第12章 函数与一次函数（复习课件）-沪科版(2024)八上

单元复习课件

第12章函数与一次函数

沪科版2024·八年级上册学习内容导览单元知识图谱2单元复习目标13考点串讲针对训练5题型剖析46课堂总结1.学生通过本单元学习，能理解函数的概念，掌握一次函数的图象与性质，并能初步运用函数思想分析和解决简单的实际问题。3.理解函数概念中“唯一确定”的对应关系，以及数形结合思想的建立（即将解析式、表格与图象进行相互转化的能力）。2.一次函数的图象特征及其性质（特别是斜率k与截距b对图象的影响）。常量与变量函数与一次函数自变量的取值范围定义一次函数函数值函数一元一次不等式二元一次方程组表示法

图像与性质与三个“一次”的联系实际应用一元一次方程利用一次函数解决问题解析法图像法列表法考点一、

函数的认识变量1.变量:在一个变化过程中，数值发生变化的量称为_______。2.常量:在一个变化过程中，数值始终不变的量称为______.3.函数的定义:一般的，在一个变化过程中，如果有两个变量x和y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就把x称为__________，把y称为_______，y是x的函数常量自变量因变量考点二、

函数的定义域和解析式2.确定函数定义域的方法:(1)关系式为整式时，函数定义域为__________:(2)关系式含有分式时，分式的分母___________:(3)关系式含有二次根式时，被开放方数___________:(4)实际问题中，函数定义域还要和实际情况相符合，使之有意义。全体实数​不等于零大于等于零考点二、

函数的定义域和解析式1.函数的解析式:用含有表示自变量的字母的代数式表示因变量的式子叫做函数的_______________.解析式​列表法图像法2.函数的表示方法:(1)把自变量x的一系列值和函数y的对应值列成一个表,这种表示函数关系的方法叫做__________(2)用图像来表示函数关系的方法叫做___________(3)表示两个变量之间函数关系的式子称为函数解析式,用函数解析式表示函数的方法叫做_________解析法

​正比例函数的定义:一般地，形如________(k为常数，k≠0)的函数，叫做正比例函数，其中k叫做比例系数y=kx​考点三、

正比例函数的定义和性质原点(0，0)​2.正比例函数的图像:正比例函数v=kx(k≠0)的图像是经过______________的一条直线.考点四、

正比例函数的性质增大

k的符号图像图像的位置

增减性k>0yox

图像经过原点和第二、三象限y随x增大而_____k<0yox图像经过原点和第二、四象限y随x增大而______减小考点四、函数的定义与性质1.一次函数的定义:一般地，形如__________(k，b是常数，k≠0)的函数，叫做一次函数2.一次函数的图像:一次函数y=kx+b(k≠0)的图像是___________，通常也称直线y=kx+b.y=kx+b一条直线考点四、函数的定义与性质一次函数y=kx+bk、b的符号

k>0k<0b>0b=0b<0b>0

b=0b<0

图象yxyxyyxyxyx增减性y随x增大而_____y随x增大而______增大减小考点五、函数与方程1.一次函数与一元一次方程:由于任何一个一元一次方程可以转化为y=kx+b(k，b是常数，k≠0)的形式，所以解一元一次方程可以转化为:当某个一次函数的值为_____时，求自变量的值.2.一次函数与二元一次方程组:一般地,二元一次方程mx+ny=p(m,",p是常数,且m≠0,n≠0)都能写成y=ax+b(a,b为常数,且a≠0)的形式，因此，一个二元一次方程对应两个__________，又因为一个一次函数对应一条直线，进一步可知，一个二元一次方程组对应两个一次函数，因而也对应两条直线.0一次函数例1：

题型一、函数的认识C解析：一根蜡烛原长12厘米,点燃t分钟后,剩余蜡烛的长为n厘米,则在这个变化过程中,12是常量,t,n是变量,故选项C符合题意.

一根蜡烛原长12厘米,点燃t分钟后,剩余蜡烛的长为n厘米,则在这个变化过程中,下列判断正确的是

()A.t是常量

B.12是变量C.t是变量

D.n是常量题型一、函数的认识第一关键点：明确定义域

“自变量x的取值范围”是否明确？第二关键点：检验“任意性”

对于定义域内的“每一个”x，是否都有对应关系第三关键点：检验“唯一性”

对于定义域内的“每一个”x，其对应的y值是否是“唯一确定”的变式：

题型一、函数的认识

如图,把两根木条AB,AC的一端用螺栓A固定在一起,木条AB可自由转动,在转动过程中,下列量为常量的是

()

A.∠BAC的度数

B.AB的

C.

BC的长

D.△ABC的面积解析

:把两根木条的一端用螺栓固定在一起,木条可自由转

动.在转动过程中,AB的长度为常量,故选B.B题型二、正比例函数的定义例2：解析:正比例函数的定义是

𝑦=𝑘𝑥，其中

𝑘为常数且

𝑘≠0，即函数没有常数项。给定函数

𝑦=−2𝑥+𝑚−3，要使其成为正比例函数，常数项

𝑚−3必须为零。因此，有

𝑚−3=0，解得

𝑚=3

D若函数y=-2x+m-3是关于x的正比例函数,则m的值是(

)A.-3 B.1 C.2 D.3题型二、正比例函数定义首先，判断函数关系是否可表示为

𝑦=𝑘𝑥的形式，其中

𝑘是常数且

𝑘≠0。其次，验证当

𝑥=0时，𝑦是否也为0，因为正比例函数必须经过原点。最后，确保

𝑦与

𝑥的比值恒定。

题型二、正比例函数的定义变式：

解析:正方形的周长y与边长x的关系为y=4x，符合y=kx的形式

（k=4），因此是正比例函数关系。下列选项中的y与x为正比例函数关系的是(

A

)A.正方形的周长ycm与它的边长xcm的关系

B.圆的面积ycm2与半径xcm的关系

C.若直角三角形中一个锐角的度数为x,则另一个锐角的度数y与x之间的关系

D.一棵树的高度为60cm,每个月长高3cm,x个月后这棵树的高度为ycm

D

题型三、正比例函数的图象与性质例3：解析

：在正比例函数

𝑦=𝑘𝑥（其中

𝑘>0）中，𝑦与

𝑥的变化方向相同，当x增大时，y也增大；𝑦=𝑘𝑥（其中

𝑘<0）当增大时，y也减小正比例函数y=kx的图象经过定点(0,

),当k>0时,函数的图象自左向右是

的,y随x的增大而

;当k<0时,函数的图象自左向右是

的,y随x的增大而

.

0

上升

增大

下降

减小

题型三、正比例函数的图象与性质1.图象是一条过原点的直线：这是判断一个函数是否为正比例函数的直观依据。2.“k”值决定走向与陡缓：比例系数k（即斜率）是关键。k>0，直线过一、三象限，y随x增大而增大；k<0，直线过二、四象限，y随x增大而减小。|k|越大，直线越陡。3.任意点坐标比恒定变式：题型三、正比例函数的图象与性质已知正比例函数y=(1-2a)x.(1)若点A(x1,y1)和点B(x2,y2)为函数图象上的两点,且x1<x2,y1>y2,求a的取值范围.(2)若函数的图象经过点(-1,2).①求此函数的表达式;②如果x的取值范围是-1≤x≤5,求y的取值范围.变式：题型三、正比例函数的图象与性质解析

②由①得y=-2x,当x=-1时,y=2;当x=5时,y=-10,所以y的取值范围为-10≤y≤2.题型四、函数的表示方法

——列表法、解析法例4：某道路安装的护栏的示意图如图所示,每根立柱宽为0.2米,立柱间距为3米,设有x根立柱,护栏总长度为y米,则y与x之间的关系式为________________.

y=3.2x-3

解析

由题意得y与x之间的关系式为y=(0.2+3)x-3=3.2x-3.

题型四、函数的表示方法

——列表法、解析法1.列表法重在看对应，由特定点找规律：列表法直观呈现有限的自变量与函数值对应关系。2.解析法重在代数值，由一般式求具体：解析法抽象但精确地描述了函数整体关系。解题时，核心是利用已知的x值代入解析式求y，或利用已知的(x,y)对应值代入以确定解析式中的待定参数（如y=kx中的k）。变式：题型四、函数的表示方法

——列表法、解析法李大爷要围成一个长方形菜园,菜园的一边利用足够长的

墙,用篱笆围成的另外三边总长恰好为24m,要围成的菜园是

如图所示的长方形ABCD.设BC边的长为xm,AB边的长为ym,

则y与x之间的函数关系式为________________,其中x的取值范围是______________.

y=- x+12

0<x<24

变式：解析

由题意可得2y+x=24,整理可得y与x之间的函数关系式

为y=-

x+12,根据实际意义可得

代入可得

解得0<x<24.故答案为y=-

x+12;0<x<24.题型四、函数的表示方法

——列表法、解析法题型五、例5：一次函数的图象与性质已知一次函数y=(2m+3)x+m-1.(1)若函数图象在y轴上的截距为-3,求m的值.(2)若函数图象平行于直线y=x+1,求m的值.(1)因为函数图象在y轴上的截距为-3,所以当x=0时,y=-3,即m-1=-3,解得m=-2.因为函数图象平行于直线y=x+1,所以2m+3=1,解得m=-1.解析

例5：(3)因为该函数图象不经过第二象限,

(3)若该函数图象不经过第二象限,求m的取值范围.已知一次函数y=(2m+3)x+m-1.题型五、一次函数的图象与性质1.“k”定方向，“b”定交点：斜率k决定直线的倾斜方向（k>0上升，k<0下降）及陡缓程度；截距b决定直线与y轴的交点位置(0,b)。

题型五、一次函数的图象与性质2.图象恒为一直线，两点（或一点一“k”）可确定一次函数的图象是一条直线。作图象或求解析式时，只需找到两个点（通常是与坐标轴的交点或已知点），或已知一个点和k的值，即可唯一确定。变式：如图,已知直线y1=kx+b经过点A(-6,0),B(-1,5),直线y2=-2x+a与直线AB相交于点M,与x轴交于点D,点M的横坐标为-3.(1)根据图象,直接写出当kx+b<-2x+a时,x的取值范围.(2)求直线AB的表达式和a的值.

题型五、一次函数的图象与性质变式：解析

解:(1)由图象可知,当kx+b<-2x+a时,x的取值范围为x<-3.

所以直线AB的表达式为y1=x+6.把x=-3代入y1=x+6,得y=3,所以点M的坐标为(-3,3).把(-3,3)代入y2=-2x+a,得a=-3.题型五、一次函数的图象与性质变式：解析

(3)设点P(m,m+6).

解得m=6或-18.所以P(6,12)或(-18,-12).题型五、一次函数的图象与性质例6：题型六、用待定系数法求一次函数的表达式已知一次函数y=kx+b的图象与直线y=-2x+1平行,且经过点(-1,5).(1)求该一次函数的表达式.解析:(1)因为一次函数y=kx+b的图象平行于直线

y=-2x+1,所以k=-2.因为经过点(-1,5),所以5=2+b,解得b=3,所以该一次函数的表达式为y=-2x+3.例6：题型六、用待定系数法求一次函数的表达式(2)因为点N(a,b)在y=-2x+3的图象上,所以b=-2a+3,

所以点N的坐标为(3,-3).已知一次函数y=kx+b的图象与直线y=-2x+1平行,且经过点(-1,5).(2)若点N(a,b)在(1)中所求的函数的图象上,且a-b=6,求点N的坐标.1.设：根据题意设出含未知系数的表达式明确所求为一次函数，直接设出其一般形式

𝑦=𝑘𝑥+𝑏2.代：将已知点的坐标代入所设解析式根据图象上点的坐标3.解：解方程组求出未知系数，并还原解析式求解列出的方程组，确定

𝑘和

𝑏的值，最后将其代回所设的解析式中，即可得到函数的具体表达式。题型六、用待定系数法求一次函数的表达式变式：题型六、用待定系数法求一次函数的表达式如图,线段MN两个端点的坐标分别为M(1,3),N(1,1),一次函数y=kx+b的图象经过点(4,0)和(0,-3).求一次函数y=kx+b的表达式.解析:(1)把点(4,0)和(0,-3)代入y=kx+b,

例7：题型七、函数的表示方法——图象法C“五岳归来不看山,黄山归来不看岳”中的黄山是中国十大风景名胜唯一的山岳风光,也是国家5A级旅游景区.五一假期,亚男一家从家出发自驾前往黄山游玩,经过服务区时,休息一段时间后继续驶往目的地,汽车行驶路程y(千米)与汽车行驶时间x(分钟)之间的函数关系如图所示.下列说法不正确的是

()A.他们出发80分钟后到达服务区B.他们在服务区休息了20分钟C.亚男家距离黄山350千米D.在服务区休息前的速度比休息后的快例7：题型七、函数的表示方法——图象法解析：由题意可知,他们出发80分钟后到达服务区,故选项A

说法正确,不合题意;他们在服务区休息了100-80=20(分钟),故

选项B说法正确,不合题意;由题意可知,亚男家距离黄山225千

米,故C选项说法错误,符合题意;在服务区休息前,80分钟行驶

了125千米,服务区休息后,100分钟才行驶了100千米,所以在

服务区休息前的速度比休息后快,故选项D说法正确,不合题

意.故选C.题型七、函数的表示方法——图象法1.看图识性：观察图象的整体趋势、形状以及关键点，从而快速判断函数的增减性、对称性等基本性质。2.找对应，求精确值根据图象上点的坐标，直接读取或计算所需的函数值。3.数形结合：用图象，解方程式或不等式变式：题型七、函数的表示方法——图象法如图,一个圆柱体水槽底部叠放两个底面半径不等的实心圆柱体,向水槽匀速注水.下列图象能大致反映水槽中水的深度h与注水时间t的函数关系的是()

A

B

C

D

D

变式：题型七、函数的表示方法——图象法解析从题图来看,可分成3段进行分析,下层实心圆柱体底面

半径大,水面上升快,上层实心圆柱体底面半径稍小,所以水没

过下层圆柱后水面上升变慢,当水没过上层圆柱后,水面上升

更慢,所以对应的图象是第一段比较陡,第二段比第一段缓,第

三段比第二段缓.故选D.题型八、一次函数与一次方程、一次不等式例8：作出一次函数y=2x+1的图象,利用图象,直接写出:(1)方程2x+1=0的解.

(2)不等式2x+1≥0的解集.

(3)当y<3时,x的取值范围.题型八、一次函数与一次方程、一次不等式例8：

(3)过y轴上的点(0,3)作平行于x轴的直线l,交一次函数y=2x+1于点P,交点P的坐标为(1,3),当y<3时,它所对应的图象为直线l下方的部分,此时x的取值范围是x<1.1.方程的解是图象与x轴的交点：一次方程

𝑘𝑥+𝑏=0的解，即为一次函数

𝑦=𝑘𝑥+𝑏的图象与

𝑥轴交点的横坐标。题型八、一次函数与一次方程、一次不等式2.不等式的解集由图象在x轴上方或下方的区间决定。3.函数值比较看图象高低。变式：题型八、一次函数与一次方程、一次不等式如图,函数y=kx+b(k<0)的图象经过点P,则关于x的不等式kx+b>3的解集为

x<-1

.

x<-1

解析：根据函数

𝑦=𝑘𝑥+𝑏（其中

𝑘<0）的图象经过点

𝑃，且点

𝑃的坐标为(−1,3)，即当

𝑥=−1时，𝑦=3。由于

𝑘<0，函数为递减函数。对于不等式

𝑘𝑥+𝑏>3，当

𝑥<−1时，函数值大于3。因此，不等式的解集为

𝑥<−1。题型九、二元一次方程与一次函数的关系例9：c如图,已知一次函数y=ax+b和y=kx的图象交于点P,则根据图象可得关于x,y的二元一次方程组

的解是

(

)A.

B.

C.

D.

例9：解析：∵一次函数y=ax+b和y=kx的图象交于点P(-3,1),∴二元一次方程组

的解为

故选C.

题型九、二元一次方程与一次函数的关系题型九、二元一次方程与一次函数的关系1.改写方程的形式：每个二元一次方程（如ax+by=c）都可以改写为一次函数形式（如y=kx+b）。方程每一组解(x,y)就是这个一次函数图象上的一个点。2.方程组解是交点坐标，图象位置定解的个数。两个二元一次方程组成的方程组，其解在几何上就是两个对应一次函数图象交点的坐标。变式：题型九、二元一次方程与一次函数的关系如图,直线l1,l2的交点坐标可以看成

方程组_________的解.解析:由题图可知,直线l1经过点(-1,0)和(0,1),直线l2经过点(0,-1)和(2,3),∴直线l1的解析式为y=x+1,直线l2的解析式为y

=2x-1,∴直线l1,l2的交点坐标可以看成方程组

的解.例10：题型十、一次函数的实际应用某校科技节上,同学们在操场进行无人机表演,其中甲、乙两架无人机离操场地面的高度y(单位:米)与表演时间x(单位:秒)的图象如图所示.已知表演开始时甲、乙离地的高度分别是5米、15米,在1分钟的表演过程中甲、乙两架无人机的高度差不超过5米的时间可持续_________秒.

20

例10：题型十、一次函数的实际应用解析：设y甲=k1x+b1(k1≠0),将(0,5),(20,60)分别代入,得

解得

则y甲=2.75x+5.设y乙=k2x+b2(k2≠0),将(0,15),(20,60)分别代入,得

解得

则y乙=2.25x+15.当0<x<20时,y乙-y甲=5,即2.25x+15-2.75x-5=5,解得x=10.当x>20时,y甲-y乙=5,即2.75x+5-2.25x-15=5,解得x=30,即在1

分钟的表演过程中甲、乙两架无人机的高度差不超过5米的

时间可持续30-10=20(秒).1.明确变量，建立模型：从实际问题中精准识别出自变量（x）和因变量（y），并依据题意建立函数解析式

。题型十、一次函数的实际应用2.利用图象或方程解决特定问题：将求值、比较、最优解等实际问题转化为函数问题。变式：题型十、一次函数的实际应用书法是中华民族的文化瑰宝,是我国基础教育的重要内容.某校为准备举行现场书法大赛,要在某超市购买一批毛笔和宣纸,每支毛笔的价格为19元,每张宣纸的价格为3.6元,该校准备购买毛笔600支,购买宣纸x张(x>600),该超市给出以下两种优惠方案.方案A:购买一支毛笔,赠送一张宣纸;方案B:毛笔不打折,但购买的宣纸超出600张的部分打八折.设方案A的总费用为y1元,方案B的总费用为y2元.(1)请分别求出y1,y2与x之间的函数关系式.(2)若该校准备购买宣纸5000张,则选择哪种方案更划算?请说明理由.变式：题型十、一次函数的实际应用解析：(1)由题意可得,y1=19×600+3.6×(x-600)=3.6x+9240(x>600),y2=19×600+3.6×600+3.6(x-600)×0.8=2.88x+11832(x>600).(2)若该校准备购买宣纸5000张,则选择方案B更划算.理由如下:当x=5000时,y1=3.6x+9240=27240(元),y2=2.88x+11832=26232(元).∵26232<27240,∴y2<y1,∴若该校准备购买宣纸5000张,则选择方案B更划算.1．

解析

当水波扩大时，半径r变化，圆周长C也随之变化，因此r和C是变量。而2和π是数学常数，因此是常量。

C水中涟漪(圆形水波)不断扩大,记它的半径为r,则圆周长C与r的关系式为C=2πr.下列说法中正确的是(

C

)A.2是变量 B.π是变量 C.r是变量 D.C是常量2．解析:B随着人们生活质量的提高和健康观念的转变,越来越多的人开始注重体型,健身减肥也成了热门话题.体重70kg的小颖做了一个可行的“瘦身规划”,计划平均每天减掉0.2kg,x(x<30)天后的体重为ykg,则y与x的关系式为

()A.y=0.2x

B.y=70-0.2xC.y=0.2x-70

D.y=0.2x+70∵小颖计划平均每天减掉0.2kg,∴x(x<30)天后减掉的体重为0.2xkg,故y与x的关系式为y=70-0.2x.

3.解析

若点(-4,y1),(2,y2)都在直线y=-

x+t上,则y1与y2的大小关系是

()A.y1>y2

B.y1=y2C.y1<y2

D.无法确定

∵一次函数y=-

x+t中,k=-

<0,∴y随x的增大而减小.∵-4<2,∴y1>y2.

A

4．

声音在空气中传播的速度简称声速,实验测得声速与气温的一些数据如下表:气温x/℃05101520声速y/(米/秒)331334337340343则用x表示y的关系式为________________.

y= x+331

解析:由题表易知,当气温为0℃时,声速为331米/秒,气温每升高5℃,声速增加3米/秒,则y=331+

=

x+331.5．

一次函数y=x+1的图象经过点(a,-2),则a的值为_______;当x>-3时,对于x的每一个值,函数y=mx-1(m≠0)的值都

小于函数y=x+1的值,则m的取值范围是_____________.

-3

≤m≤1

5．

解析∵一次函数y=x+1的图象经过点(a,-2),∴a+1=-2,∴a=-3.对于y=mx-1,当x=0时,y=-1,∴函数y=mx-1的图象过定点(0,-1).当x=-3时,y=x+1=-3+1=-2.若函数y=mx-1的图象过(-3,-2),则-2=-3m-1,此时m=

.

如图:

6．

某公交车每天的支出费用为600元,每天的乘车人数x与利润y(元)之间的关系如表所示(每位乘客的乘车票价固定不变,利润=票款收入-支出费用):x…200250300350400…y/元…-200-1000100200…根据表格中的数据,回答下列问题:(1)_______________是自变量.(2)观察表中数据可知,当每天的乘车人数不少于___________时,

该公交车才不会亏损.(3)请写出公