专题1.3 集合的基本运算（高效培优讲义）数学北师大版2019必修第一册（解析版）

27/28专题1.3集合的基本运算教学目标1.理解交集、并集、补集运算的含义，会利用定义求简单集合的交集、并集和补集；(2)能够用集合语言和图形语言(Venn图和数轴)表示交集、并集和补集；(3)让学生体会到图形(数形结合思想)对理解抽象概念的作用；(4)会利用数轴求无限集的交集、并集的运算，体会数形结合在解决问题中的作用．教学重难点1.重点(1)集合的交集、并集与补集概念的理解；(2)求集合的交集、并集和补集．2.难点(1)对集合运算概念的理解；(2)利用数形结合思想解决集合中的含参问题．知识点01交集1.交集的概念知识点自然语言符号语言图形语言(Venn图)交集对于两个集合、，由既属于集合又属于集合的所有元素组成的集合，叫做集合与的交集.记作，读作“A交B”.2.交集的性质A，B【即学即练】1．已知集合则（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】，故，故选：D.2．设集合，则（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】集合，则.故选：C.知识点02并集1.并集的概念知识点自然语言符号语言图形语言(Venn图)并集对于两个集合、，由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合，叫做集合与的并集.记作，读作“A并B”.2．并集的性质，【即学即练】1．已知集合，，则（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因为集合，，故.故选：B.2．已知集合，，则（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由，所以故选：D知识点03全集与补集1.全集与补集的概念知识点自然语言符号语言图形语言(Venn图)全集与补集（1）全集：如果一个集合含有我们研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，记作.（2）对于一个集合，由全集中所有不属于的元素组成的集合，叫做中子集的补集（或余集）.＝2.补集的性质（1）补集是全集的子集，即;（2）=.【即学即练】1．设全集，集合，则中元素个数为（

）A．0 B．3 C．5 D．8【答案】C【解析】因为，所以，中的元素个数为，故选：C．2．已知集合，，则（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因为集合，，故.故选：B.知识点04德·摩根定律（拓展）（1）交集的补集等于补集的并集：;.（2）并集的补集等于补集的交集：.利用这些性质能简化集合的交、并、补的综合运算.【即学即练】1.设集合U＝{1,2,3,4,5}，A＝{1,3}，B＝{2,3,4}，则()∩等于()．A．{1}B．{5}C．{2,4}D．{1,2,4,5}【答案】B【分析】本题可按先后顺序直接计算,也可利用德·摩根定律求解.【解析】解法1：={2,4,5}和＝{1,5}，故()∩=｛5｝.解法2：A∪B＝{1,2,3,4}，由德·摩根定律得()∩.2.设集合U＝R，，则()=.【答案】【解析】因为，所以由德·摩根定律得().知识点05容斥定理——求集合中元素的个数（拓展）1.容斥定理在部分有限集中,我们经常遇到有关集合中元素的个数问题,我们常用Venn图表示两集合的交、并、补,如果用card表示有限集合中元素的个数,即card(A)表示有限集A的元素个数,则有如下结论:(1)card(A∪B)=card(A)+card(B)-card(A∩B);(2)card(A∪B∪C)=card(A)+card(B)+card(C)-card(A∩B)-card(A∩C)-card(B∩C)+card(A∩B∩C).这一结论被称为容斥定理.2．容斥定理的两种重要变形card(A)+card(B)=card(A∪B)+card(A∩B)card(A∩B)=card(A)+card(B)-card(A∪B).【即学即练】1共有50名学生参加甲、乙两项体育活动，每人至少参加了一项，参加甲项的学生有30名，参加乙项的学生有25名，则仅参加了一项活动的学生人数为A．50B．45C．40D．35【答案】B【分析】思路1：先转化为集合语言，再用Venn图来分析解决问题；思路2：先转化为集合语言，再利用上述结论：求解.【解析】解法1：A∩BA∩BA30-xxB25-x设集合A，B分别表示参加甲项、乙项活动的学生的集合，则A有30个元素，B有25个元素，A∪B有50个元素，设A∩B中元素的个数为x个.由Venn图可知，A∪B的元素有三部分：（1）属于A但不属于B的元素,有（30-x）个；（2）属于B但不属于A的元素,有（25-x）个；（3）A、B的公共元素,有x个.所以（30-x）+（25-x）+x=50，解得x=5，所以仅参加一项活动的学生人数为50-x=45.解法2:设集合A，B分别表示参加甲项、乙项活动的学生的集合，则所以，即两项活动都参加的学生人数为5，所以仅参加了一项活动的学生人数为45.2．高三1班有12名同学读过《牡丹亭》，有8名同学读过《醒世恒言》，两者都读过的同学有4名，则该班学生中至少读过《牡丹亭》和《醒世恒言》中的一本的学生有（

）A．16人 B．18人 C．20人 D．24人【答案】A【分析】根据集合的容斥原理即可求解.【解析】设集合“高三1班读过《牡丹亭》的学生”，其元素个数记为；集合“高三1班读过《醒世恒言》的学生”，其元素个数记为；则，则.故该班学生中至少读过《牡丹亭》和《醒世恒言》中的一本的学生有16人.故选：A.题型01交集、并集或补集运算【典例1】已知集合，，则()A.B.C.D.【答案】B【分析】先求出集合B中的元素，再找A与B的公共元素.【解析】∵，，∴A与B中的公共元素有1，4，即．【典例2】已知集合，则（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】将两个集合中的所有元素合并在一起即得并集.【解析】因为，所以.故选：D【典例3】设全集，集合，则集合的子集的个数是（）A.16B.8C.7D.4【答案】B【解析】因为，，所以，集合的子集的个数是，故选B.在进行集合间的交、并、补运算时，需注意以下两点：（1）集合间的运算得到的新集合一定要满足集合中元素的确定性、互异性、无序性，因此，在求解含参数的问题时，注意隐含的条件．（2）如果集合间的元素已知，或集合间的关系相对复杂，又涉及集合中的元素问题，解题过程中常借助于Venn图，这样处理相对来说较形象、直观，且解题时不易出错．【变式1】已知集合，则的子集的个数为（

）A．4 B．8 C．15 D．16【答案】D【分析】根据集合并集的概念与运算，求得，进而求得其子集的个数，得到答案.【解析】因为，所以，所以的子集的个数为.故选：D.【变式2】已知集合，集合，则下列结论正确的是A.B.C.D.【答案】B【解析】由题意得，结合各选项知B正确．【变式3】若全集，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用交集，补集与子集的意逐项判断即可.【解析】因为，，所以，，故AD错误；所以，，所以，，故B正确，C错误.故选：B.题型02交、并、补混合运算1.分步求解法【典例1】已知全集，，，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先求全集，进而求，最后根据集合的交集运算即可求解.【解析】依题意得，，所以．故选：C.解决解合的交、并、补混合运算时，一般先运算括号内的部分，如求(CuA)∩B）时，可先求出(CuA)，再求交集;求Cu(AB)时，可先求出AB,再求补集，即将集合的混合运算分成多步分别进行.【变式1】设集合，，，则（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】，．【变式2】已知全集，集合，，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先求U，再结合集合并集和补集概念，求出结果.【解析】由题知解得，所以全集，因为，，所以，所以.故选：D.2.数形结合法【典例2】已知全集U＝R，，P＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x≤0或x≥\f(5,2)))))，求(∁UB)∪P，(A∩B)∩(∁UP)．【答案】(∁UB)∪P=eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x≤0或x≥\f(5,2))))).，(A∩B)∩(∁UP)={x0＜x＜2}．【分析】本题考查应用交集、并集的定义进行集合的运算．因给定的集合满足的条件是不等式，故可借助于数轴求解．【解析】∵∁UB＝{eq\b\lc\\rc\|(\a\vs4\al\co1(x))x≤－1或x＞3}，∁UP＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(0＜x＜\f(5,2)))))在数轴上表示集合A，B，∁UB,∁UP如下图.图（1）图（2）由图（1）可知(∁UB)∪P＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x≤0或x≥\f(5,2))))).由图（2）可知(A∩B)∩(∁UP)＝{eq\b\lc\\rc\|(\a\vs4\al\co1(x))0＜x＜2}．求涉及含不等式的集合的混合运算时，借助于数轴是常用的方法.交集找数轴上折线重叠的区域，并集找数轴上折线扫过的所有区域.【变式】已知全集U＝R，，，则()A． B． C． D．【答案】A【解析】利用数轴表示集合，如图所示，取所有元素，得,故．题型03由Venn图给出的集合混合运算【典例】设集合，，则图中阴影部分表示的集合为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先求出集合的交集，然后求出集合的并集，最后求出阴影部分的元素组成.【解析】因为，所以，所以阴影部分表示的集合为.故选：C.对于给出Venn图的集合混合运算，求解的关键是：通过观图将阴影部分对应的集合转化为已知集合间的混合运算，再进一步求其结果.【变式1】已知全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由，解得，所以，又因为，所以，图中阴影部分表示的集合为，故选：A【变式2】已知全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由阴影部分可知对应的集合为，即可得到结论.【解析】阴影部分对应的集合为，∵全集，集合，∴.故选：D.题型04构造Venn图破解集合的混合运算【典例】已知全集∪={x|x取不大于9的正整数}，A、B是∪的两个子集，且A∩（CuB）={2，4，8}，(CuA)∩B={1，3}，(CuA)∩（CuB）={6,9}，求集合A，B.【答案】【分析】根据补集的定义，A,B都是全集U的子集，可以利用集合交集、并集的关系求出A，B中的元素，从而解决问题，也可以用Venn图直接得到结果.【解析】解法1：解法1：，，，，解法2：，画出Venn图，如图所示，由图可知．对于元素是离散型的两个有限集，如果集合间的关系相对繁杂又牵扯到集合中的元素问题，解答过程中常常借助于Venn图来求解，这样处理起问题来，相对来说较形象、直观，且解答时不易出错.【变式】已知全集∪={x|x取不大于30的质数}，A、B是∪的两个子集，且A∩（CuB）={5，13，23}，(CuA)∩B={11，19，29}，(CuA)∩（CuB）={3,7}，求A，B.【答案】A={2，5，13，17，23}，B={2，11，17，19，29}【解析】依题意得，∪={2，3，5，7，11，13，17，19，23，29}用Venn表示出A∩(CuB)，(CuA)∩B及(CuA)∩（CuB）5513A23U2171119B2937观图可得Cu(A∪B)={3，7}，A∩B={2，17},∴A={2，5，13，17，23}，B={2，11，17，19，29}.题型05利用集合的运算结果求参【典例】（1）设集合A＝{x2，2x－1，－4}，B＝{x－5，1－x，9}，若A∩B＝{9}，求实数x的值及A∪B；（2）已知全集,，，求实数的值.【答案】（1）x=-3，A∪B＝{－8，－7，－4，4，9}；（2）2或8.【分析】(1)根据A∩B＝{9}，列出关于x的方程，求出x；（2）先根据补集的定义确定A，再看|a-5|与哪个元素相等.【解析】（1）由于9∈A，可得x2＝9或2x－1＝9，解得x＝±3或x＝5.①当x＝3时，A＝{9，5，－4}，B＝{－2，－2，9}，B中元素违背了互异性，舍去．②当x＝－3时，A＝{9，－7，－4}，B＝{－8，4，9}，A∩B＝{9}，符合题意，故A∪B＝{－7，－4，－8，4，9}．③当x＝5时，A＝{25，9，－4}，B＝{0，－4，9}，A∩B＝{－4，9}，与A∩B＝{9}矛盾，故舍去．综上所述，x=-3，A∪B＝{－8，－7，－4，4，9}．(2)根据补集的定义知，且A与，故，所以，或8.对于已知集合的运算结果求参数值的问题，可直接根据集合的交、并、补运算的概念得到不同集合中元素之间的关系，再列方程组求解.这类有时也可借助数形结合思想转化求解.【变式1】已知集合，且，则实数a的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由得或．又，所以，故．【变式2】集合A＝{x|－1＜x＜1}，B＝{x|x＜a}．(1)若A∩B＝，求a的取值范围；(2)若A∪B＝{x|x＜1}，求a的取值范围．【答案】（1）a≤－1；（2）－1＜a≤1【分析】本题主要考查有关集合的交集与并集的运算问题．A∩B＝，那么集合A，B中没有公共部分．利用数轴可以直观、形象地表现出数集A，B所表示的范围，从而求出a的值．【解析】(1)如图所示，A＝{x|－1＜x＜1}，B＝{x|x＜a}，且A∩B＝，∴数轴上点a在－1的左侧(含点－1)．∴a≤－1.(2)如图所示，A＝{x|－1＜x＜1}，B＝{x|x＜a}，且A∪B＝{x|x＜1}，∴数轴上点a在－1和1之间(含点1，但不含点－1)，∴－1＜a≤1.题型06利用集合的运算性质求参【典例】已知集合(1)若,求实数的取值范围;(2)若,求实数的取值范围.【答案】（1）或；（2）.【分析】因为的含义是;的含义是且另外在讨论的过程中,还需注意是的一种情况,不要漏掉.【解析】(1)因为,所以eq\o\ac(○,1)当时,,解得;eq\o\ac(○,2)当或时,,解得,此时;eq\o\ac(○,3)当时,是方程的两个根,则有,解得综上所述,实数的取值范围是或(2)因为,所以.因为，且集合中至多有两个元素,所以.由(1)知利用集合的交、并集运算，容易推得以下性质成立：合理运用上述性质，可以把转化为集合之间的关系,便转化为上一节我们所学习过的题型,最后再化归为常见的方程、不等式问题.【变式1】已知集合A＝{x|﹣2≤x≤7}，B＝{x|m+1≤x≤2m﹣1}．（1）当用m＝5时，求A∩B，A∪B；（2）若A∩B＝B，求实数m的取值范围．【答案】（1）A∩B＝{x|6≤x≤7}，A∪B＝{x|﹣2≤x≤9}；（2）（﹣∞，4]．【分析】（1）求出集合B，由此能求出A∩B，A∪B．（2）由A∪B＝A，得B⊆A，当B＝∅时，m+1＞2m﹣1，当B≠∅时，m+1≤2m−1m+1≥−2【解析】（1）∵集合A＝{x|﹣2≤x≤7}，B＝{x|m+1≤x≤2m﹣1}．m＝5时，B＝{x|6≤x≤9}，∴A∩B＝{x|6≤x≤7}，A∪B＝{x|﹣2≤x≤9}．（2）∵集合A＝{x|﹣2≤x≤7}，B＝{x|m+1≤x≤2m﹣1}，若A∩B＝B，则B⊆A，∴当B＝∅时，m+1＞2m﹣1，解得m＜2，当B≠∅时，m+1≤2m−1m+1≥−2综上，实数m的取值范围是（﹣∞，4]．【变式2】已知集合A＝{x|﹣3≤x≤2}，B＝{x|2m﹣1≤x≤m+3}．（1）当m＝0时，求∁R（A∩B）；（2）若A∪B＝A，求实数m的取值范围．【答案】（1）{x|x＜﹣1或x＞2}；（2）{m|m＞4或m＝﹣1}.【分析】（1）当m＝0时，求出集合B＝{x|﹣1≤x≤3}，进而求出A∩B，由此能求出∁R（A∩B）；（2）由A∪B＝A，得B⊆A，当B＝∅时，2m﹣1＞m+3，当B≠∅时，2m−1≤m+32m−1≥−3【解析】（1）当m＝0时，集合A＝{x|﹣3≤x≤2}，B＝{x|﹣1≤x≤3}，A∩B＝{x|﹣1≤x≤2}，∴∁R（A∩B）＝{x|x＜﹣1或x＞2}；（2）∵A∪B＝A，∴B⊆A，当B＝∅时，2m﹣1＞m+3，解得m＞4，当B≠∅时，2m−解得m＝1，综上，实数m的取值范围是{m|m＞4或m＝﹣1}．题型07利用补集思想求参【典例】已知集合A＝{x|x2－4x＋6－2a＝0}，B＝{x|x＜0}，若A∩B≠，则实数a的取值范围为.【答案】a＞3【分析】由集合A，B及A∩B≠可知，方程x2－4x＋6－2a＝0有实数根，且至少有一个负根，即有两个负根，或一个负根和一个零根，或一个负根和一个正根三种情况．如果分别求解会比较麻烦，可以先求出方程有实数根时实数a的取值范围作为全集，然后考虑方程的两根都非负时a的取值范围，最后利用补集求得符合条件的实数a的取值范围．【解析】设全集U＝{a|16－4(6－2a)≥0}＝.若方程x2－4ax＋2a＋6＝0的两根都非负，则a∈U，且解得1≤a≤3，即方程两根都非负时，实数a的值组成的集合为.其在全集U＝中的补集为{a|a＞3}．∴满足题意的实数a的取值范围是a＞3.对于一些比较复杂、抽象，条件和结论之间关系不明确，难于从正面入手的问题，在解题时，应及时调整思路，从问题的反面入手，探求已知和未知的关系，这时能化难为易，化隐为显，从而将问题解决..【变式】若集合A＝{x|ax2＋3x＋2＝0}中至多有1个元素，则实数a的取值范围为.【答案】eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(a\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(a≥\f(9,8)或a＝0))))【解析】假设集合A中含有2个元素，即ax2＋3x＋2＝0有两个不相等的实数根，则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a≠0，,Δ＝9－8a＞0，))解得a＜eq\f(9,8)且a≠0，∴实数a的取值范围是eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(a\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(a＜\f(9,8)且a≠0)))).在全集U＝R中，集合eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(a\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(a＜\f(9,8)且a≠0))))的补集是eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(a\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(a≥\f(9,8)或a＝0)))).∴满足题意的实数a的取值范围是eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(a\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(a≥\f(9,8)或a＝0))))。题型08求集合中元素的个数【典例】在开秋季运动会时，某班共有28名同学参加比赛，有15人参加径赛，有8人参加田赛，有14人参加球类比赛，同时参加田赛和径赛的有3人，同时参加径赛和球类比赛的有3人，没有同时参加三项比赛的同学，问：同时参加田赛和球类比赛的有多少人？只参加径赛的同学有多少人？【答案】同时参加田赛和球类比赛的有3人，只参加径赛的同学有9人.【分析】本题考查集合命题中的实际应用问题，涉及元素个数问题时，可用公式card(A∪B)＝card(A)＋card(B)－card(A∩B)的推广形式card(A∪B∪C)＝card(A)＋card(B)＋card(C)－card(A∩B)－card(B∩C)－card(A∩C)＋card(A∩B∩C)，或利用Venn图解决．【解析】解法一：设同时参加田赛和球类比赛的共有x人，参加径赛的为集合A，参加田赛的为集合B，参加球类比赛的为集合C，则有card(A)＝15，card(B)＝8，card(C)＝14，由条件知card(A∩B)＝3，card(A∩C)＝3，A∩B∩C＝，即card(A∩B∩C)＝0.故有15＋8＋14－3－3－x＋0＝28，解得x＝3.即同时参加田赛和球类比赛的共有3人．只参加径赛的有15－3－3＝9(人)．解法二：设参加径赛的为集合A，参加田赛的为集合B，参加球类比赛的为集合C，根据题意画出Venn图，如图所示．在图中相应的位置填上数字，设同时参加田赛和球类比赛的人数为x.由题意得9＋3＋3＋(8－3－x)＋x＋(14－3－x)＝28，解得x＝3.即同时参加田赛和球类比赛的人数为3人，只参加径赛的人数为9人．对于这类问题，一般有两种策略：一是画出Venn图，设出未知数，借助Venn图列出方程（组）求解；二是利用容斥定理速解.【变式1】为了丰富学生的课余生活，某校开设了篮球社团、AI社团、围棋社团，高一某班学生共有30人参加了学校社团，其中有15人参加篮球社团，有8人参加AI社团，有14人参加围棋社团，同时参加篮球社团和AI社团的有3人，同时参加篮球社团和围棋社团的有3人，没有人同时参加三个社团，只参加围棋社团的人数为(

).A．10 B．9 C．7 D．4【答案】A【分析】由题意，根据容斥原理，结合集合的运算即可求解.【解析】有15人参加篮球社团，同时参加篮球社团和AI社团的有3人，同时参加篮球社团和围棋社团的有3人，没有人同时参加三个社团，所以只参加篮球社团的9人；设同时参加AI社团和围棋社团有人，因为有8人参加AI社团，同时参加篮球社团和AI社团的有3人，所以只参加AI社团的有人；又因为有14人参加围棋社团，同时参加篮球社团和围棋社团的有3人，所以只参加围棋社团的有人.综上所述，共有30人参加了学校社团，所以，解得，故只参加围棋社团的人数为人.故选：A.【变式2】某年级先后举办了数学、历史、化学讲座，其中有人听了数学讲座，人听了历史讲座，人听了化学讲座，记是听了数学讲座的学生，是听了历史讲座的学生，是听了化学讲座的学生.用来表示有限集合中元素的个数，若，，，，则（）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据的定义，结合集合，，的元素个数可得解.【解析】A选项：由已知，则，A选项错误；B选项：，B选项正确；C选项：，C选项错误；D选项：，D选项错误；故选：B.题型09与集合运算有关的开放题【典例】已知集合．(1)若，求实数a的值；(2)从条件①②③中选择一个作为已知条件，求实数a的取值范围．条件：①；②；③．【答案】(1)；(2)答案见解析【解析】（1）由于，所以解得．（2）若选①，由得．当时，则，解得，满足条件；当时，则解得．综上，实数a的取值范围是．若选②，．当时，，解得，满足条件：当时，或，则解得．综上，实数a的取值范围是．若选③，．当时，，解得，满足条件；当时，或，则解得．综上，实数a的取值范围是．与集合运算有关的开放题常以结构不良型解答题的形式出现，对于这类问题，要注意从中挑选一个不易出错甚至得满分的条件进行作答.【变式】设全集为，集合，．(1)当时，求和(2)在①；②；③这三个条件中任选一个作为已知条件，求实数的取值范围．【答案】(1)或；或.(2)【分析】（1）首先解二次不等式求得集合，然后将代入确定集合，最后根据集合的交、并、补运算法则进行求解即可；（2）首先根据集合间运算的结果可得，然后分和两种情况分类讨论求解参数取值范围即可【解析】（1）由不等式，解得：或，因此可得：或，将代入集合中可得：，因此或；又或，得：或.（2）选①由，可知，当时，，解得：；当时，可得：，无解，或，解得：；综上所述；选②由，可知，当时，，解得：；当时，可得：，无解，或，解得：；综上所述；选③由，可知，当时，，解得：；当时，可得：，无解，或，解得：；综上所述.题型10与集合运算有关的新定义题【典例】任意两个集合M、N，定义新运算“－”，其运算结果为Venn图中阴影部分表示的集合，定义新运算“”，且，若，，则.11UN【答案】或.【分析】由Venn图可知，，从而把问题转化为集合的运算问题.【解析】，，∴，∴，，又∵，∴或.与集合的运算有关的新定义题求解的关键是：通过读题、审题，充分挖掘问题中所隐含的信息，弄懂运算的规律，进而求解．【变式1】已知集合A＝{1,2,3}，B＝{1,2}，定义集合间的运算，则集合A＋B中元素的最大值是________．【答案】5【解析】集合是由中的一个元素与中的一个元素相加构成，故集合中元素最大值是中的最大元素与中的最大元素相加而成，即，故答案为．【变式2】已知A，B是非空集合，若，且满足，则称a，b是集合A，B的一对“基因元”．若集合，则A，B的“基因元”的对数是．【答案】13【解析】，当a取2时，分别为1，1，4，6，共3对；当a取3时，分别为2，0，3，5，共3对；当a取5时，分别为4，2，1，3，共3对；当a取9时，分别为8，6，3，1，共4对．．【变式3】集合为进入高中数学的第一章节，在高中数学数学知识中占据一定的地位.已知集合为非空数集，我们根据数学知识和定义，规定如下，(1)若集合，直接写出集合（请写出计算过程）；(2)若集合，，且，求证：；(3)若集合，，记为集合中元素的个数，求的最大值．【答案】(1)，；(2)证明见解析；(3)1348【分析】（1）根据集合的定义，即可求解；（2）首先写出集合，再根据，推理集合中元素的对应关系，即可证明；（3）根据，，以及，再由不等式的关系得到的取值范围，即可证明.【解析】（1）根据题意，由,则，；（2）由于集合，且，所以中也只包含四个元素，即，于是，剩下的，由于所以，注意到，于是；（3）设满足题意，其中，则，，，，，中最小的元素为，最大的元素为，，，，实际上当时满足题意，证明如下：设，则，依题意有，即，故的最小值为，于是当时，中元素最多，即时满足题意，综上所述，集合中元素的个数的最大值是．单选题1．已知集合，，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】化简集合，利用并集运算求解即可.【解析】由题得，所以．故选:B．2．已知集合，，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】求出集合，然后由交集运算可得.【解析】因为，所以，所以.故选：C3．设全集，，，则等于（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】直接利用并集与补集的混合运算求解得答案．【解析】全集，，，又，则．故选：B．4．设集合或，则实数a的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】依题意有即．5．设全集，集合，，（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据集合并集的定义以及补集的定义即可求解.【解析】由，可得，，故，故选：B6．已知全集，集合，，则图中阴影部分所表示的集合为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由集合的运算即可表示出阴影部分，然后代入计算，即可得到结果.【解析】，且，则，阴影部分表示的集合是在集合中去掉的元素，则阴影部分表示的集合为.故选：D7．若全集，集合，，则集合（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据交并补集的运算结果，结合选项依次验证即可判断.【解析】A：若，则，所以，与矛盾，故A错误；B：若，则，所以，与矛盾，故B错误；C：若，则，由，得，所以，与矛盾，故C错误；D：若，则，由，得，所以，故D正确.故选：D8．学校统计某班30名学生参加音乐、科学、体育3个兴趣小组的情况，已知每人至少参加了1个兴趣小组，其中参加音乐、科学、体育小组的人数分别为19，19，18，只同时参加了音乐和科学小组的人数为4，只同时参加了音乐和体育小组的人数为2，只同时参加了科学和体育小组的人数为4，则同时参加了3个小组的人数为（

）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】D【分析】设同时参加了3个小组的人数为，然后结合题意用维恩图求解即可；【解析】如图，设同时参加了3个小组的人数为x，则，解得，即同时参加了3个小组的人数为8．故选：D.多选题9．下列集合表示图中阴影部分的为（

）A． B．C． D．【答案】ABD【分析】由集合的图示表示，再根据集合间的基本关系即可得出结论.【解析】易知图中的阴影部分表示在集合中去除两集合的交集部分，即可表示为，即A正确；还可表示为集合的补集与集合的交集，即，即D正确；也可表示为集合的补集与集合的交集，即,B正确.故选：ABD10．已知集合，，且，若实数的取值集合为，则（

）A． B．C． D．【答案】ACD【分析】由可知，解方程可得，即可得集合，进而判断各选项.【解析】由已知，又，即，则方程有且只有一解，即，解得，，则，故ACD正确；故选：ACD.11．由无理数引发的数学危机一直延续到19世纪，直到1872年，德国数学家戴德金从连续性的要求出发，用有理数的“分割”来定义无理数(史称戴德金分割)，并把实数理论建立在严格的科学基础上，才结束了无理数被认为“无理”的时代，也结束了持续2000多年的数学史上的第一次大危机．所谓戴德金分割，是指将有理数集划分为两个非空的子集M与N，且满足，，M中的每一个元素小于中的每一个元素，则称为戴德金分割．试判断下列选项中，可能成立的是（

）A．，是一个戴德金分割B．M没有最大元素，N有一个最小元素C．M有一个最大元素，N有一个最小元素D．M没有最大元素，N也没有最小元素【答案】BD【分析】根据戴德金分割的定义，结合选项，分别举例，判断正误.【解析】对于A，因为，，所以，故A错误；对于B，设，，满足戴德金分割，此时没有最大元素，有一个最小元素为0，故B正确；对于C，若有一个最大元素，有一个最小元素，则不能同时满足，，故C错误；对于D，设，，满足戴德金分割，此时没有最大元素，也没有最