专题1.1 集合的含义与表示（高效培优讲义）数学北师大版2019必修第一册（原卷版）

13/13专题1.1集合的含义与表示教学目标1.通过实例，了解集合的含义，理解元素与集合的属于关系。2.针对具体问题，能在自然语言和图形语言的基础上，用符号语言刻画集合。3.在具体情境中，了解全集与空集的含义。教学重难点1.重点（1）元素与集合的关系；（2）集合中元素的三大特性；（3）集合的表示方法。2.难点（1）利用集合中元素特性求参；（2）集合的表示方法。知识点01集合与元素的相关概念1．元素与集合的概念(1)集合：一般地，我们把的全体称为集合，通常用大写字母A,B,C,…表示.(2)元素：集合中的叫作这个集合的元素.元素常用小写字母a,b,c，…表示.(3)元素的特性：、、.【即学即练】1．2025年9月，我们踏入了心仪的高中校园，找到了自己的班级.则下列对象能构成一个集合的是哪些？并说明你的理由.（1）你所在班级中全体同学；（2）班级中比较高的同学；（3）班级中身高超过178cm的同学；（4）班级中比较胖的同学；（5）班级中体重超过75kg的同学；（6）学习成绩比较好的同学.知识点02元素与集合的关系关系语言描述记法读法属于a是集合A中的元素____a属于集合A不属于a不是集合A中的元素____a不属于集合A【即学即练】1．用符合“”或“”填空.（1）设集合A是小于6的所有实数组成的集合，则_____，_____；（2）设集合B是满足方程（为正整数）的实数组成的集合，则3___，5___；（3）设集合C是方程的有序实数对组成的集合，则-1_____，_____.知识点03常用的数集及其记法3．常用的数集及其记法常用的数集自然数集正整数集整数集有理数集实数集记法【即学即练】1．下列关系：①0.3∈Q；②Q；③；④Q.其中不正确的个数为（）.A．1B．2C．3D．4知识点04集合的表示方法1．列举法(1)定义：列举法是把集合中的元素出来写在花括号“{}”内表示集合的方法.(2)书写形式：一般用集合表示为.温馨提示：运用列举法表示集合，应注意：(1)元素间用“，”分隔，不能用其它符号代替；(2)元素不重复；(3)元素间无顺序；(4)“{}”表示“所有”、“整体”的含义，不能省略2．描述法(1)定义：通过表示集合的方法叫作描述法．(2)书写形式：温馨提示：用描述法表示集合，应注意：(1)应弄清楚集合的属性，是数集、点集还是其他的类型．一般地，数集用一个字母代表其元素，而点集则用一个有序数对来表示．(2)若描述部分出现元素记号以外的字母，要对新字母说明其含义或取值范围．(3)多层描述时，应当准确使用“且”和“或”，所有描述的内容都要写在集合内．【即学即练】1．用列举法表示下列集合：（1）小于10的所有自然数组成的集合；（2）方程的所有实数根组成的集合；（3）由1～20以内的所有素数组成的集合；（4）方程的所有实数根组成的集合；2．用描述法表示下列集合：(1)被3除余1的所有自然数组成的集合；(2)比1大又比10小的所有实数组成的集合；(3)平面直角坐标系中坐标轴上所有点组成的集合.知识点05区间1.一般区间的表示设a，b是两个实数，而且a<b，规定如下表：定义名称符号几何表示{x|a≤x≤b}闭区间_____{x|a<x<b}开区间______{x|a≤x<b}左闭右开区间_____{x|a<x≤b}左开右闭区间______这里实数a，b都叫作相应区间的端点．2.特殊区间的表示定义R{x|x≥a}{x|x＞a}{x|x≤a}{x|x＜a}符号_____________________________【即学即练】1．将下列集合用区间以及数轴表示出来：(1)；(2)或；(3)且；(4).题型01集合的基本概念【典例】下列对象不能组成集合的是（）A．不超过20的质数 B．π的近似值 C．方程x2＝1的实数根 D．函数y＝x2，x∈R的最小值判断指定的一组对象能否构成集合，关键在于能否找到一个明确的标准，使得对于任何一个对象，都能确定它是不是给定集合中的元素．【变式1】以下各组对象不能组成集合的是（）A．中国古代四大发明 B．地球上的小河流 C．方程x2﹣7＝0的实数解 D．周长为10cm的三角形【变式2】（多选题）下列各对象可以组成集合的是（）A．比1大的全体实数 B．江西师大附中2025届全体高一学生 C．高一年级视力比较好的同学 D．中国著名的数学家【变式3】（2021秋•大安市校级月考）有下列各组对象：①接近于0的数的全体；②比较小的正整数的全体；③平面上到点O的距离等于1的点的全体；④直角三角形的全体．其中能构成集合的个数是（）A．2 B．3 C．4 D．5题型02求集合中元素的个数【典例】已知集合A＝{0,1,2}，则集合B＝{x－y|x∈A，y∈A}中元素的个数是()A．1 B．3 C．5 D．9确定集合中元素的个数的方法是枚举法，即逐一列举出它的所有元素，其中重复的元素只能算一个，最终再统计出元素总的个数.【变式1】若集合，，则集合中的元素的个数为A．5 B．4 C．3 D．2【变式2】已知集合，，则中所含元素的个数为A．2 B．3 C．4 D．6【变式3】已知集合，，则集合中的元素的个数为（

）A．7 B．8 C．9 D．10题型03判断元素与集合的关系1.直接法【典例1】以下表示元素与集合的关系中正确的是()A．B．C．D．如果集合中的元素是直接给出或容易求得，则利用直接法判断元素在已知集合中是否出现即可．【变式1】下列说法正确的是（

）A． B． C． D．【变式2】已知集合，则下列判断错误的是（

）A． B． C． D．2.推理法【典例2】已知集合，且，则（

）A． B． C． D．(1)对于一些没有直接表示的集合，只要判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可，此时应首先明确已知集合中的元素具有什么特征．(2)利用推理法判断一个对象是不是某个集合的元素，首先要明确已知集合的元素具有什么属性，即该集合的元素要符合哪种表达式或满足哪种条件，然后判断此对象是否也具有这种属性，从而确定该元素与已知集合的关系.【变式1】集合，且，则有（

）A． B． C． D．不属于中的任意一个【变式2】已知集合，则（

）A． B． C． D．【变式3】已知非空数集M具有如下性质：①若，则；②若，则.下列说法中正确的有（

）.A．. B．.C．若，则. D．若，则.题型04数集与点集的辨析【典例】下列六种表示法：①{x＝－1，y＝2}；②{(x，y)|x＝－1，y＝2}；③{－1,2}；④(－1,2)；⑤{(－1,2)}；⑥{(x，y)|x＝－1或y＝2}．能表示方程组的解集的是()A．①②③④⑤⑥ B．②③④⑤ C．②⑤ D．②⑤⑥一般地，数集的代表元素用一个字母表示，点集或二元一次方程组的解集的代表元素用有序实数对表示.【变式1】(多选)有下面四种表示方法：其中能正确表示方程组的解集的是（

）A．或 B．C． D．【变式2】（多选）下列关于集合的描述，正确的是（

）A．偶数集用描述法可以表示为B．方程组的解集可表示为C．方程的解构成的集合，用列举法可表示为D．集合与集合交集为空集题型05选择适当的方法表示集合【典例】用适当的方法表示下列集合：(1)一年中有31天的月份的全体；(2)大于小于12.8的整数的全体；(3)梯形的全体构成的集合；(4)所有能被3整除的数的集合；集合的常用表示方法有列举法和描述法.(1)列举法适合表示有限集，当集合中的元素个数较少时，用列举法表示集合较为方便，而且使人一目了然.但对于元素较多的有限集，如果其中的元素具有规律性，那么也可以用列举法表示，此时常用省略号来表示多个元素.(2)用描述法表示的集合，认识它一要看集合中竖线左边代表元素是什么形式;二要看竖线右边元素满足什么条件.对无限集(集合中元素个数无限)或元素较多的有限集宜用描述法表示.【变式1】用列举法表示集合为．【变式2】图中阴影部分（含边界）的点组成的集合用描述法表示为．【变式3】用适当的方法表示下列集合:(1)整数中由所有非负奇数组成的集合；(2)由所有小于10的既是奇数又是质数的自然数组成的集合；(3)平面直角坐标系内所有第三象限的点组成的集合；(4)方程x2-4x+16=0的实数解组成的集合.(5)方程组的实数解集.题型06利用元素与集合的关系求参1.利用分类讨论思想求解【典例1】举例说明：设集合M中含有三个元素3，，：(1)求实数，应满足的条件；(2)若，求实数的值.互异性是集合中元素的重要特性之一,解决此类含参数的问题时,求出a的所有可能值之后,必须代回原集合进行检验.1.若，则a的值为（

）A．－1 B．0 C．1 D．2【变式2】若集合，则实数的取值可以是（

）A．2 B．3 C． D．5【变式3】已知集合，且，则实数的值为．【变式4】已知集合，，若，则实数.2.利用根的判别式或韦达定理求解【典例2】已知集合A={x|ax2+2x+1=0}.(1)若A中没有任何元素,求实数a的取值范围;(2)若A中只有一个元素,求实数a的取值范围;(3)若A中至少有一个元素,求实数a的取值范围;(4)若A中至多有一个元素,求实数a的取值范围.解决含参数、其代表元素是一元二次方程的解的集合有关问题时，可将求字母的范围转化为研究方程根的情况的问题，即研究根的判别式的符号，对于某些二次项系数为字母参数的方程，还要分类讨论方程的类型.【变式1】若集合中恰有一个元素，则实数a的值是.【变式2】若非空集合不是单元素集，则其中所有元素之和.【变式3】已知集合为实数.(1)若集合是空集，求实数的取值范围；(2)若集合是单元素集，求实数的值；(3)若集合中至多有一个元素，求实数的取值范围.题型07集合中的新定义问题【典例】设集合P＝{3，4，5}，Q＝{6，7}，定义P⊗Q＝{（a，b）|a∈P，b∈Q}，则P⊗Q中元素的个数为（）A．3 B．4 C．5 D．6解决集合中的新定义题，要耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求逐步分析、运算、验证，使问题得以解决【变式1】设P＝{1，2，3，4}，Q＝{4，5，6，7，8}，定义P*Q＝{（a，b）|a∈P，b∈Q，a≠b}，则P*Q中元素的个数为（）A．4 B．5 C．19 D．20【变式2】设集合A＝{﹣2，1}，B＝{﹣1，2}，定义集合A⊗B＝{x|x＝x1x2，x1∈A，x2∈B}，则A⊗B中所有元素之积为（）A．﹣8 B．﹣16 C．8 D．16【变式3】设是整数集的一个非空子集，对于，如果且，那么是的一个“孤立元”，给定，由的3个元素构成的所有集合中，含有“孤立元”的集合共有（

）个．A．14 B．16 C．18 D．20【变式4】当一个非空数集G满足“如果，则，且时，”时，我们称G就是一个数域，以下四个关于数域的命题：①是任何数域的元素；②若数域G有非零元素，则；③集合是一个数域；④有理数集是一个数域，其中真命题有（

）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个题型08集合中的开放探究题【典例】已知集合A的元素全为实数，且满足：若，则.（1）若，求出A中其它所有元素；（2）0是不是集合A中的元素？请你设计一个实数，再求出A中的所有元素？集合离不开元素,元素是集合的核心，因此解决有关集合中的探索性问题时，可以从集合中的元素入手，作为解题的切入口，同时还需注意集合中元素的互异性.【变式1】已知数集M同时满足以下条件：①M中不含元素－1，0，1；②若a∈M，则eq\f(1＋a,1－a)∈M.则下列结论正确的是（）A．集合M中至多有2个元素B．集合M中至多有3个元素C．集合M中至少有4个元素D．集合M中有无穷多个元素【变式2】已知集合，写出一个满足集合至少有5个元素的的值：．【变式3】设A是非空实数集，且.若对于任意的，都有，则称集合A具有性质；若对于任意的，都有，则称集合A具有性质.(1)写出一个恰含有两个元素且具有性质的集合A；(2)若非空实数集A具有性质，求证：集合A具有性质.单选题1．在“①难解的题目；②方程在实数集内的解；③直角坐标平面上第四象限内的所有点；④很多多项式”中，能够组成集合的是（

）A．②③ B．①③ C．②④ D．①②④2．已知集合.则（

）A． B． C． D．3．已知集合，，若，且，则a的取值范围是（

）A． B．C． D．4．下列各组集合中表示同一集合的是（

）A．B．C．D．5．已知集合，且，则（

）A． B． C． D．6．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，为了纪念数学家高斯，我们把函数称为高斯函数，其中表示不超过的最大整数，如，则点集所表示的平面区域的面积是（

）A．4 B．2 C．6 D．1多选题7.下面四个说法中正确的是（

）A．10以内的质数组成的集