线段射线直线（第2课时）数学北师大版2024七年级上册（导学案）数学北师大版2024七年级上册

4.1线段、射线、直线（第2课时）（导学案）（解析版）1.教学目标（1）结合图形认识线段间的数量关系，学会比较线段的大小。（2）利用丰富的活动情景，让学生体验到两点之间线段最短的性质，并能初步应用。（3）知道两点之间的距离和线段中点的含义。通过本课的教学，进一步培养学生的动手能力、观察能力。重点：两点之间的距离和线段中点的含义及基本事实“两点之间线段最短”。难点：两点之间线段最短的性质，并能初步应用及线段上中点的表示方法及运用。第一环节自主学习温故知新：①线段有两个端点。射线有一个端点。直线没有端点。②连接AB，就是要画出以A，B为端点的线段;延长线段AB，是指按从端点A到B的方向延长;延长线段BA，是指按从端点B到A的方向延长，这时也可以说反向延长线段AB。

③基本事实:经过两点有一条直线，并且只有一条直线。简单说成:两点确定一条直线。新知自研：自研课本第113114页的内容【学法指导】自研课本P113114页内容，思考：阅读.欣赏线段构成的美丽图案。图48中的图案漂亮吗?这些图案中似乎包含了一些曲线，其实它们都是由多条线段构成的。请你按照下面的步骤试一试。(1)画一个角(如图49)；(2)在角的两边取距离相等的点；(3)将这些点按如图所示编上号码；(4)把号码相同的点用线段连起来。看一看，你得到了什么图案?有趣吗?利用这个办法尝试画出上面的图案。你也可以发挥想象，自己创作出更有趣的图案来!(一)线段基本事实问题：如图，从A地到B地有四条道路，除它们外能否再修一条从A地到B地的最短道路?如果能，请你联系以前所学的知识，在图上画出最短道路。如图，从A地到C地有四条道路，外怎样再修一条从A地到B地的最短道路?根据生活经验，我们发现:两点之间的所有连线中，线段最短。（1）从上面的结论中，可以得到一个关于线段的基本事实，你能用自己的语言表述吗？两点的所有连线中，线段最短。简单说成:两点之间，线段最短。（2）你能举出这个基本事实在生活中的一些应用吗?学生交流讨论，列举生活中的例子。（3）我们把两点之间线段的长度，叫作这两点之间的距离。线段与线段的长度、两点间的距离的区别？线段是图形，线段的长度、两点间的距离是数量.（二）比较线段的大小思考.交流下图中，哪棵树较高?哪支铅笔较长?窗框相邻的两条边哪条较长?你是怎么比较的?（1）从上面实际问题，你能得到怎样比较两条线段的长短的方法？比较两条线段的长短，可用刻度尺分别测量出它们的长度来比较，或者把其中的一条线段移到另一条线段上作比较。将一条线段移到另一条线段上时，通常使它们的一个端点重合，在上图中，点A与点C重合，点B落在点C，D之间，这时我们说线段AB小于线段CD，记作AB<CD.（2）想一想，什么情况下线段AB大于线段CD，线段AB等于线段CD呢?两条线段的大小关系有几种情况？根据点B落在直线上的位置来判断，B落在点CD延长线上，AB>CD，B和点D重合，AB=CD；从上可以看出：两条线段的大小关系有三种：AB<CD，AB=CD，AB>CD.（三）作一条线段等于已知线段问题1：用尺规作图的方法可以将一条线段移到另一条线段上。（1）只有没有刻度的直尺圆规你能画吗？学生讨论并动手操作：先用直尺画直线，再用圆规在直线上截取CD=AB.（2）在数学中，我们常限定用无刻度的直尺和圆规作图，这就是尺规作图。上面是用无刻度直尺“作一条线段等于已知线段”，直尺和圆规分别发挥了什么作用?在尺规作图中，直尺只能用来作直的线，不能用来量长度;而圆规实际上具有量长度的功能，它可以把一条线段“转移”到合适的位置。（3）已知线段a与b，怎样求线段a与b的和、差？在直线上作线段AB=a，再在AB的延长线上作线段BC=b，线段AC就是a与b的和，记作AC=a+b(如下图(1)).设线段a>b，如果在线段AB上作线段BD=b，那么线段AD就是a与b的差，记作AD=ab(如下图(2)).（四）线段的中点问题：如图(1)，点M把线段AB分成相等的两条线段AM与MB，点M叫作线段AB的中点。（1）类似地，还有线段的三等分点、四等分点等(如图(2)(3).怎样表示中点、三等分点、四等分点线段间的关系呢？学生讨论，得出如上图的结论.尝试.思考（2）直线上顺次取A，B，C三点，使得AB=4cm，BC=3cm。如果点Ｏ是线段AC的中点，那么线段AC和OB的长度分别是多少?AC=7cm，0B=0.5cm。这个问题是线段中点概念的简单应用。【自研自探】自研课本110112页例题内容，回答问题：例1.如图，把弯曲的河道改直，能够缩短航程，这样做的根据是()A．两点之间，直线最短B．两点确定一条线段C．两点确定一条直线D．两点之间，线段最短【分析】利用线段的基本事实进而直接得出答案．【详解】解：把弯曲的河道改直缩短航程的根据是：两点之间，线段最短．故选D.例2．为了比较线段和线段的长短，把线段移到线段上，使点与点A重合．（填“>”“=”或“<”）（1）当点落在线段上时，；（2）当点与点重合时，；（3）当点落在线段的延长线上时，。【分析】（1）正确画出图形，根据图形求解即可；（2）正确画出图形，根据图形求解即可；（3）正确画出图形，根据图形求解即可。【详解】解：（1）如图，

（2）如图，

（3）如图，

故答案为：，，。例3.如图，已知线段a，b，作一条线段，使它等于2ab。如图，在直线上作线段AB=a，再在线段AB的延长线上作线段BC=a，则线段AC=2a.在线段AC上作线段CD=b，则线段AD=2ab.例4.若点C为线段AB上一点，且AB＝16，AC＝10，则AB的中点D与BC的中点E的距离为()A．8B．5C．3D．2师生共同完成：如图，D是AB的中点，E是BC的中点．∵AB＝16，AC＝10，∴CB＝AB－AC＝16－10＝6.又∵D是AB中点，E是BC中点，∴BD＝eq\f(1,2)AB＝eq\f(1,2)×16＝8，BE＝eq\f(1,2)CB＝eq\f(1,2)×6＝3，∴DE＝BD－BE＝8－3＝5.故选B.第二环节合作探究1.讨论如图，从A地到B地有四条道路，除它们外能否再修一条从A地到B地的最短道路?如果能，请你联系以前所学的知识，在图上画出最短道路？2.讨论从上面的结论中，可以得到一个关于线段的基本事实，你能用自己的语言表述吗？你能举出这个基本事实在生活中的一些应用吗?3.讨论什么叫两点之间的距离。线段与线段的长度、两点间的距离的区别？4.讨论比较两条线段的长短的方法？两条线段的大小关系有几种情况？5.讨论用尺规作图的方法可以将一条线段移到另一条线段上？直尺和圆规分别发挥了什么作用?6.讨论已知线段a与b，怎样求线段a与b的和、差？7.讨论什么是线段的中点？线段间的关系？类似地，还有线段的三等分点、四等分点等(如图(2)(3).怎样表示中点、三等分点、四等分点线段间的关系呢？8.拓展提升：1.如图，B、C两点把线段AD分成2∶3∶4的三部分，点E是线段AD的中点，EC＝2cm，求：(1)AD的长；(2)AB∶BE.【解析】：(1)设AB＝2x，则BC＝3x，CD＝4x.由线段的和差，得AD＝AB＋BC＋CD＝9x.由E为AD的中点，得ED＝eq\f(1,2)AD＝eq\f(9,2)x.由线段的和差，得CE＝DE－CD＝eq\f(9,2)x－4x＝eq\f(x,2)＝2(cm)．解得x＝4.∴AD＝9x＝36(cm)．(2)AB＝2x＝8(cm)，BC＝3x＝12(cm)．由线段的和差，得BE＝BC－CE＝12－2＝10(cm)．∴AB∶BE＝8∶10＝4∶5.课本课堂练习1.如图，比较折线AB和线段A'B'的长短，你有什么方法?需要什么工具?2.如图，已知线段a和b，直线AB和CD相交于点0。请用尺规按下列要求作图(1)在射线OA，OB，OC上作线段OA'，OB'，OC'，使它们分别与线段a相等；(2)在射线OD上作线段OD'，使OD'与线段b相等;(3)连接A'C'，C'B'，B'D'，D'A'。你得到了一个怎样的图形?与同伴进行交流。3.如图，已知线段a，b，用尺规作一条线段m，使m=a+b。答案：1.比较的方法有多种，如测量、圆规截取、借助细线等，要关注学生的方法是否合理可行。有的学生可能会测量折线段的每一小段，然后将测量的结果相加得到折线段的长度;有的学生可能会用圆规将折线段的每一小段卡住，将其顺次移到一条直线上，然后再测量它们在直线上的总长度。这两种方法都可以，但后者更为精确一些，因为前者每一次用刻度尺测量都会产生一定的误差。2、四边形(筝形)。3.略。通过作图理解线段的和1．（2024－2025.新余期末）下列现象：①用两个钉子就可以把木条固定在墙上；②从地到地架设电线，总是尽可能沿着线段架设；③植树时，只要确定两棵树的位置，就能确定同一行树所在的直线；④把弯曲的公路改直，就能缩短路程．其中能用“两点之间，线段最短”来解释的现象有（）A．①② B．②③ C．③④ D．②④【详解】解：根据两点之间，线段最短，得到的是：②④；①③的依据是两点确定一条直线．故选：．

故选：A．A． B． C．或 D．不能确定

故选：．

A．6 B．8 C．10 D．12【详解】解：∵C为线段的中点，故选：D．1