专题1 生活中的变量关系（高效培优讲义）数学北师大版2019必修第一册（解析版）

27/28专题1生活中的变量关系教学目标1.了解生活中两个变量之间的依赖关系现象.2.了解生活中两个变量之间的函数关系现象.3.能辨析依赖关系和函数关系的区别和联系．教学重难点1.重点（1）依赖关系和函数关系的概念；（2）区分依赖关系和函数关系.难点：依赖关系和函数关系的区别和联系知识点01生活中的变量关系（易错）1.常量与变量在某个变化过程中，数值保持不变的量叫做常量,可以取不同值的量叫变量.2.依赖关系与函数关系（1）在某变化过程中有两个变量，如果其中一个变量发生了变化，另一个变量的值也会随之发生变化，那么就称这两个变量具有依赖关系.(2)函数关系:如果变量x,y具有依赖关系,对于其中一个变量x的每一个值,另一个变量y都有唯一确定的值时，那么称变量y是变量x的函数,即这两个变量之间具有函数关系.在变化过程中,有两个变量相互影响,即称为依赖关系.并非有依赖关系的两个变量都有函数关系,只有满足对于其中一个变量的每一个值,另一个变量都有唯一确定的值与之对应,才称它们之间有函数关系.【即学即练】1．下列说法不正确的是()A．圆的周长与其直径的比值是常量B．任意四边形的内角和的度数是常量C．发射升空的火箭高度与发射的时间之间是函数关系D．某商品的广告费用与销售量之间是函数关系【答案】D【解析】A、B、C中说法均正确，而D中，广告费用与销售量之间关系不确定，故不是函数关系．2．下列各变量间不存在依赖关系的是()A．扇形的圆心角与它的面积B．某人的体重与其饮食情况C．水稻的亩产量与施肥量D．某人的衣着价格与视力【答案】D【解析】衣着价格与视力没有关系.故选D.知识点02函数关系的判定方法（重点）判断两个有依赖关系的变量之间是否是函数关系的方法是：首先，确定因变量和自变量；其次，判断对于自变量的每一个确定值，因变量是否有唯一确定的值与之对应，若满足，则是函数关系，否则不是.【知识剖析】满足函数关系的自变量对因变量，可以一对一，也可以多对一，但不可以一对多.【即学即练】1．给出下列关系：①人的年龄与他(她)拥有的财富之间的关系；②抛物线上的点与该点坐标之间的关系；③橘子的产量与气候之间的关系；④某同学在6次考试中的数学成绩与他的考试号之间的关系．其中不是函数关系的有________．(填序号)【答案】①③④【解析】由已知关系判断得，①③④中关系不确定故不是函数关系，只有②是函数关系．题型01判断变量间的关系【典例】下列过程中，各变量之间是否存在依赖关系？其中哪些是函数关系？(1)将保温瓶中的热水倒入茶杯中缓慢冷却，并将一温度计放入茶杯中，每隔一段时间，观察温度计示数的变化．冷却时间与温度计示数的关系；(2)做自由落体运动的物体下落的距离与时间的关系；(3)商品的销售额与广告费之间的关系；(4)家庭的食品支出与电视价格之间的关系；(5)在高速公路上匀速行驶的汽车所走的路程与时间的关系．【分析】两个变量中的一个变量发生变化时，根据另一个变量是否发生变化来确定依赖关系；根据另一个变量发生变化且取值唯一来确定函数关系．【解析】(1)温度计示数随冷却时间的变化而变化，所以冷却时间与温度计示数存在着依赖关系．又因为对于冷却时间的每一个取值，都有唯一的温度计示数与之对应，所以，温度计示数是冷却时间的函数；(2)科学家通过实验发现，做自由落体运动的物体下落的距离(h)与时间(t)具有关系h＝eq\f(1,2)gt2，其中g是常量，很显然，对于时间t在其变化范围内的每一个取值，都有唯一的下落距离h与之对应，故这两个变量存在依赖关系，且距离是时间的函数；(3)商品的销售额与广告费这两个变量在现实生活中存在依赖关系，但商品的销售额还受其他因素的影响，比如产品的质量、价格、售后服务等，所以商品的销售额与广告费之间不是函数关系；(4)家庭的食品支出与电视价格之间不存在依赖关系；(5)在高速公路上匀速行驶的汽车所走路程(因变量)随时间(自变量)的变化而变化，所以它们之间存在着依赖关系，且路程是时间的函数．综上可知，(1)(2)(5)中的变量间存在依赖关系，且是函数关系；(3)中变量间存在依赖关系，不是函数关系；(4)中两个变量间不存在依赖关系．依赖关系与函数关系的判断方法1．判断两个变量之间是否存在依赖关系，只需看一个变量发生变化时，另一个变量是否会随之变化．2．判断两个具有依赖关系的变量是否是函数关系，关键是看二者之间的关系是否具有确定性，即验证对于一个变量的每一个值，另一个变量是否都有唯一确定的值与之对应．【变式1-1】下列说法不正确的是()A．依赖关系不一定是函数关系B．函数关系是依赖关系C．如果变量m是变量n的函数，那么变量n也是变量m的函数D．如果变量m是变量n的函数，那么变量n不一定是变量m的函数【答案】C【解析】(1)根据依赖关系与函数关系的区别可知A、B正确．若变量m是变量n的函数．因为满足函数关系的自变量n对因变量m可以是多对一，此时若把m换成自变量，n换成因变量，显然对于m的每一个取值，会有多个n与之对应，所以变量n不是变量m的函数．【变式1-2】张大明种植了10亩小麦，每亩施肥x千克，小麦总产量y千克，则()A．x，y之间有依赖关系B．x，y之间有函数关系C．y是x的函数D．x是y的函数【答案】A【解析】虽然小麦总产量y与每亩施肥量x之间存在依赖关系，但小麦总产量y还受气候、管理等其他因素的影响，所以x，y之间无函数关系．题型02变量关系的表示【典例】声音在空气中传播的速度简称音速，实验测得音速与气温的一些数据如下表：气温x/℃05101520音速y(米/秒)331334337340343(1)根据表内数据作图，由图可看出变量__________随________的变化．(2)用x表示y的关系式为________．(3)气温为22℃时，某人看到烟花燃放5秒后才听到声响，那么此人与燃放的烟花所在地约相距________米．【答案】(1)音速，气温；(2)y＝eq\f(3,5)x＋331；(3)1721【解析】(1)此图反映的是变量音速随气温的变化．(2)由表中数据可知，气温每升高5℃，音速加快3米/秒，又过点(0,331)，故所求函数关系式为y＝eq\f(3,5)x＋331.(3)由(2)可知气温为22℃时音速y＝eq\f(3,5)×22＋331，故此人与燃放的烟花所在地约相距为5×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)×22＋331))＝66＋1655＝1721(米)．用图表表示两变量间的关系借助图表可以直观地显现两个变量的关系，便于我们分析和猜想，从而发现规律．【变式2-1】（24-25高一上·上海黄浦·期末）某同学离家去学校，由于怕迟到，所以一开始跑步，跑累了再走余下的路程，在下图所示中，纵轴表示离校的距离，横轴表示出发后的时间，则下列四个图象中较符合该同学走法的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据一开始离学校最远，排除部分选项，再根据跑和走离学校的距离减少的快慢判断.【解析】首先一开始离学校最远，则AC错误；开始是跑，所以在较短的时间内离学校的距离减少的较快，而后是走，所以离学校的距离减少的较慢，故选：D.【变式2-2】心理学家发现，学生对概念的接受能力y与提出概念所用的时间x(单位：分钟)之间有如下关系：(其中0≤x≤20)提出概念所用时间(x)257101213141720对概念的接受能力(y)47.853.556.35959.859.959.858.355(1)上表中反映了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？(2)当提出概念所用时间是10分钟时，学生的接受能力是多少？(3)根据表格中的数据，你认为提出概念几分钟时，学生的接受能力最强？(4)从表格中可知，当时间x在什么范围内时，学生的接受能力逐步增强？当时间x在什么范围内时，学生的接受能力逐步降低？【解析】(1)画出图如下：反映了提出概念所用的时间x和对概念接受能力y两个变量之间的关系；其中x是自变量，y是因变量．(2)由题中表格可知，当提出概念所用时间为10分钟时，学生接受能力是59.(3)提出概念所用的时间为13分钟时，学生的接受能力最强．(4)当x在2分钟至13分钟的范围内时，学生的接受能力逐步增强；当x在13分钟至20分钟的范围内时，学生的接受能力逐步降低.一、单选题1．谚语“瑞雪兆丰年”说明()A．下雪与来年的丰收具有依赖关系B．下雪与来年的丰收具有函数关系C．下雪是丰收的函数D．丰收是下雪的函数【答案】A【解析】积雪层对越冬作物具有防冻保暖的作用，大雪可以防止土壤中的热量向外散发，又可阻止外界冷空气的侵入，具有增墒肥田的作用．所以下雪与来年的丰收具有依赖关系，但不是函数关系．2．已知变量x，y满足y＝|2026x|，则下列说法错误的是()A．x，y之间有依赖关系 B．x，y之间有函数关系C．y是x的函数 D．x是y的函数【答案】D【解析】当y取一个正值时，有两个x与它对应，故D错．3．张大明种植了10亩小麦，每亩施肥xkg，小麦总产量ykg，则()A．x，y之间有依赖关系 B．x，y之间有函数关系C．y是x的函数 D．x是y的函数【答案】A【解析】虽然小麦总产量y与每亩施肥量x之间存在依赖关系，但小麦总产量y还受气候、管理等其他因素的影响，所以x，y之间无函数关系．4．国内快递1000g以内的包裹的邮资标准如表：运送距离x(km)0<x≤500500<x≤10001000<x≤1500…邮资y(元)5.006.007.00…如果某人在西安要邮寄800g的包裹到距西安1200km的某地，那么他应付的邮资是()A．5.00元 B．6.00元C．7.00元 D．无法确定【答案】C【解析】∵800g<1000g，∴适用表格给出的邮资标准．∵1000<1200<1500，∴应付邮资7.00元．5.如图，将一个“瘦长”的圆柱钢锭经过多次锻压成一个“矮胖”的圆柱钢锭(不计损耗)，则在锻压过程中，圆柱体积与高的关系可用图象表示为()【答案】B【解析】圆柱钢锭的体积不随高的变化而变化．6．星期天，小明从家出发，出去散步，图中描述了他散步过程中离家的距离s(m)与散步所用的时间t(min)之间的函数关系，根据图象，下面的描述符合小明散步情况的是()A．从家出发，到一个公共阅报栏，看了一会儿报，就回家了B．从家出发，到一个公共阅报栏，看了一会儿报后，继续向前走了一段，然后回家了C．从家出发，散了一会儿步(没有停留)，然后回家了D．从家出发，散了一会儿步，就找同学去了，18min后才回家【答案】B【解析】水平线段表明小明离家的距离始终是300米，然后离家距离达到500米，说明小明从家出发后，到一个公共阅报栏，看了一会儿报后，继续向前走了一段，然后回家了．7．(2025·杭州高一检测)如图所示,点P按A→B→C→M的顺序在边长为1的正方形边上运动,M是CD边的中点.设点P经过的路程为自变量,△APM的面积为y,则函数y的大致图像是图中的()【答案】A【解析】点P由A→B→C→M时,S△APM由0增到,然后降到,最后降到0.8．（24-25高一上·江西九江·阶段练习）有一个盛水的容器，由悬在它的上空的一条水管均匀地注水，最后把容器注满，在注水过程中时刻t与水面高度y关系图像如图，图中为一线段，与之对应的容器形状是如下四个图中的（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据时刻t与水面高度y关系图像，确定容器横截面面积的变化可得．【解析】开始水面高度变化幅度逐渐变慢，后面高度变化幅度逐渐变快，最后变化幅度不变，因此容器横截面面积是逐渐变大，然后逐渐变小，后面面积不变，只有C相符．故选：C．二、多选题9.下列各组中两个变量之间为函数的关系的是（）A.圆的面积和它的半径B.速度不变的情况下，汽车行驶的路程与行驶时间；C.家庭收入愈多，其消费支出也有增长的趋势D.正三角形的面积和它的边长．【答案】ABD【解析】A中，圆的面积S与半径r之间存在S＝πr2的关系；B中，在速度不变的情况下，行驶路程s与行驶时间t之间存在正比例关系；C中，家庭收入与其消费支出之间存在依赖关系，但具有不确定性；D中，正三角形的面积S与其边长a间存在S＝eq\f(\r(3),4)a2的关系．综上，ABCD中两个变量间都存在依赖关系，其中ABD是函数关系．10．如图是反映某市某一天的温度随时间变化情况的图象,则()A．这天15时的温度最高B．这天3时的温度最低C．这天的最高温度与最低温度相差13℃D．这天21时的温度是30℃【答案】ABD【解析】这天的最高温度与最低温度相差为36－22＝14℃，故C错．11．（24-25高一上·广东广州·期中）一辆赛车在一个周长为的封闭跑道上行驶，跑道由几段直道和弯道组成，图1反应了赛车在“计时赛”整个第二圈的行驶速度与行驶路程之间的关系．根据图1，以下四个说法中正确的是（

）A．在这第二圈的到之间，赛车速度逐渐增加B．在整个跑道，最长的直线路程不超过C．大约在这第二圈的到之间，赛车开始了那段最长直线路程的行驶D．在图2的四条曲线（注：为初始记录数据位置）中，曲线最能符合赛车的运动轨迹【答案】AD【分析】根据弯道减速，直道可加速，再根据图像逐一判断即可.【解析】由图1知，在2.6km到2.8km之间，图象上升，故在这第二圈的2.6km到2.8km之间，赛车速度逐渐增加，故A正确；在整个跑道上，高速行驶时最长为(1.8，2.4)之间，但直道加减速也有过程，故最长的直线路程有可能超过0.6km，故B不正确；最长直线路程应在1.4到1.8之间开始，故C不正确；由图1可知，跑道应有3个弯道，且两长一短，故D正确；故选：AD.三、填空题12．假定甲、乙两人在一次百米赛跑中，路程与时间的关系如图所示，那么可以知道：(1)甲、乙两人中先到达终点的是________．(2)乙在这次赛跑中的速度为________m/s.【答案】(1)甲，(2)8【解析】设甲、乙的速度分别为v1，v2，则v1＝eq\f(100,12)＝eq\f(25,3)(m/s)，v2＝eq\f(100,12.5)＝8(m/s)，v1>v2.13．圆柱的高为10cm，当圆柱底面半径变化时，圆柱的体积也随之发生变化，在这个变化过程中，______是自变量，______是因变量．设圆柱底面半径为r(cm)，圆柱的体积V(cm3)与r(cm)的关系式为_____，当底面半径从2cm变化到5cm时，圆柱的体积由_____cm3变化到____cm3.【答案】圆柱底面半径圆柱的体积，V＝10πr2，40π，250π【解析】圆柱的体积为V＝πr2h(其中r表示圆柱的底面半径，h表示圆柱的高)．14．在一次实验中，马达同学把一根弹簧的上端固定、在其下端悬挂物体，下面是测得的弹簧的长度y与所挂物体质量x的一组对应值．所挂物体质量x/kg012345弹簧长度y/cm182022242628（1）上表反映了哪两个变量之间的关系，是自变量，是因变量．（2）当所挂物体重量为3千克时，弹簧长；不挂重物时弹簧长．（3）弹簧长度y与所挂物体质量x之间的关系可以用式子表示为：．【答案】所挂物体的质量，弹簧的长度，24cm，18cm，y＝2x+18（x≥0）【解析】（1）上表反映了弹簧长度与所挂物体质量之间的关系；其中所挂物体质量是自变量，弹簧长度是因变量；（2）当所挂物体重量为3千克时，弹簧长24厘米；当不挂重物时，弹簧长18厘米；（3）弹簧长度y与所挂物体质量x之间的关系可以用式子表示为：．四、解答题15．下列过程中变量之间是否存在依赖关系，其中哪些是函数关系：（1）地球绕太阳公转的过程中，二者的距离与时间的关系；（2）在空中作斜抛运动的铅球，铅球距地面的高度与时间的关系；（3）某水文观测点记录的水位与时间的关系；（4）某十字路口，通过汽车的数量与时间的关系.【解析】根据若两个变量间存在依赖关系，且由对于其中一个变量的每一个值都有另一个变量的唯一值和它对应，则两个变量间有函数关系。据此得（1）依赖关系；（2）函数关系；（3）函数关系；（4）函数关系.16．如图的曲线表示一人骑自行车离家的距离s(千米)与时间t(时)的关系．骑车者9时离开家，15时回家．根据这个曲线图，请你回答下列问题：(1)最初到达离家最远的地方是什么时间？离家多远？(2)何时开始第一次休息？休息多长时间？(3)第一次休息时，离家多远？(4)11：00到12：00他骑了多少千米？(5)他在9：00～10：00和10：00～10：30的平均速度分别是多少？(6)他在哪段时间里停止前进并休息用午餐？【解析】(1)最初到达离家最远的地方的时间是12时，离家30千米．(2)10：30开始第一次休息，休息了半小时．(3)第一次休息时，离家17千米．(4)11：00至12：00，他骑了13千米．(5)9：00～10：00的平均速度是10千米/时；10：00～10：30的平均速度是14千米/时．(6)从12时到13时停止前进，并休息用午餐．17．向平静的湖面投一块石子，便会形成以落水点为圆心的一系列同心圆．(1)在这个变化过程中，有哪些变量？(2)若圆的面积用S表示，半径用R表示，则S和R的关系是什么？它们是常量还是变量？(3)若圆的周长用C表示，半径用R表示，则C与R的关系式是什么？【解析】(1