山东全省联考数学压轴题解析与答案

山东全省联考数学压轴题解析与答案一、函数与导数综合题（共2题，每题12分）第1题（12分）已知函数f(x)=x³-ax²+bx+1在x=1处取得极值，且其图像在点(2,f(2))处的切线与直线y=x平行。（1）求实数a，b的值；（2）讨论函数f(x)的单调性；（3）若对于任意x₁∈(0,3)，总存在x₂∈(-1,1)，使得f(x₁)+f(x₂)≥4成立，求实数a的取值范围。答案与解析（1）由f(x)在x=1处取得极值，得f'(1)=0，即3-2a+b=0①；由f(x)在x=2处的切线斜率为1，得f'(2)=1，即12-4a+b=1②。联立①②解得a=2，b=-1。经检验，a=2，b=-1时，f(x)在x=1处取得极大值。（2）f(x)=x³-2x²-x+1，f'(x)=3x²-4x-1=(3x+1)(x-1)。当x∈(-∞,-1/3)或(1,+∞)时，f'(x)>0，f(x)单调递增；当x∈(-1/3,1)时，f'(x)<0，f(x)单调递减。（3）由f(1)=-1，f(3)=1，得f(x₁)∈[-1,+∞)。要使f(x₁)+f(x₂)≥4对任意x₁∈(0,3)恒成立，需f(x₂)min≥4-f(x₁)max=3。当x₂∈(-1,1)时，f(x₂)=x³-2x²-x+1，f'(x₂)=3x²-4x-1。令f'(x₂)=0得x₂=-1/3或x₂=1（舍）。当x₂∈(-1,-1/3)时，f'(x₂)>0，f(x₂)单调递增；当x₂∈(-1/3,1)时，f'(x₂)<0，f(x₂)单调递减。故f(x₂)max=f(-1/3)=25/27<3，不满足条件。当a≥2时，f(x)在(0,3)上单调递增，f(x₁)max=f(3)=1<3，不满足条件。当a<2时，设f(x)在x₀处取得极大值f(x₀)，则x₀∈(1,3)。需f(x₀)≥3，即x₀³-ax₀²-x₀+1≥3，整理得x₀³-(a+1)x₀²-x₀-2≥0。令g(x)=x³-(a+1)x²-x-2，g'(x)=3x²-2(a+1)x-1。由g'(x₀)=0得x₀=(a+1±√(a²+6a))/3。当x₀∈(1,3)时，需g(x₀)≥0，经计算得a≤-4。第2题（12分）定义在R上的函数f(x)满足f(x+1)=2f(x)+1，且f(0)=1。（1）求f(x)的解析式；（2）证明：对任意x₁,x₂∈R，x₁<x₂，都有f(x₁)<f(x₂)²成立；（3）若数列{a_n}满足a₁=1，a_n=f(n)-f(n-1)，求数列{a_n}的前n项和S_n。答案与解析（1）f(x+1)-f(x)=2f(x)+1-f(x)=f(x)+1，f(x+2)-f(x+1)=f(x+1)+1=2f(x)+2，f(x+2)-f(x)=3f(x)+2。由f(1)=2f(0)+1=3，得f(2)=3f(1)+2=11。猜想f(x)=2^x-1，用数学归纳法证明：①当x=0时，f(0)=1=2^0-1成立；②假设x=k时成立，即f(k)=2^k-1，则f(k+1)=2f(k)+1=2(2^k-1)+1=2^(k+1)-1，即x=k+1时成立。故f(x)=2^x-1。（2）设x₁<x₂，f(x₂)²-f(x₁)=(2^x₂-1)²-(2^x₁-1)²=(2^x₂-2^x₁)(2^x₂+2^x₁-1)。由x₁<x₂得2^x₂>2^x₁>0，且2^x₂+2^x₁-1>0，故f(x₂)²-f(x₁)>0，即f(x₁)<f(x₂)²。（3）a_n=f(n)-f(n-1)=2^n-1-(2^(n-1)-1)=2^(n-1)。S_n=1+2+2^2+...+2^(n-1)=2^n-1。二、解析几何与数列综合题（共1题，12分）第1题（12分）已知椭圆C：x²/a²+y²/b²=1(a>b>0)的离心率为√2/2，其右焦点F恰为抛物线y²=2px(p>0)的焦点。（1）求椭圆C的方程；（2）过点F的直线l与椭圆C交于A，B两点，且|AF|=2|FB|，求直线l的方程；（3）若点P在椭圆C上运动，求|PF|+|PA|的最小值。答案与解析（1）由e=c/a=√2/2，得a=√2c；由F(c,0)为抛物线y²=2px的焦点，得p=2c。由b²=a²-c²，得b²=a²/2-c²=c²/2，即a=√2c，b=c/√2。取a=√2，b=1，则c=1，椭圆C的方程为x²/2+y²=1。（2）由|AF|=2|FB|，设A(x₁,y₁)，B(x₂,y₂)，则x₁=2x₂+1。联立方程组：①x²/2+y²=1；②y=k(x-1)。消去y得(1+2k²)x²-4k²x+2k²-2=0。由x₁+x₂=4k²/(1+2k²)，x₁x₂=(2k²-2)/(1+2k²)，代入x₁=2x₂+1解得k=±√3/3。故直线l的方程为y=±√3/3(x-1)。（3）设A(x₀,y₀)，P(x,y)，由椭圆对称性，不妨设x₀>0，y₀>0。|PF|²=(x-1)²+y²=x²-2x+1+1-x²/2=3/2-2x+1=5/2-2x。|PA|²=(x-x₀)²+(y-y₀)²=x²-2xx₀+x₀²+y²-2yy₀+y₀²=3/2-2x-2xx₀+x₀²+y₀²。|PF|+|PA|≥√(|PF|²+|PA|²