函数的概念与基本初等函数多选题单元学能测试试题

函数的概念与基本初等函数多选题单元学能测试试题一、函数的概念与基本初等函数多选题1．设函数是定义在区间上的函数，若对区间中的任意两个实数，都有则称为区间上的下凸函数.下列函数中是区间上的下凸函数的是（）A． B．C． D．【答案】ACD【分析】根据函数的解析式，求得，可判定A正确；根据特殊值法，可判定B不正确；根据函数的图象变换，结合函数的图象，可判定C、D正确.【详解】对于A中，任取且，则，，可得，满足，所以A正确；对于B中，取，则，可得，所以，，此时，不符合题意，所以B不正确；对于C中，函数，由幂函数的图象向上移动5个单位，得到函数的图象，如图所示，取且，由图象可得，，因为，所以，符合题意，所以是正确的；对于D中，函数由函数的图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位，得到的图象，如图所示，取且，由图象可得，，因为，所以，符合题意，所以是正确的；【点睛】本题主要考查了函数的新定义及其应用，其中解答中正确理解函数的新定义，以及结合函数的图象求解是解答的关键，着重考查了数形结合法，以及推理与运算能力，属于中档试题.2．已知函数，下列关于函数的结论正确的为（）A．在定义域内有三个零点 B．函数的值域为C．在定义域内为周期函数 D．图象是中心对称图象【答案】ABD【分析】将函数变形为，求出定义域，结合导数求函数的单调性即可判断BC，由零点存在定理结合单调性可判断A，由可求出函数的对称点，即可判断D.【详解】解：由题意知，，定义域为，，所以函数在定义域上单调递增，C不正确；当时，，则上有一个零点，当时，，所以在上有一个零点，当时，，所以在上有一个零点，当，，所以在定义域内函数有三个零点，A正确；当，时，，当时，，又函数在递增，且在上有一个零点，则值域为R，B正确；，所以，所以函数图象关于对称，D正确；故选:ABD.【点睛】结论点睛:1、与图象关于x轴对称；2、与图象关于y轴对称；3、与图象关于轴对称；4、与图象关于轴对称；5、与图象关于轴对称.3．下列说法中，正确的有（）A．若，则B．若，，，则的最小值为C．己知，且，则实数的取值范围为D．已知函数在上是增函数，则实数的取值范围是【答案】BCD【分析】利用不等式的基本性质可判断A选项的正误；将与相乘，展开后利用基本不等式可判断B选项的正误；判断函数的单调性与奇偶性，解不等式可判断C选项的正误；利用复合函数法可得出关于实数的不等式组，解出的取值范围，可判断D选项的正误.【详解】对于A选项，，则，A选项错误；对于B选项，，，，，当且仅当时，等号成立，所以，的最小值为，B选项正确；对于C选项，函数的定义域为，任取、且，则，所以，，即，所以，函数为上的减函数，，则，所以，函数为上的奇函数，且为减函数，由可得，所以，，即，解得，C选项正确；对于D选项，对于函数，令，由于外层函数为增函数，则内层函数在上为增函数，所以，解得，D选项正确.故选：BCD.【点睛】方法点睛：利用函数的奇偶性与单调性求解抽象函数不等式，要设法将隐性划归为显性的不等式来求解，方法是：（1）把不等式转化为；（2）判断函数的单调性，再根据函数的单调性把不等式的函数符号“”脱掉，得到具体的不等式（组），但要注意函数奇偶性的区别.4．已知正数，满足，则（）A． B．C． D．【答案】AC【分析】令，根据指对互化和换底公式得：，再依次讨论各选项即可.【详解】由题意，可令，由指对互化得：，由换底公式得：，则有，故选项B错误；对于选项A，，所以，又，所以，所以，故选项A正确；对于选项C､D，因为，所以，所以，所以，则，则，所以选项C正确，选项D错误；故选：AC.【点睛】本题考查指对数的运算，换底公式，作差法比较大小等，考查运算求解能力，是中档题.本题解题的关键在于令，进而得，再根据题意求解.5．对，表示不超过的最大整数．十八世纪，被“数学王子”高斯采用，因此得名为高斯函数，人们更习惯称为“取整函数”，则下列命题中的真命题是（）A．B．C．函数的值域为D．若，使得同时成立，则正整数的最大值是5【答案】BCD【分析】由取整函数的定义判断，由定义得，利用不等式性质可得结论．【详解】是整数，若，是整数，∴，矛盾，∴A错误；，，∴，∴，B正确；由定义，∴，∴函数的值域是，C正确；若，使得同时成立，则，，，，，，因为，若，则不存在同时满足，．只有时，存在满足题意，故选：BCD．【点睛】本题考查函数新定义，正确理解新定义是解题基础．由新定义把问题转化不等关系是解题关键，本题属于难题．6．对于函数，下面结论正确的是（）A．任取，都有恒成立B．对于一切，都有C．函数有3个零点D．对任意，不等式恒成立，则实数的取值范围是【答案】ABC【分析】先在坐标轴中画出的图象,根据图象可判断A选项,结合解析式可判断B选项,再画出与的图象,数形结合可判断C,D选项.【详解】在坐标轴上作出函数的图象如下图所示:由图象可知的最大值为1,最小值为,故选项A正确;由题可知,所以即,故选项B正确;作出的图象，因为，由图象可知与有3个交点,故选项C正确;结合图象可知,若对任意,不等式恒成立,即时,不等式恒成立,又,所以,即在时恒成立,设,则,故时,,函数在上单调递减,所以时,,又,所以,即,故选项D错误.故选:ABC.【点睛】本题主要考查分段函数的周期性及数形结合法在处理函数问题中的应用,有一定难度.7．已知定义在上的函数满足：，且当时，.若.在上恒成立，则的可能取值为()A． B． C． D．【答案】CD【分析】先判断函数的奇偶性和单调性,得到sinx≥k(2+sinx),再根据题意，利用检验法判断即可.【详解】因为定义在上的函数满足：,所以为奇函数，时，，显然在上单调递增，所以在R上单调递增，由恒成立，可得在R上恒成立，即，整理得：当时，，不恒成立，故A错误;当时，，不恒成立，故B错误;当时，，恒成立，故C正确；当时，，恒成立，故D正确.故选：CD【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性和单调性，不等式恒成立问题，属于中档题.8．太极图是由黑白两个鱼形纹组成的图案，俗称阴阳鱼，太极图展现了一种互相转化，相对统一的和谐美.定义：能够将圆的周长和面积同时等分成两个部分的函数称为圆的一个“太极函数”.则下列有关说法中，正确的是（）A．对于圆：的所有非常数函数的太极函数中，一定不能为偶函数B．函数是圆：的一个太极函数C．存在圆，使得是圆的一个太极函数D．直线所对应的函数一定是圆：的太极函数【答案】BCD【分析】利用“太极函数”的定义逐个判断函数是否满足新定义即可.【详解】对于A，如下图所示，若太极函数为偶函数，且，所以该函数平分圆的周长和面积，故A错误；对于B，也关于圆心对称，平分圆的周长和面积，所以函数是圆的一个太极函数；故B正确；对于C，，.，该函数为奇函数，图象关于原点对称.所以存在圆：使得是圆的一个太极函数，如下图所示，故C正确；对于D，对于直线的方程，变形为，令，得，直线经过圆的圆心，可以平分圆周长和面积，故D正确.故选：BCD.【点睛】本题考查函数对称性的判定与应用，将新定义理解为函数的对称性为解题的关键，考查推理能力，属于较难题.9．已知函数，若关于x的方程恰有两个不同解，则的取值可能是（）A． B． C．0 D．2【答案】BC【分析】利用函数的单调性以及已知条件得到，代入，令，求导，利用导函数的单调性分析原函数的单调性，即可求出取值范围.【详解】因为的两根为，所以，从而．令，则，．因为，所以，所以在上恒成立，从而在上单调递增．又，所以，即的取值范围是，故选：BC．【点睛】关键点睛：本题考查利用导数解决函数的范围问题.构造函数，利用导数求取值范围是解决本题的关键.10．对于具有相同定义域D的函数和，若存在函数（k，b为常数），对任给的正数m，存在相应的，使得当且时，总有，则称直线为曲线与的“分渐近线”.给出定义域均为的四组函数，其中曲线与存在“分渐近线”的是（）A．，B．，C．，D．，【答案】BD【分析】根据分渐近线的定义，对四组函数逐一分析，由此确定存在“分渐近线”的函数.【详解】解：和存在分渐近线的充要条件是时，．对于①，，，当时，令，由于，所以为增函数，不符合时，，所以不存在分渐近线；对于②，，，，因为当且时，，所以存在分渐近线；对于③，，，当且时，与均单调递减，但的递减速度比快，所以当时，会越来越小，不会趋近于0，所以不存在分渐近线；对于④，，，当时，，且，因此存在分渐近线．故存在分渐近线的是BD．故选：BD．【点睛】本小题主要考查新定义概念的理解和运用，考查函数的单调性，属于难题.11．已知，则关于x的方程的实根个数可能为（）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】ABC【分析】画出的图像，由，可分类讨论，，三种情况，令，并画出图像，结合两个函数图像以及，判断出实根个数构成的集合.【详解】画出的图像如图所示，令，画出图像如图所示.由，解得：，由，解得..由，解得：，由，解得.（1）当时，，有解，且或或，结合的图像可知，时没有与其对应，或时每个都有个与其对应，故此时有个实数根.（2）当时，，有解，且或，有一个与其对应，有两个与其对应，故此时有个实数根.（3）当时，，有解，且，结合的图像可知，每个有两个与其对应，故此时有个实数根.综上所述，关于的方程的实根个数构成的集合为.故选：ABC【点睛】方法点睛：本题考查分类讨论参数，求函数零点个数问题，讨论函数零点个数常用方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解，考查学生的数形结合的数学思想方法，考查分类讨论的数学思想方法，属于难题.12．已知函数，则方程的实根个数可能为（）A．8 B．7 C．6 D．5【答案】ABC【分析】以的特殊情形为突破口，解出或或或，将看作整体，利用换元的思想进一步讨论即可.【详解】由基本不等式可得或，作出函数的图像，如下：①当时，或，故方程的实数根个数为；②当时，或或，故方程的实数根个数为；③当时，或或或，故方程的实数根个数为；④当时，或或或，故方程的实数根个数为；⑤当时，或，故方程的实数根个数为；⑥当时，或，故方程的实数根个数为；⑦当时，，故方程的实数根个数为；故选：ABC【点睛】本题考查了求零点的个数，考查了数形结合的思想以及分类讨论的思想，属于难题.13．下列结论正确的是（）A．函数的定义域为，则函数的定义域为B．函数的值域为，则函数的值域为C．若函数有两个零点，一个大于2，另一个小于-1，则的取值范围是D．已知函数，若方程恰有4个互异的实数根，则实数的取值范围为【答案】ACD【分析】根据抽象函数定义域及代换的方法可求函数的定义域，判断A，利用函数图象的平移可判断函数值域的变换情况，判断B，利用数形结合及零点的分布求解判断C，作出函数与的图象，数形结合即可判断D.【详解】对于A,的定义域为，则由可得定义域为，故正确；对于B，将函数的图象向左平移一个单位可得函数的图象，故其值域相同，故错误；对于C,函数有两个零点，一个大于2，另一个小于-1只需，解得，故正确；对于D,作出函数与的图象，如图，由图可以看出，时，不可能有4个交点，找到直线与抛物线相切的特殊位置或，观察图象可知，当有4个交点，当时，两条射线分别有2个交点，综上知方程恰有4个互异的实数根时，正确.故选：ACD【点睛】关键点点睛：对于方程实根问题，可转化为函数图象交点问题，本题中，图象确定，而是过关于对称的两条射线，参数确定两射线张角的大小，首先结合图形找到关键位置，即时左边射线与抛物线部分相切，时右边射线与抛物线相切，然后观察图象即可得出结论.14．已知函数的图象关于对称，且对，当时，成立，若对任意的恒成立，则的可能取值为（）A． B． C． D．【答案】BC【分析】由已知得函数是偶函数，在上是单调增函数，将问题转化为对任意的恒成立，由基本不等式可求得范围得选项．【详解】因为函数的图象关于直线对称，所以函数的图象关于直线（即轴）对称，所以函数是偶函数.又时，成立，所以函数在上是单调增函数.且对任意的恒成立，所以对任意的恒成立，当时，恒成立，当时，，又因为，当且仅当时，等号成立，所以，因此，故选：BC.【点睛】方法点睛：不等式恒成立问题常见方法：①分离参数恒成立(即可)或恒成立（即可）；②数形结合(图象在上方即可)；③讨论最值或恒成立.15．对于定义在上的函数，若存在正实数，，使得对一切均成立，则称是“控制增长函数”.在以下四个函数中是“控制增长函数”的有（）A． B． C． D．【答案】BCD【分析】假设各函数是“控制增长函数”，根据定义推断对一切恒成立的条件，并判断的存在性，即可得出结论.【详解】对于A.可化为，，不等式在上不恒成立，所以不是“控制增长函数”；对于B.可化为，，即恒成立.又，故只需保证恒成立即可.，当时，不等式恒成立，是“控制增长函数”；对于C.，时，为任意正数，恒成立，是“控制增长函数”；对于D.化为，，令，则，当时，不等式恒成立，是“控制增长函数”.故选：BCD【点睛】本题考查了新定义的理解，函数存在成立和恒成立问题的研究.我们可先假设结论成立，再不断寻求结论成立的充分条件，找得到就是“控制增长函数”.如果找出了反例，就不是“控制增长函数”.16．设函数，g（x）＝x2-（m＋1）x＋m2-2，下列选项正确的有（）A．当m＞3时，f[f（x）]＝m有5个不相等的实根B．当m＝0时，g[g（x）]＝m有4个不相等的实根C．当0＜m＜1时，f[g（x）]＝m有6个不相等的实根D．当m＝2时，g[f（x）]＝m有5个不相等的实根【答案】BCD【分析】作出函数的图象，利用函数的图象和函数的图象分析可解得结果.【详解】作出函数的图象：令，得；当时，有两个根：，方程有1个根，方程有2个根，所以A错误；②当时，，，令，由得由由所以B正确；③令，，因为，所以有个实根根，设，所以，，因为在上递减，所以，所以，所以，即方程的最小根大于的最小值，所以、、都有2个不等实根，且这6个实根互不相等，所以当0＜m＜1时，f[g（x）]＝m有6个不相等的实根，所以C正确；④令，则，当时，方程化为，得；当，得；当得符合题意，所以D正确.故选：BCD.【点睛】关键点点睛：作出函数的图象，利用数形结合法求解是解题关键.17．对于函数定义域中任意的，有如下结论，当时，上述结论中正确结论的序号是（）A． B．C．＞0 D．【答案】BC【分析】由对数的运算性质判断A，B，由对数函数的单调性判断C，由对数的运算结合基本不等式判断D．【详解】对于A，，即，故A错误；对于B，，故B正确；对于C，在定义域中单调递增，，故C正确；对于D，，利用基本不等式知，又，则，故D错误；故选：BC【点睛】关键点点睛：本题考查命题的真假判断，考查对数函数的性质，考查基本不等式的应用，解决本题的关键点是将对数形式化为根式，即，利用对数的运算结合基本不等式放缩得出答案，并验证取等条件，考查了学生逻辑思维能力和计算能力，属于中档题．18．已知函数满足，且在上有最小值，无最大值.则（）A． B．若，则C．的最小正周期为3 D．在上的零点个数最少为1346个【答案】AC【分析】根据正弦函数图象的对称性可判断；根据已知三角函数值求角的方法，可得，，两式相减可求出，进而求得周期，从而可判断和选项；因为，所以函数在区间上的长度恰好为673个周期，为了算出零点“至少”有多少个，可取，进而可判断．【详解】解：由题意得，在的区间中点处取得最小值，即，所以A正确；因为，且在上有最小值，无最大值，所以不妨令，，两式相减得，，所以，即B错误，C正确；因为，所以函数在区间上的长度恰好为673个周期，当，即时，在区间上的零点个数至少为个，即D错误.故选:AC.【点睛】本题考查与三角函数有关的命题的真假关系，结合三角函数的图象与性质，利用特殊值法以及三角函数的性质是解题的关键，综合性较强．19．一般地，若函数的定义域为，值域为，则称为的“倍跟随区间”；若函数的定义域为，值域也为，则称为的“跟随区间”.下列结论正确的是（）A．若为的跟随区间，则B．函数存在跟随区间C．若函数存在跟随区间，则D．二次函数存在“3倍跟随区间”【答案】ABCD【分析】根据“倍跟随区间”的定义,分析函数在区间内的最值与取值范围逐个判断即可.【详解】对A,若为的跟随区间,因为在区间为增函数,故其值域为,根据题意有,解得或,因为故.故A正确；对B,因为函数在区间与上均为