单位·期末）过双曲线x23−y2=1的右焦点作与x轴垂直的直线，交双曲线于A、A．23 B．233 C．3【答案】B【解题思路】求出直线AB的方程，将直线AB的方程与双曲线的方程联立，求出交点坐标，即可求得AB的值.【解答过程】在双曲线x23−y2=1中，所以，双曲线x23−由题意可知，直线AB的方程为x=2，联立x=2x23可取A2,33、B故选：B.2．（2425高二上·黑龙江鸡西·期中）若双曲线x2−y2=1A．3x−4y−2=0 B．x+2y−4=0 C．3x+2y−8=0 D．2x−y−3=0【答案】D【解题思路】利用点差法可得直线斜率，进而可得直线方程.【解答过程】设弦AB端点Ax1,由A，B在双曲线上，则x1两式做差可得x1即x1又弦AB被点2,1平分，则x1+x则kAB即直线方程为y−1=2x−2，化简可得2x−y−3=0故选：D.3．（2425高二上·重庆沙坪坝·期末）设A,B是双曲线x2−y24=1上的两点，且线段AB的中点是M(1,4)，则直线【答案】1【解题思路】设Ax【解答过程】设Ax1,y∵A,B在双曲线上，∴x12则kAB⋅k此时B:y−4=x−1，即y=x+3，联立方程y=x+3x2−y2此时△=(−6)2+4×3×13>0故答案为：1.4．（2425高二上·甘肃临夏·期末）已知双曲线C:x2a2−(1)求C的方程；(2)过点A6,1作直线与双曲线C相交于M,N两点，且A为线段MN【答案】(1)x(2)3x−2y−16=0【解题思路】（1）由题意可得2c=45（2）分直线斜率不存在和存在两种情况，结合点差法求解即可.【解答过程】（1）由题意知，2c=45解得a2=16,b2=4,（2）①当过点A的直线斜率不存在时，若点A为MN的中点，则点A必在x轴上，这与A6,1②当过点A的直线斜率存在时，设斜率为kk≠0，则直线方程为y−1=k设Mx1,y1所以x1因为M,N在双曲线x216−则x1所以k=y则所求直线方程为y−1=32x−65．（2425高二上·四川达州·期末）已知中心在坐标原点的双曲线的右焦点坐标5,0，且离心率e=5(1)求双曲线的标准方程和渐近线方程；(2)过双曲线右焦点且倾斜角为π4的直线与双曲线交于A、B两点，求AB【答案】(1)x29(2)192【解题思路】（1）由题意可得c的值，再由离心率，可得a的值，进而求出b的值，由此可求出双曲线的方程以及渐近线方程；（2）由题意得到直线方程y=x−5，与双曲线方程联立，利用弦长公式计算即可.【解答过程】（1）由题意可得c=5,e=ca=53所以b2所以双曲线的方程为：x29−（2）过双曲线右焦点且倾斜角为π4的直线方程为：y=x−5联立双曲线方程可得：7x所以x1则AB=题型8题型8抛物线的弦长与焦点弦问题1．（2425高二上·河南南阳·期末）过抛物线C:y2=4x的焦点F的直线l交C于A,B两点，其中点A在第一象限，且AF=4，则A．163 B．6 C．203【答案】A【解题思路】根据抛物线焦半径公式先确定点A坐标，从而可得直线l的方程，与抛物线方程联立求弦长.【解答过程】易知l的斜率存在，设Ax则AF=x1因为点A3,y1在C又点A在第一象限，故y1=23又F1,0，所以k所以直线l的方程为y−0=3x−1，即联立y=3x−1，y2由抛物线的定义，得AB=故选：A.2．（2425高二上·广东广州·期末）斜率为1的直线经过抛物线y=14x2的焦点，且与抛物线交于A，B两点，则线段A．8 B．132 C．112 【答案】A【解题思路】利用直线过抛物线焦点以及斜率为1，表示出直线方程，然后联立抛物线方程，结合韦达定理和焦点弦性质，即可求出线段长度.【解答过程】由题知，抛物线方程为x2所以抛物线焦点为0,1，所以该直线方程为y−1=1×x−0即x−y+1=0，联立x2=4yx−y+1=0设Ax1,所以AB=故选：A.3．（2425高二上·湖南郴州·期末）已知抛物线y2=2pxp>0，过抛物线焦点的直线y=−2x+4与抛物线交于A,B两点，则AB=【答案】10【解题思路】首先求出直线与x轴的交点坐标，即可得到抛物线方程，再设Ax1,【解答过程】直线y=−2x+4过点2,0，又抛物线y2=2pxp>0所以p2=2，解得p=4，所以抛物线y2=8x，设由y2=8xy=−2x+4，消去y可得x所以x1+x故答案为：10.4．（2425高二上·重庆沙坪坝·期末）已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F，Px0,y(1)求p的值；(2)设点P在第一象限，过点(−2,0)的直线交C于M,N两点，直线PM,PN分别与y轴相交于两点A,B，求线段AB的中点坐标．【答案】(1)p=4(2)(0,2)【解题思路】（1）根据抛物线定义表示|PF|，可得x0=p2，（2）设过点(−2,0)的直线方程为x=my−2，与抛物线方程联立，利用韦达定理表示两根和与积，表示直线PM方程，计算点A,B纵坐标，求和可得结果.【解答过程】（1）由题意得，Fp2,0，|PF|=∴y02=2p∴△OFP的面积S=12|OF|⋅（2）由（1）得，C:y2=8x设过点(−2,0)的直线方程为x=my−2，Mx由y2=8xx=my−2由Δ=64m2−64>0，得m<−1或∵点P(2,4)，∴设直线PM的方程为y−4=y令x=0，得y=4−2×y∴A0,4y∴yA故线段AB的中点坐标为(0,2).5．（2425高二上·内蒙古赤峰·期末）在平面直角坐标系xOy中，过点T2,0的直线l与抛物线C:y2=2x相交于点(1)若直线l的斜率为1，求AB；(2)求证：OA⊥OB.【答案】(1)2(2)证明见解析【解题思路】（1）直线l的方程为y=x−2，联立C:y2=2x（2）当直线l的斜率为0时，不合要求，设直线l的方程为x=2+ty，与C:y2=2x联立得y2−2ty−4=0【解答过程】（1）直线l的方程为y=x−2，联立C:y2=2x得x设Ax1,则AB=（2）当直线l的斜率为0时，与抛物线只有1个交点，不合要求，舍去，设直线l的方程为x=2+ty，与C:y2=2x联立得y设Ax1,则x1故OA⋅OB=x1题型9题型9圆锥曲线中的面积问题1．（2425高二上·甘肃兰州·期末）已知F是双曲线x24−y212=1的左焦点，过F倾斜角为30∘的直线与双曲线渐近线相交于A、A．83 B．63 C．43【答案】D【解题思路】不妨设点A在直线y=−3x上，点B在直线y=3x上，将直线AB的方程与两渐近线方程联立，求出点A、B的坐标，分析可知，OA⊥AB，求出OA、【解答过程】在双曲线x24−y212=1则F−4,0，双曲线的渐近线方程为y=±不妨设点A在直线y=−3x上，点B在直线由题意可知，直线AB的方程为y=3联立y=33x+4y=−3联立y=33x+4y=3AB=因为kAB=33，kOA且OA=−12故选：D.2．（2425高二下·湖北荆门·期末）已知椭圆C:x23+y2=1的左、右焦点分别为F1，F2，直线y=x+m与C交于点A，BA．−32 B．−23或−32 C．【答案】C【解题思路】根据面积公式结合定义计算求解得出m=−23或【解答过程】设直线y=x+m与x轴的交点为M，则M−m,0所以SF1AB因为SF1AB由x23+y2=1得c=2所以−2+m=22+m因为y=x+m与C有两个交点，联立y=x+mx23+y则Δ=36m2−16故选：C.3．（2425高二上·山西太原·期末）已知过抛物线C：x2=2py（p>0）的焦点F且斜率为3的直线与C相交于A，B两个不同点，若AB=8，则△OAB（O【答案】1【解题思路】设直线AB方程为y=3x+p2，设A(x1,【解答过程】由题意F(0,p2)，直线AB方程为y=由y=3x+p所以x1又AB=所以8=212p2+4p2，解得所以O到直线AB的距离为d=0−0+S△OAB故答案为：1.4．（2425高二上·江苏南通·期末）设椭圆Γ:x24+y23=1的右焦点为F(1)求△ABF的周长；(2)设点C在Γ上，求△ABC的面积的最大值.【答案】(1)4+(2)2【解题思路】（1）根据题干的条件求出A1,32（2）由（1）知AB=13，设出与直线AB平行的直线l1【解答过程】（1）已知椭圆Γ:x24+所以F1,0,因为AF⊥x轴，把x=1代入椭圆方程Γ:x不妨设A1,32，因为A,B所以AB=由椭圆的对称性可知：AF=BF所以△ABF的周长为AB+（2）由（1）得AB=由A1,32，B−1,−3当△ABC的面积的最大值时，就是椭圆上的点到直线AB的距离最大时，即与直线AB平行且与椭圆相切时，如上图，设l1联立3x−2y+m=0x24因为直线与椭圆相切，所以判别式Δ=6m2−4×12×m2−12则两平行线的距离d=4故△ABC的面积的最大值S=15．（2025·黑龙江·一模）已知双曲线C:x2a2−y2b2(1)求C的方程；(2)设x轴上方的点A，B分别在C的左支与右支上，若F2B=3【答案】(1)x2(2)1615【解题思路】（1）根据给定条件，求出渐近线方程，进而求出a,b即得C的方程.（2）设A(x0,y0【解答过程】（1）双曲线C:x2a2−y2而a2+b所以C的方程为x2（2）设A(x0,y0),y依题意，x024−y|F1A|=4,|等腰△F2F1A又四边形AF1F所以四边形AF1F题型10圆锥曲线题型10圆锥曲线中的参数范围及最值问题1．（2425高二上·辽宁沈阳·期中）已知椭圆C:x272+y2b2=10<b<62，过点P(2, 1)且斜率为−1的直线与C相交于A,A．6 B．62−6 C．6−23【答案】B【解题思路】由点差法结合已知可得b，进而求出c，根据椭圆C上一点M到焦点F的距离的最小值为a−c求得结果.【解答过程】设A(x1,两式作差得x12−x2因为点P(2, 1)恰好是AB的中点，所以又因为直线AB的斜率为y1将它们代入①式得24×(−1)=−b又a2=72,a=62所以椭圆C上一点M到焦点F的距离的最小值为a−c=62故选：B．2．（2425高二上·浙江金华·期末）已知直线l:y=kx+mk≠±1与双曲线x2−y2=1有唯一公共点M，过点M且与l垂直的直线分别交x轴、y轴于Ax,0,B0,yA．51−4 B．51+4 C．51−2【答案】A【解题思路】由题意首先得点P在双曲线x2【解答过程】联立y=kx+mx2−由题意Δ=2km2解得xM所以过点M且与l垂直的直线方程为y=−1在该直线方程中分别令y=0,x=0，依次解得A−2mk所以xP即点P在双曲线x24−

若P在右支上面，可以发现点C22,0为x所以PC+等号成立当且仅当点P与点E重合，其中点E为线段QD与双曲线右支的焦点，若P在左支上面，如图所示：

所以PC+等号成立当且仅当点P与点F重合，其中点F为线段QD与双曲线左支的焦点，综上所述，点Px,y到C22故选：A.3．（2025·全国·模拟预测）已知A1、A2两点是双曲线E:x2−y23=1的左、右顶点，点F是E的右焦点，点T【答案】3【解题思路】分两种情况讨论，①当点T与点E重合时，直接求出cos∠A1TA2的值；②当点T不与点E重合时，不妨设点T为第一象限内的一点，设点T2,t【解答过程】当点T与点E重合时，∠A1T当点T不与点E重合时，不妨设点T为第一象限内的一点，如下图所示：在双曲线E中，a=1，b=3，c=设点T2,tt>0，则tan∠E所以，tan=2t+3t≤因为tan∠A1TA所以，cos∠A1TA故答案为：324．（2425高二上·浙江杭州·期末）已知椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0，F1、F2分别是椭圆C(1)求C的方程；(2)设点M4,0，过F2的直线l与椭圆C交于A、B两点，记直线MA、MB的斜率分别为k1、k【答案】(1)x(2)−【解题思路】（1）根据椭圆的定义个焦半径公式可得出关于a、c的方程组，解出这两个量的值，可得出b的值，由此可得出椭圆C的方程；（2）分两种情况讨论，①直线l与x轴重合，求出k1k2的值；②直线l不与x轴重合时，设直线l的方程为x=my+1，设点Ax1【解答过程】（1）因为P是椭圆C上任意一点，且△PF1F2的周长为6，则设点Px,y，则x2a2+易知F1−c,0=c所以，PF1的最小值为a−c=1，所以，a+c=3a−c=1，解得a=2因此，椭圆的方程为x2（2）如下图所示：若直线l与x轴重合时，此时，k1=k若直线l不与x轴重合时，设直线l的方程为x=my+1，设点Ax1,联立x=my+13x2则Δ=36由韦达定理可得y1+y所以，k=−综上所述，k1k25．（2025·四川泸州·二模）设F为抛物线H:y2=2pxp>0的焦点，点P在H上，点M(1)求H的方程；(2)过点F作直线l交H于A、B两点，过点B作x轴的平行线与H的准线交于点C，过点A作直线CF的垂线与H的另一交点为D，直线CB与AD交于点G，求|GB||GC|【答案】(1)y(2)1【解题思路】（1）先由PF=PM得点（2）联立直线l与抛物线H的方程，得到y1+y2,y1y2【解答过程】（1）依题意，点F的坐标为p2又M7p2,0，PF=PM由拋物线的定义得PF=2p+p2所以拋物线H的方程为y2（2）由（1）知点F的坐标为(1,0)，设直线l的方程为x=my+1，联立x=my+1y2=4x，消去x，得y设Ax1,y1因为H的准线为x=−1，因为直线BC平行于x所以点C的坐标为C−1,y2，则直线CF所以直线AD的斜率为2y2，其方程为因为点G的纵坐标为y2所以点G的横坐标为xG所以|GB|=x因为x1>0，则0<1即|GB||GC|的取值范围是1题型11题型11圆锥曲线中的定点、定值问题1．（2025·安徽马鞍山·一模）已知椭圆C:x2a2+y2(1)求椭圆C的标准方程；(2)若A，B为椭圆C上的两点，且满足AP⊥BP，求证：直线AB过定点．【答案】(1)x(2)证明见解析【解题思路】（1）首先根据椭圆的离心率和椭圆上一点的坐标求出椭圆的标准方程；（2）分直线AB斜率不存在和存在两种情况进行讨论，利用向量垂直的性质得到关于参数的方程，进而求出直线AB所过的定点.【解答过程】（1）因为椭圆C离心率为12，所以e=c又因为点P1,32在椭圆C上，所以1a2+椭圆C的标准方程为：x（2）①当AB斜率不存在时，设AB的方程为x=m，则Am,n，Bm,−n，PA=因为PA⊥PB，所以PA⋅PB因为m24+n所以7m24−2m+14②当AB斜率存在时，设AB的方程为y=kx+t，联立x24+y23Δ=64k2设Ax1,y1，By1+y2因为PA⊥PB，所以PA⋅即x1x代入化简得28t即2k+2t−32k+14t+3=0当2k+2t−3=0时，t=32−k，此时AB方程为y=kx−1当2k+14t+3=0时，t=−17k−314，此时AB方程为综上，直线AB过定点17

2．（2425高二上·浙江杭州·期末）已知点A，B分别是双曲线C:y24−x(1)求点P的轨迹方程；(2)是否存在点P，使得过点P的动直线l交双曲线C于M，N两点，且BM与BN的斜率之和为定值？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)x2(2)存在，(433【解题思路】（1）表示顶点坐标，设P(x,y)，利用条件建立方程，即可得到结果.（2）设动直线l方程以及直线BM,BN斜率k1,k2，联立直线与双曲线方程表示点M,N坐标，代入直线【解答过程】（1）由题意得，A(0,2),B(0,−2)，设P(x,y)，由|PB|=2|PA|，得x2+(y+2)所以点P的轨迹方程为x2（2）存在，理由如下：设动直线l方程为y=kx+m(m≠±2)，直线BM斜率为k1，直线BN斜率为k则直线BM:y=k1x−2，直线BN:y=由y=k1x−2y2−4x2=4由点M在动直线l上，得2k整理得(m−2)k12因此k1,k2是方程则4k2−m为定值，令4k2−m=t，则k=y=t(2−m)4x+m=m(1−t4代入动直线l方程得，y=2，即P(4点P(4t,2)代入（1）中轨迹方程得，(所以点P的坐标为(4333．（2425高二上·云南昆明·期末）已知椭圆Γ:x2a2+y2b2=1a>b>0的离心率为22，点A2,1在Γ上，过B3,0作直线l(1)求Γ的标准方程；(2)判断k1【答案】(1)x(2)是定值，2【解题思路】（1）由题意列方程组，求出a,b的值，即得答案；（2）设直线l的方程并联立椭圆方程，可得根与系数的关系，求出k1【解答过程】（1）由题意可得ca=2故Γ的标准方程为x2（2）由题意知直线l的斜率存在，设其方程为y=kx−3，设C联立得y=kx−3x26+则x1则k===−4即k1+4．（2526高二上·全国·单元测试）在平面直角坐标系xOy中，抛物线C:y2=4x的焦点为F，过F的直线交C于M,N两点，2MF=MO−(1)判断直线MN的斜率与直线AB的斜率之比是否为定值．若为定值，求出该定值；若不为定值，说明理由．(2)证明：直线AB经过定点．【答案】(1)是，2(2)证明见解析【解题思路】（1）设直线MN，AB斜率分别为k1,k（2）结合（1）设直线AB:x=ny+b，利用已知条件求出设直线b即可.【解答过程】（1）设直线MN，AB斜率分别为k1,k理由如下：如图，易知F1,0，设My1联立y2=4x,x=my+1,Δ1k1因为2MF=MO所以点F为线段OD的中点，因为F(1,0)，所以D(2,0)，故直线MD:x=y代入抛物线方程可得：y2则Δ2联立①②得y3=2y所以k2所以k1（2）由（1）知y1DB=因为N，B，D三点共线，所以y2化简得y2所以y1y2所以y3设直线AB:x=ny+b，由x=ny+by2=4xΔ3解得b=4，所以直线AB方程为：x=ny+4，当y=0⇒x=4，所以直线AB过定点(4,0)．5．（2425高二上·贵州毕节·期末）已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(1)求双曲线C的方程；(2)已知D是C的右顶点，M、N是C上与D不重合的两点，且DM⊥DN，证明：直线MN过定点，并求出定点的坐标．【答案】(1)x(2)−【解题思路】（1）根据点到直线的距离可求c，再根据a,b,c的关系及ba=2可求（2）先讨论直线MN无斜率时，求出直线MN过点−53,0，当直线MN有斜率时，设直线MN：y=kx+n，与双曲线方程联立，消去y，得到关于x的一元二次方程，根据韦达定理可得x1+x2，x1x【解答过程】（1）双曲线的右焦点Fc,0，到直线2x−y=0所以2c22+1=2⇒c=5，又b所以双曲线C：x2（2）如图：易知D1,0当直线MN的斜率不存在时，设直线MN：x=x不防取Mx0,2由DM⊥DN，所以DM⋅DN=0⇒x0−1所以x0=−5所以直线MN过点−5当直线MN的斜率存在时，设直线MN：y=kx+n.由y=kx+nx2−y24=1由Δ>0⇒2nk2+44−k设Mx1,则x1+x所以y1y2=kx1由DM⊥DN，所以DM⋅DN=0⇒即x1所以−n2+44−k所以5k−3nk+n=0⇒5k=3n或由k=−n得y=kx+n=kx−1，所以直线MN过定点1,0由5k=3n得y=kx+n=kx+53，所以直线MN综上可得：直线MN过定点−5题型12题型12圆锥曲线中的定直线问题1．（2425高二上·山西运城·期末）已知椭圆C:x2a2+y2(1)求椭圆C的标准方程；(2)若过点P−8, 0的直线与椭圆C交于A,【答案】(1)x(2)证明见解析【解题思路】（1）由题意可得a2=b2+4（2）设直线AB的方程为x=my−8，联立方程组，由韦达定理可得y1+y2=48m3【解答过程】（1）因为椭圆两个焦点为F1−2,0,F2又点M23,3在椭圆C上，所以两式联立，解得a2=16,b2=12（2）由题意可知直线AB的斜率存在，且不为0，设直线AB的方程为x=my−8，联立x=my−8x216则Δ=(−48m)2设Ax1,设直线AF1,B所以k1因为y1所以k1+k2=0恒成立，则直线A所以△ABF1的内心在定直线2．（2425高二上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知双曲线C的中心为坐标原点，左、右顶点分别为A1−4,0，(1)求双曲线C的方程；(2)过点R6,0的直线l与C的右支交于M，N两点，若直线A1M与A2N【答案】(1)x(2)证明见解析【解题思路】（1）由a,b直接求出双曲线方程即可；（2）设直线MN方程和设Mx1,y1【解答过程】（1）设双曲线的标准方程为x2依题意有a=4,2b=6,∴b=3，所以双曲线方程为x2（2）(i)证明:设直线MN方程为:x=my+6，设Mx联立方程x=my+6x216−yΔ=∵m≠±4∵Mx1,∴x直线A1M:y=y联立方程得y=16解得x=83，故点P在定直线3．（2425高三上·黑龙江黑河·期末）已知椭圆C:x2a2+(1)求C的方程；(2)若直线l:y=k(x−4)(k≠0)与C交于M，N两点，直线A1M与A2N相交于点【答案】(1)x2(2)证明见解析，x=1.【解题思路】（1）由椭圆的长轴长及所过的点列方程组求参数，即可得椭圆方程.（2）设M(x1,y1),N(x2,y2)则lA1M:y=y【解答过程】（1）因为|A1A2|=4因为C过点(2,62)所以C的方程为x2（2）由题意，设M(x1,y1由y=k(x−4)x24+y解得−12<k<12且k≠0由y=y1x1+2所以点G在定直线x=1上．4．（2425高二上·湖北·期末）已知抛物线C:x2=4y的焦点为F，设动点P(1)若m=2,n=1，求过点P与抛物线有且只有一个公共点的直线方程；(2)设过动点P的两条直线l1,l2均与C相切，且l1,l【答案】(1)x=2或x−y−1=0；(2)证明见解析【解题思路】（1）分别讨论直线斜率是否存在，利用判别式为0即可得直线方程；（2）设出直线方程并利用韦达定理可得k2−km+n=0，结合k1−1k【解答过程】（1）当经过点P的直线不存在斜率时，直线方程即为x=2，与抛物线抛物线C：x2=4y有且只有一个公共点当经过点P的直线存在斜率时，不妨设直线方程为y−1=kx−2代入抛物线方程化简得：x2Δ=−4k2−4因此所求直线方程为x=2或x−y−1=0；（2）证明：设过点P与抛物线C的相切的切线方程为l:y−n=kx−m由y−n=kx−mx2=4y，消去因为l与抛物线C相切，所以Δ=即k2又因为k1，k2是方程k2由k1−1k2从而动点Pm,n在直线x−y+3=0