上海市南汇中学2025-2026学年高三上学期期中考试数学试题（含答案）

南汇中学2025-2026学年第一学期高三年级数学期中2025.11一、填空题（本大题共有12题,满分54分,第1-6题每题4分,第7-12题每题5分）

1.设全集，若集合，则.2.函数且的图像过定点A，则点A的坐标是.3.设为虚数单位，若复数满足，则.4.已知，则.5．已知，用表示.6．已知向量，则向量在向量方向上的数量投影为.7．函数在点处的切线方程为.8．若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是.

9．已知一个圆锥的底面积和侧面积分别为和，则该圆锥的体积为.

10．设函数（其中），若函数图像的对称轴与其对称中心的最小距离为，则.

11．已知函数，若有四个不同的解，且，则的最小值为.

12．已知平面向量满足，则的最小值为.

B．多面体的体积为定值 C．侧面上存在点，使得 C．①真命题；②真命题D．①假命题；②假命题

解答题（第17-19题每题14分，第20-21题每题18分，共78分）

17．的内角的对边分别为，已知．

（1）求；

（2）若，求

18．在棱长为4的正方体中，点在棱上且，

（1）求与所成角的大小

（2）求点到平面的距离19．已知某公司生产某款产品的年固定成本为30万元，每万件产品还需另外投入16万元，设该公司一年内共生产万件产品并全部销售完，每万件产品的销售收入为万元，且已知

（1）求一年的总利润（万元）关于年产量（万件）的函数解析式；

（2）当年产量为多少万件时，公司在该款产品的生产中所获得的总利润最大？并求出最大总利润．（总利润总销售收入-固定成本-额外投入）

20．对于函数，若存在实数，使得为上的奇函数，则称是位差值为的＂位差奇函数＂.

（1）判断函数和是否是位差奇函数，并说明理由；

（2）若是位差值为的位差奇函数，求的值；

（3）若对于任意都是位差值为的位差奇函数，求实数的取值范围．

21．已知，e是自然对数的底数．

（1）当时，求函数的单调区间、极值以及对应的极值点；

（2）若关于的方程有两个不等实根，求的取值范围；

（3）当时，若满足，求证：．

南汇中学2025-2026学年第一学期高三年级数学期中2025.11一、填空题（本大题共有12题,满分54分,第1-6题每题4分,第7-12题每题5分）

1.设全集，若集合，则.【答案】2.函数且的图像过定点A，则点A的坐标是.【答案】3.设为虚数单位，若复数满足，则.【答案】4.已知，则.【答案】

5．已知，用表示.

【答案】

6．已知向量，则向量在向量方向上的数量投影为.

【答案】

7．函数在点处的切线方程为.

【答案】

8．若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是.

【答案】或

9．已知一个圆锥的底面积和侧面积分别为和，则该圆锥的体积为.

【答案】

10．设函数（其中），若函数图像的对称轴与其对称中心的最小距离为，则.B．多面体的体积为定值 C．侧面上存在点，使得 D．直线与直线所成的角可能为C．①真命题；②真命题D．①假命题；②假命题

【答案】C

三、解答题（第17-19题每题14分，第20-21题每题18分，共78分）

17．的内角的对边分别为，已知．

（1）求；

（2）若，求

【答案】（1）（2）【解析】（1）变形为：，

所以，因为，所以；【6分】

（2）因为，且，所以，

由正弦定理得：，即，解得：．【8分】

18．在棱长为4的正方体中，点在棱上且，

（1）求与所成角的大小

（2）求点到平面的距离【答案】（1）（2）【解析】（1）连接，因为在正方体中，，

所以四边形为平行四边形，所以，

所以为异面直线与所成的角，

因为正方体的棱长为4，点在棱上且，所以，所以，

所以由余弦定理得，

所以，所以与所成角的大小为，【6分】

（2）连接，设点到平面的距离为，

因为为锐角，所以，

所以，

因为，所以，所以，解得【14分】

利用空间向量参考给分.

19．已知某公司生产某款产品的年固定成本为30万元，每万件产品还需另外投入16万元，设该公司一年内共生产万件产品并全部销售完，每万件产品的销售收入为万元，且已知

（1）求一年的总利润（万元）关于年产量（万件）的函数解析式；

（2）当年产量为多少万件时，公司在该款产品的生产中所获得的总利润最大？并求出最大总利润．（总利润总销售收入-固定成本-额外投入）

【答案】（1）见解析（2）当年产量为32万件时，公司在该款产品的生产中所获得的总利润最大，最大总利润为6114万元【解析】（1）一年的总利润：（2）当时，万件时，利润最大6114万元；【8分】

当年产量超过40万件，即，此时

当且仅当，即时取等号．故当年产量为32万件时，公司在该款产品的生产中所获得的总利润最大，最大总利润为6114万元．【14分】

20．对于函数，若存在实数，使得为上的奇函数，则称是位差值为的＂位差奇函数＂.

（1）判断函数和是否是位差奇函数，并说明理由；

（2）若是位差值为的位差奇函数，求的值；

（3）若对于任意都是位差值为的位差奇函数，求实数的取值范围．

【答案】（1）是，不是（2）（3）【解析】（1）由，所以为奇函数．

故对于任意有为位差奇函数．

又，设.

此时，若为奇函数，则恒成立，与假设矛盾，故不存在有为位差奇函数.【4分】

（2）由是位差值为的位差奇函数，可得为上的奇函数．为奇函数．

即即.【10分】

（3）．由题意对任意的均不恒成立．

此时

即对任意的不恒成立，故在无解．又，故．故【18分】

21．已知，e是自然对数的底数．

（1）当时，求函数的单调区间、极值以及对应的极值点；

（2）若关于的方程有两个不等实根，求的取值范围；

（3）当时，若满足，求证：．

【答案】（1）当时，取得极小值0，无极大值．（2）（3）证明见解析【解析】（1）当时，，函数的定义域为R，求导得，

由可得，当时，在上单调递减；

当时，在上单调递增，

所以当时，取得极小值．【4分】

故函数的单调递增区间为，单调递减区间为，

当时，取得极小值0，无极大值．

（2）由方程有两个不等实根可知，，

依题意，方程有两个不等实根等价于函数与有两个交点．

由，当时，，当时，，

则函数在上单调递增，在上单调递减，故当时，取得极大值，且当；当，故可作出函数的图象如下．由图知，当且仅当时，函数与有两个交点，故的取值范围