空间向量及其运算讲义（学生版）

1．解答空间向量有关概念问题的关键点及注意点(1)关键点：紧紧抓住向量的两个要素，即．(2)注意点：注意一些特殊向量的特性．①零向量不是，而是它的方向是任意的，且与都共线，这一点说明了共线向量不具备传递性．②单位向量方向虽然不一定相同，但它们的长度都是.③两个向量模相等，不一定是相等向量；反之，若两个向量相等，则它们不仅模相等，方向也相同.若两个向量模相等,方向相反,则它们为相反向量.2．空间向量加法、减法运算的两个技巧(1)巧用相反向量：向量减法的三角形法则是解决空间向量加法、减法的关键，灵活运用相反向量可使向量首尾相接．(2)巧用平移：利用三角形法则和平行四边形法则进行向量加、减法运算时，务必注意和向量、差向量的方向，必要时可采用空间向量的自由平移获得运算结果．3．利用数乘运算进行向量表示的技巧(1)数形结合：利用数乘运算解题时，要结合具体图形，利用三角形法则、平行四边形法则，将目标向量转化为已知向量．(2)明确目标：在化简过程中要有目标意识，巧妙运用中点性质．4.证明空间三点共线的三种思路对于空间三点P，A，B可通过证明下列结论来证明三点共线．(1)存在实数λ，使成立．(2)对空间任一点O，有(t∈R)．(3)对空间任一点O，有eq\o(OP,\s\up8(→))＝．5.解决向量共面的策略（1）若已知点P在平面ABC内，则有EQ\o(AP,\s\up8(→))＝xEQ\o(AB,\s\up8(→))＋yEQ\o(AC,\s\up8(→))或EQ\o(OP,\s\up8(→))＝xEQ\o(OA,\s\up8(→))＋yEQ\o(OB,\s\up8(→))＋zEQ\o(OC,\s\up8(→))x＋y＋z＝1，然后利用指定向量表示出已知向量，用待定系数法求出参数.（2）证明三个向量共面或四点共面，需利用共面向量定理，证明过程中要灵活进行向量的分解与合成，将其中一个向量用另外两个向量来表示.6.在几何体中求空间向量的数量积的步骤（1）首先将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式.（2）利用向量的运算律将数量积展开，转化成已知模和夹角的向量的数量积.（3）根据向量的方向，正确求出向量的夹角及向量的模.（4）代入公式a·b＝|a||b|cos〈a，b〉求解.7.用向量法证明垂直关系的步骤(1)把几何问题转化为向量问题；(2)用已知向量表示所证向量；(3)结合数量积公式和运算律证明数量积为0；(4)将向量问题回归到几何问题．8．利用向量数量积求夹角问题的思路(1)求两个向量的夹角有两种方法：①结合图形，平移向量，利用空间向量夹角的定义来求，但要注意向量夹角的范围；②先求a·b，再利用公式cos〈a，b〉＝eq\f(a·b,|a||b|)求出cos〈a，b〉的值，最后确定〈a，b〉的值．(2)求两条异面直线所成的角，步骤如下：①根据题设条件在所求的异面直线上取两个向量(即直线的方向向量)；②将异面直线所成角的问题转化为向量夹角问题；③利用数量积求向量夹角的余弦值或角的大小；④异面直线所成的角为锐角或直角，利用向量数量积求向量夹角的余弦值时应将余弦值加上绝对值，从而求出异面直线所成的角的大小．9．求两点间的距离或线段长的方法(1)将相应线段用向量表示，通过向量运算来求对应向量的模．(2)因为a·a＝|a|2，所以|a|＝eq\r(a·a)，这是利用向量解决距离问题的基本公式．另外，该公式还可以推广为|a±b|＝eq\r(a±b2)＝eq\r(a2±2a·b＋b2).(3)可用|a·e|＝|a||cosθ|(e为单位向量，θ为a，e的夹角)来求一个向量在另一个向量所在直线上的投影．1、空间向量的有关概念题1.给出下列命题：①若|a|＝|b|，则a＝b或a＝－b；②若向量a是向量b的相反向量，则|a|＝|b|；③在正方体ABCD­A1B1C1D1中，eq\o(AC,\s\up8(→))＝eq\o(A1C1,\s\up8(→))；④若空间向量m，n，p满足m＝n，n＝p，则m＝p.其中正确命题的序号是________．2、空间向量的线性运算题2.已知正四棱锥P­ABCD，O是正方形ABCD的中心，Q是CD的中点，求下列各式中x，y，z的值．①eq\o(OQ,\s\up8(→))＝eq\o(PQ,\s\up8(→))＋yeq\o(PC,\s\up8(→))＋zeq\o(PA,\s\up8(→))；②eq\o(PA,\s\up8(→))＝xeq\o(PO,\s\up8(→))＋yeq\o(PQ,\s\up8(→))＋eq\o(PD,\s\up8(→)).3、共线问题题3.设e1，e2是空间两个不共线的向量，已知eq\o(AB,\s\up8(→))＝e1＋ke2，eq\o(BC,\s\up8(→))＝5e1＋4e2，eq\o(DC,\s\up8(→))＝－e1－2e2，且A，B，D三点共线，实数k＝________.4、向量共面问题题4．已知A，B，C三点不共线，O为平面ABC外一点，若点M满足eq\o(OM,\s\up8(→))＝eq\f(1,3)eq\o(OA,\s\up8(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OB,\s\up8(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OC,\s\up8(→)).(1)判断eq\o(MA,\s\up8(→))，eq\o(MB,\s\up8(→))，eq\o(MC,\s\up8(→))三个向量是否共面；(2)判断M是否在平面ABC内．5、空间向量数量积的运算题5.如图，三棱锥A­BCD中，AB＝AC＝AD＝2，∠BAD＝90°，∠BAC＝60°，则eq\o(AB,\s\up8(→))·eq\o(CD,\s\up8(→))等于()A．－2B．2C．－2eq\r(3)D．2eq\r(3)6、利用数量积证明空间垂直关系题6.已知空间四边形OABC中，∠AOB＝∠BOC＝∠AOC，且OA＝OB＝OC，M，N分别是OA，BC的中点，G是MN的中点，求证：OG⊥BC.7、夹角问题题7.如图，在空间四边形OABC中，OA＝8，AB＝6，AC＝4，BC＝5，∠OAC