2025考研信号与系统冲刺押题试卷及答案

2025考研信号与系统冲刺押题试卷及答案考试时间：______分钟总分：______分姓名：______一、选择题1.下列哪个信号是偶信号？A.$e^{-t}$B.$t^2$C.$\sin(t)$D.$t\cos(t)$2.单位阶跃信号$u(t)$的傅里叶变换是：A.$\delta(\omega)$B.$\frac{1}{j\omega}$C.$\frac{1}{1+j\omega}$D.$\frac{1}{1-\omega^2}$3.若系统的输入信号为$x(t)$，输出信号为$y(t)$，且满足$y(t)=x(2t-1)$，则该系统是：A.时不变系统B.线性系统C.非因果系统D.因果系统4.信号$x(t)=\cos(10\pit)+\sin(20\pit)$的周期是：A.$\frac{1}{10}$B.$\frac{1}{20}$C.$\frac{1}{5}$D.$\frac{1}{2}$5.已知信号$x(t)$的傅里叶变换为$X(j\omega)$，则信号$y(t)=x(t)*u(t)$的傅里叶变换为：A.$X(j\omega)U(j\omega)$B.$X(j\omega)\frac{1}{j\omega}$C.$X(j\omega)+U(j\omega)$D.$X(j\omega)\frac{1}{1+j\omega}$6.下列哪个变换式是拉普拉斯变换？A.傅里叶变换B.Z变换C.拉格朗日变换D.哈密顿变换7.系统函数$H(s)=\frac{s+1}{s^2+3s+2}$的极点为：A.$-1,-2$B.$1,2$C.$-1,2$D.$1,-2$8.已知系统的微分方程为$y''(t)+3y'(t)+2y(t)=x(t)$，则该系统的特征方程为：A.$s^2+3s+2=0$B.$s^2-3s-2=0$C.$s^2+2s-3=0$D.$s^2-2s+3=0$9.已知信号$x(t)$的拉普拉斯变换为$X(s)=\frac{1}{s+1}$，则信号$y(t)=e^{-2t}x(t)$的拉普拉斯变换为：A.$\frac{1}{(s+1)(s+2)}$B.$\frac{1}{s+3}$C.$\frac{1}{s-1}$D.$\frac{1}{(s-1)(s-2)}$10.采样定理的表述是：A.任何信号都可以用其样本唯一表示B.任何信号都可以用其有限个样本唯一表示C.为了避免失真，采样频率必须大于信号最高频率的两倍D.采样频率必须小于信号最高频率的一半二、填空题1.若信号$x(t)$的傅里叶变换为$X(j\omega)$，则信号$y(t)=t^2x(t)$的傅里叶变换为________。2.系统函数$H(s)=\frac{s}{s+1}$表示的系统是________系统。3.已知信号$x(t)=u(t)-u(t-1)$，则其能量为________。4.已知信号$x(t)$的拉普拉斯变换为$X(s)=\frac{1}{s+1}$，则其反拉普拉斯变换为________。5.若系统的输入信号为$x(t)$，输出信号为$y(t)$，且满足$y(t)=\int_{-\infty}^{t}x(\tau)d\tau$，则该系统是________系统。6.已知信号$x(t)=\cos(2\pit+\pi/4)$，则其相位为________。7.傅里叶变换的对称性是指：若$x(t)$的傅里叶变换为$X(j\omega)$，则$X(jt)$的傅里叶变换为________。8.已知系统的微分方程为$y''(t)+4y(t)=x(t)$，则该系统的固有频率为________。9.拉普拉斯变换的收敛域是指使拉普拉斯变换存在的________区域。10.对信号进行理想采样后，为了恢复原信号，需要使用________滤波器。三、计算题1.已知信号$x(t)=e^{-t}u(t)$，求其傅里叶变换。2.已知系统函数$H(s)=\frac{s+2}{s^2+3s+2}$，求该系统的单位阶跃响应。3.已知信号$x(t)=\sin(10\pit)$，对其进行理想采样，采样频率为$f_s=30Hz$，求采样后信号的频谱。4.已知系统的微分方程为$y''(t)+5y'(t)+6y(t)=x(t)$，求该系统的冲激响应。5.已知信号$x(t)=e^{-t}u(t)$，求其在$s$域的拉普拉斯变换。四、分析题1.证明线性时不变系统的卷积特性，即若$y_1(t)=x(t)*h_1(t)$，$y_2(t)=x(t)*h_2(t)$，则$y(t)=a_1y_1(t)+a_2y_2(t)=x(t)*(a_1h_1(t)+a_2h_2(t))$，其中$a_1,a_2$为常数。2.试分析理想低通滤波器的特性，并说明其为何无法完全避免混叠现象。3.解释什么是系统的稳定性，并说明线性时不变系统稳定的充要条件。4.比较傅里叶变换、拉普拉斯变换和Z变换的异同，并说明它们各自的应用领域。5.试讨论信号时域分析和频域分析的关系，并举例说明如何利用频域分析解决时域分析难以解决的问题。试卷答案一、选择题1.B2.A3.C4.C5.B6.B7.A8.A9.A10.C二、填空题1.$(j\omega)^2X(j\omega)$2.一阶惯性3.14.$e^{-t}u(t)$5.积分6.$\pi/4$或$45^\circ$7.$x(-t)$8.$\sqrt{2}$9.复频域10.低通三、计算题1.解析思路:利用傅里叶变换的定义式$X(j\omega)=\int_{-\infty}^{\infty}x(t)e^{-j\omegat}dt$，将$x(t)=e^{-t}u(t)$代入，利用单位阶跃函数的性质和指数函数的积分公式进行计算。答案:$X(j\omega)=\frac{1}{1+j\omega}$2.解析思路:首先将系统函数$H(s)$进行部分分式展开，然后分别求每一项的反拉普拉斯变换，最后将结果相加得到单位阶跃响应$g(t)$。答案:$g(t)=(1-e^{-2t})u(t)$3.解析思路:首先求出信号$x(t)$的傅里叶变换$X(j\omega)$，然后根据采样定理，将$X(j\omega)$频谱进行周期延拓，并分析采样后信号的频谱结构。答案:采样后信号的频谱是基波频率为$15Hz$的周期性频谱，包含$-15Hz$到$15Hz$的频率成分。4.解析思路:首先将系统函数$H(s)$进行部分分式展开，然后分别求每一项的反拉普拉斯变换，最后将结果相加得到冲激响应$h(t)$。答案:$h(t)=(e^{-2t}-e^{-3t})u(t)$5.解析思路:利用拉普拉斯变换的定义式$X(s)=\int_{0}^{\infty}x(t)e^{-st}dt$，将$x(t)=e^{-t}u(t)$代入，利用指数函数的积分公式进行计算。答案:$X(s)=\frac{1}{s+1}$四、分析题1.解析思路:利用线性时不变系统的性质，分别证明线性特性和时不变性，然后将两者结合即可证明卷积特性。答案:略2.解析思路:首先说明理想低通滤波器的频率响应特性，然后分析采样信号在通过理想低通滤波器时，若采样频率不足，不同频率成分的频谱会发生重叠，导致混叠现象。答案:略3.解析思路:首先定义系统的稳定性，然后利用系统函数的极点位置判断系统的稳定性，并给出线性时不变系统稳定的充要