2025年线性代数小组互评版试题

2025年线性代数小组互评版试题一、行列式（共20分）1.计算题（10分）计算n阶行列式$D_n=\begin{vmatrix}2&1&1&\cdots&1\1&2&1&\cdots&1\1&1&2&\cdots&1\\vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\1&1&1&\cdots&2\end{vmatrix}$的值。2.证明题（10分）设$A$为3阶方阵，且$|A|=2$，证明：（1）$|2A^{-1}|=4$（2）$|A^|=4$，其中$A^$为$A$的伴随矩阵二、矩阵（共30分）1.计算题（15分）已知矩阵$A=\begin{pmatrix}1&2&3\2&1&2\3&2&1\end{pmatrix}$，$B=\begin{pmatrix}1&0&0\0&2&0\0&0&3\end{pmatrix}$，求：（1）$AB$和$BA$，并判断$AB$与$BA$是否相等（2）$A^{-1}$（要求用初等变换法）（3）矩阵$A$的秩$r(A)$2.应用题（15分）设矩阵$A=\begin{pmatrix}1&2&3\2&4&t\3&6&9\end{pmatrix}$，问：（1）当$t$为何值时，矩阵$A$的秩最小？最小值是多少？（2）当$t=6$时，求矩阵$A$的列向量组的一个极大线性无关组，并将其余列向量用该极大线性无关组线性表示三、n维向量与线性方程组（共35分）1.计算题（15分）设向量组$\alpha_1=(1,2,3,4)^T$，$\alpha_2=(2,3,4,5)^T$，$\alpha_3=(3,4,5,6)^T$，$\alpha_4=(4,5,6,7)^T$，求：（1）该向量组的秩（2）该向量组的一个极大线性无关组，并将其余向量用该极大线性无关组线性表示2.解答题（20分）设有线性方程组：$$\begin{cases}x_1+x_2+x_3+x_4=1\x_1+2x_2+3x_3+4x_4=5\2x_1+3x_2+4x_3+5x_4=a\3x_1+4x_2+5x_3+6x_4=b\end{cases}$$（1）当$a$，$b$为何值时，方程组无解？（2）当$a$，$b$为何值时，方程组有唯一解？并求出该唯一解（3）当$a$，$b$为何值时，方程组有无穷多解？并求出该方程组的通解（要求用其导出组的基础解系表示）四、矩阵的特征值与特征向量（共30分）1.计算题（15分）设矩阵$A=\begin{pmatrix}1&2&2\2&1&2\2&2&1\end{pmatrix}$，求：（1）矩阵$A$的特征值和特征向量（2）判断矩阵$A$是否可对角化，若可对角化，求出可逆矩阵$P$和对角矩阵$\Lambda$，使得$P^{-1}AP=\Lambda$2.证明题（15分）设$\lambda_1$，$\lambda_2$是矩阵$A$的两个不同的特征值，$\alpha_1$，$\alpha_2$分别是对应于$\lambda_1$，$\lambda_2$的特征向量，证明：（1）$\alpha_1$，$\alpha_2$线性无关（2）$\alpha_1+\alpha_2$不是矩阵$A$的特征向量五、二次型（30分）1.计算题（15分）已知二次型$f(x_1,x_2,x_3)=x_1^2+2x_2^2+3x_3^2+4x_1x_2+8x_1x_3+10x_2x_3$，求：（1）二次型$f$的矩阵$A$（2）用正交变换法将二次型$f$化为标准形，并写出所用的正交变换2.证明题（15分）证明：（1）实二次型$f(x)=x^TAx$为正定二次型的充分必要条件是矩阵$A$的各阶顺序主子式都大于零（2）设$A$是n阶正定矩阵，则$A^{-1}$也是正定矩阵六、综合应用题（20分）某工厂生产甲、乙、丙三种产品，每件产品的利润分别为10元、15元和20元。生产每件产品所需的工时和原材料如下表所示：产品工时（小时/件）原材料A（公斤/件）原材料B（公斤/件）甲231乙322丙413若工厂每天可提供的工时不超过100小时，原材料A不超过80公斤，原材料B不超过60公斤。问：（1）如何安排生产计划（即每天生产甲、乙、丙三种产品各多少件），才能使工厂每天的利润最大？（2）若原材料A的供应量增加10公斤，其他条件不变，最大利润会增加多少？（要求用线性代数的方法建模并求解，可使用MATLAB等软件进行数值计算）七、开放性探究题（20分）在机器学习中，主成分分析（PCA）是一种常用的降维方法，其核心思想是将