专题01 轻松破解求函数解析式的十大题型（高效培优专项训练）数学北师大版2019必修第一册（解析版）

2/37专题01轻松破解求函数解析式的十大题型题型一：代入法求函数的解析式 1题型二：待定系数法求函数的解析式 2题型三：配凑法求解析式 4题型四：换元法求解析式 6题型五：方程组法求解析式 7题型六：由函数图象求解析式 9题型七：由函数的奇偶性求解析式 12题型八：由对称性求解析式 17题型九：赋值法求解析式 20题型十：与求解析式有关的开放题 22题型一：代入法求函数的解析式已知的解析式，求的解析式时，只要直接将x用代替，代入即可求得解析式.1.已知函数，则，=.【答案】；【解析】，2．（24-25高一上·浙江杭州·期中）（3）已知函数，则=.【答案】；【解析】由题设，时，时，时，所以.3．已知函数.(1)比较，的大小；(2)求的值.【分析】是分段函数，(1)为多层求值，应由内向外求解；（2）中,应先判断所在的范围，从而代入相应的解析式求值.【解析】(1)同理可求得<.(2)题型二：待定系数法求函数的解析式已知函数的类型（如一次函数、二次函数等）求解析式时，先设出含有待定系数的解析式，将已知条件代入，再利用恒等式的性质建立关于待定系数的方程（组），通过解方程（组）求出相应的系数.4．（24-25高一上·陕西商洛·期末）已知是一次函数，，且，函数满足，则（

）A． B．C． D．【答案】AC【分析】利用待定系数法设解方程组可得，再由换元法代入计算可得，可得出结论.【详解】依题意可设，由可得，因此可得，解得或；又因为，所以，即，即A正确，B错误；又可得，令，所以，因此，所以，可得C正确，D错误.故选：AC5．(多选)（24-25高一上·山西·期中）已知一次函数满足，则的解析式可能为（

）A． B． C． D．【答案】AD【分析】根据题意，由待定系数法代入计算，即可得到结果.【详解】设，则，所以，解得或，则或．故选：AD.6．（24-25高二下·黑龙江牡丹江·期末）已知一次函数满足，则.【答案】【分析】设，代入利用恒等式思想建立方程组，解之可得答案.【详解】设，由，即，即，即，解得，所以.7．（25-26高一上·全国·课堂例题）求下列函数的解析式(1)已知函数是一次函数，满足，求；(2)已知是二次函数，且，，，求．【分析】（1）设，代入后利用恒等可求参数的值，从而得到解析式；（2）设，结合题设条件可得关于参数的方程组，求出其解后可得函数解析式.【详解】（1）设，则，所以，解得或，所以或.（2）设，根据题意得，解得所以．8．（2025高二下·湖南株洲·学业考试）已知二次函数满足，且的图象经过点.(1)求的解析式；(2)若对，不等式恒成立，求实数的取值范围.【分析】（1）设，利用条件等式和图象经过的点，列出方程组，确定的值，即得函数的解析式；（2）等价转化原不等式为在上的恒成立问题，结合二次函数的图象可得含参数的不等式，解之即得.【详解】（1）设，由可得：，即得，解得，故得，又的图象经过点，则，故；（2）由可得，依题意，对，不等式恒成立，故，解得，即实数的取值范围为.题型三：配凑法求解析式已知复合函数的解析式，求的解析式，可采用“配凑法”，即从的解析式中凑出，再将解析式两边的换成x，便得的解析式.9.已知，则（

）A． B．C． D．【答案】A【详解】因为，且，所以.故选：A.10.（2025高一·全国·专题练习）若函数，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先配方，再利用整体法求函数的解析式即可.【详解】由，而，所以．故选：D．11．（24-25高一上·江苏连云港·期中）已知函数，且函数的定义域为，则（

）A．， B．，C．， D．，【答案】D【分析】根据配凑法求出的解析式，并求出定义域判断得解.【详解】由，则，又函数的定义域为，即，，所以函数的定义域为.故选：D.12.已知函数，则函数的解析式是（

）A．， B．，C．， D．，【答案】B【详解】，且，所以，.故选：B.13．（24-25高二下·辽宁鞍山·期末）已知，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由配凑法结合基本不等式求出的范围即可得解.【详解】因为，且，或，当且仅当即时取等.所以.故选：D.14.若函数，则.【答案】【详解】函数，又的值域为，.题型四：换元法求解析式已知复合函数的解析式，求的解析式，可采用“换元法”，令=t，用t表示出x，代入的解析式，得到的解析式，再将t换成x，便得的解析式.15.（24-25高一上·云南昆明·期中）已知，则的解析式为（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】利用换元法令即可得出函数解析式.【详解】令，则，；故，故选：A.16.（24-25高一上·湖南·期中）若函数，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用换元法求解析式即可.【详解】令，得，则，则．故选：C．17．（2025高一·全国·专题练习）已知函数，则（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】令，得，表示出即可得到的解析式．【详解】令，则，，由，∴，∴．故选：B．题型五：方程组法求解析式.在已知中，含有关于两个不同变量的函数，而这两个变量有着某种关系，这时可根据两个变量的关系，建立一个新的关于两个变量的式子，由两个式子建立方程组，通过解方程组消去一个变量，得到目标函数的解析式，这种方法叫做解方程组法或消元法18．（2026高三·全国·专题练习）若函数满足，则．【答案】【分析】根据给定条件，利用方程组的方法求出函数解析式即得.【详解】由，可得，联立两式消去，可得．19．（24-25高三上·辽宁·期末）已知函数满足，则.【答案】【分析】通过两次赋值将替换成和将替换成，构造方程组求解即可；【详解】由，①将替换成，可得：，②再将①中替换成：，可得：，③①②相减可得：，④③④相加可得：，所以20．（24-25高一上·云南文山·期中）已知定义在上的函数满足，则函数的解析式是．【答案】【分析】利用方程组法求解即可.【详解】由，①得，②由得，所以.21．（24-25高一上·全国·课后作业）已知函数满足，则函数．【答案】【分析】构造关于的方程组后可解得.【详解】由题知用代换得到，，与两式联立，消去，解得．22．（24-25高三上·安徽合肥·期中）已知函数对任意满足，则.【答案】【分析】采用方程组法消去，得出的解析式即可.【详解】因为，以代替得：，得：.23．已知函数满足，则.【答案】【详解】由①，得②，由①②得，则，令，则，所以，故.题型六：由函数图象求解析式方法一：先确定函数类型（如一次，二次,分段函数等），再根据图象上的关键点（顶点、交点、特殊点），代入设出的解析式，列方组（组）求解系数，最后验证.方法二：图象特征法，取图象上的特定点代入各解析式排除错误的选项，并结合图象中呈现出的定义域、值域、对称性、单调性以及奇偶性等确定出正确的函数解析式.24．（2025·天津·高考真题）已知函数的图象如下，则的解析式可能为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先由函数奇偶性排除AB，再由时函数值正负情况可得解.【详解】由图可知函数为偶函数，而函数和函数为奇函数，故排除选项AB；又当时，此时，由图可知当时，，故C不符合，D符合.故选：D25．（24-25高一上·浙江杭州·期末）如图所示的幂函数图象对应的解析式可能为（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】对每个选项中的函数一一判断其性质，结合特殊值，即可判断是否符合题意，即得答案.【详解】对于A，，定义域为，当时，，不符合题意；对于B，当时，，不符合题意；对于C，，定义域为，函数为偶函数，且在上单调递减，在上单调递增，符合题意；对于D，，当时，，不符合题意，故选：C26．我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休．”在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来研究函数图象的特征．我们从这个商标中抽象出一个图象如图，其对应的函数可能是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由图象知函数的定义域排除选项A、D，再根据不成立排除选项C，即可得正确选项.【详解】因为函数的定义域为，函数的定义域为，函数与的定义域均为.由图知的定义域为，排除选项A、D，对于，当时，，不符合图象，所以排除选项C.故选：B.27．（24-25高一上·四川雅安·阶段练习）函数的大致图象如图所示，则可能是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据函数图象，易得函数的定义域和对称性，奇偶性，再逐一判断各选项即得.【详解】由图象可知，为奇函数且定义域为.对于A,函数的定义域为关于原点对称，但，是偶函数，故A错误；对于B，函数定义域为，与图象不符，故B错误；对于C，函数定义域为关于原点对称，且，是奇函数，与图象符合，故C正确；对于D，函数定义域为，与图象不符，故D错误；故选：C.28．（24-25高一上·四川·期中）若函数的部分图象如图所示，则的解析式可能是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用函数图象对称性以及定义域可利用排除法得出结论.【详解】根据函数图象的对称性可知为奇函数，对于A项，不是奇函数，故排除；对于B项，可取0，故排除；对于D项，，故排除.故选：C.题型七：由函数的奇偶性求解析式利用函数的奇偶性求函数的解析式的步骤：第一步：设出所求区间的自变量,取相反数；第二步：将代入题干已知的表达式中；第三步：利用奇偶性求出的表达式.注意：求函数值时由内到外依次求值29．（24-25高二下·浙江·阶段练习）已知函数是奇函数，当时，，则当时，.【答案】【分析】当时，，根据奇函数的定义求对称区间上的解析式.【详解】设，则，所以，又函数为奇函数，所以，即时，，故答案为：；30．（24-25高一下·山西·期中）若分别是定义在上的奇函数和偶函数，且，则函数图象与x轴交点的横坐标为．【答案】1，3【分析】代入得出.然后根据的奇偶性及其性质化简得出.与已知联立得出的表达式，即可得出的表达式，求解即可得出答案.【详解】由已知可得，.又分别是定义在上的奇函数和偶函数，所以，，，所以有.又，两式相加化简可得，.两式相减化简可得，.所以，.解可得，或.31．（24-25高一下·贵州毕节·期末）已知函数是定义域为的偶函数，当时，.(1)求函数的解析式；(2)判断函数在区间上的单调性，并用定义法给出证明；(3)令，，求不等式的解集.【分析】（1）设，则，利用偶函数即可求的解析式，然后写出可得函数的解析式；（2）区间上任取，，且，作差，根据的符合证明单调性；（3）先确定函数在的单调性，再根据单调性解不等式得，然后解不等式组即可.【详解】（1）设，则,∵时，,∴,∵是定义域为的偶函数,∴,∴,∴.（2）由（1）知，当时，,所以函数在区间上单调递减,证明如下：在区间上任取，，且,由,又∵,∴，,∴,∴,∴,∴函数在区间上单调递减.（3）∵当时,∴在上单调递增,∵,∴,∴,∴不等式的解集为.32．（24-25高二下·江西·期末）已知定义域都为的函数与满足：是奇函数，是偶函数，.(1)求函数与的解析式；(2)若在上恒成立，求实数的取值范围.【分析】（1）根据奇偶函数的定义列方程组求解即可；（2）换元令，可得原题意等价于在上恒成立，结合基本不等式运算求解即可.【详解】（1）因为，是奇函数，是偶函数，则，可得，联立方程，解得，.（2）因为，即，又因为，令，则，可得，整理可得，原题意等价于在上恒成立，又因为，当且仅当，即时，等号成立，可得，即，所以实数的取值范围为.33．（24-25高一上·天津·期中）定义在上的函数为奇函数，且当时，.(1)求和的值；(2)求函数的解析式；(3)作的图象，并写出单调区间和值域（直接写出单调区间和值域）.【分析】（1）根据解析式及奇函数性质，将自变量代入求值即可；（2）利用奇函数的性质求解析式即可；（3）根据解析式画出图象，数形结合确定单调区间和值域.【详解】（1）由题设，；（2）若，则，故，由在上的函数为奇函数，则，且时，，所以；（3）由图知，的单调增区间为，单调减区间为，且值域为R.题型八：由对称性求解析式利用函数图象对称中心，对称轴求其解析式时要注意熟记以下结论：定理1若函数定义域为，则函数与两函数的图象关于直线对称（由可得）推论1.函数与函数的图象关于直线对称。函数y=f(x)与y=f(2a－x)的图像关于直线x=a成轴对称。推论2.函数与函数的图象关于直线对称.推论3函数与函数的图象关于直线对称。函数与函数的图象关于直线(即轴)对称。定理2若函数定义域为，则函数与的图象关于点对称。推论1.函数与函数图象关于点对称。推论2.函数的图象关于点对称的解析式为推论３.函数y=f(x)与y=2b－f(2a－x)的图像关于点A(a,b)成中心对称。推论3.两个函数的图象对称性（相互对称）（利用解析几何中的对称曲线轨迹方程理解）(1)曲线与关于x轴对称。(2)曲线与关于y轴对称。(3).函数y=f(x)的图像与x=f(y)的图像关于直线x=y成轴对称(4)曲线与关于直线对称。(5)曲线关于直线对称曲线为。(6)曲线关于直线对称曲线为。函数y=f(x)与a－x=f(a－y)的图像关于直线x+y=a成轴对称。(7)曲线关于直线对称曲线为。函数y=f(x)与x－a=f(y+a)的图像关于直线x－y=a成轴对称.8.曲线关于点对称曲线为.34.与曲线关于原点对称的曲线为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】在与曲线关于原点对称的曲线上任取一点，可知点在曲线，将点的坐标代入曲线的方程，化简可得结果.【详解】在与曲线关于原点对称的曲线上任取一点，则点关于原点的对称点在曲线上，所以，，化简得，因此，与曲线关于原点对称的曲线为.故选：A.35．（24-25高三上·吉林长春·开学考试）下列函数中，其图象与函数的图象关于直线对称的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据直线对称的性质，结合中点坐标公式进行求解即可.【详解】设函数的图象为曲线，该曲线关于对称的曲线为，设曲线上任意一点的坐标为，则有，该点关于直线对称点的坐标为，因此有，代入中，得，故选：C36．（2023高三·全国·专题练习）若，，当时，，则下列说法正确的是（

）A．函数为奇函数 B．函数在上单调递增C． D．函数在上单调递减【答案】C【分析】根据函数对称性可得解析式，由此可作出的图象，结合图象依次判断各个选项即可.【详解】由得：，则图象关于对称，当时，，，，作出图象如下图所示，由图象可知：不关于坐标原点对称，不是奇函数，A错误；在上单调递减，B错误；，C正确；在上单调递增，D错误.故选：C.37.（24-25高三下·山东·开学考试）已知函数的图象关于点对称，则．【答案】【分析】由已知可得为奇函数，结合奇函数性质列方程求，由此可得结论.【详解】因为函数的图象关于点对称，所以函数的图象关于点对称，所以函数为奇函数，故，所以，所以，所以，，所以.37.（24-25高一上·上海浦东新·期末）若函数的图像关于直线对称，则a的值是．【答案】【分析】根据对称的性质可知，和都在函数图象上，即可求解.【详解】设是函数的图像上任一点，即，关于直线对称的点也在函数的图像上，即，整理为，即，即.38．（24-25高一上·辽宁丹东·期中）已知函数定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，，若，则.【答案】【分析】根据题意，由已知奇偶性质得到对称性，借助已知条件与求出待定系数，再利用对称性转化为，代入解析式求解即得．【详解】根据题意，由为奇函数，得，令得，即；令，得，由为偶函数，得,令，得，由，所以，由，解得，故时，，由，当时，可得.题型九：赋值法求解析式当题中所给变量较多，且含有“任意”等条件时，往往可以对具有“任意性”的变量进行赋值，使问题具体化、简单