专题2.1 必要条件与充分条件（高效培优讲义）数学北师大版2019必修第一册（解析版）

27/28专题2.1必要条件与充分条件教学目标(1)理解充分条件、必要条件与充要条件的概念；(2)掌握充分条件、必要条件与充要条件的判断方法.教学重难点1.重点(1)充分条件、必要条件与充要条件的判断方法；(2)由充分性、必要性求参数的取值范围．2.难点(1)对充分条件、必要条件与充要条件概念的理解；(2)充要条件的证明．知识点01必要条件与性质定理一般地，当命题“若p，则q”是真命题时，称_q___是_p___的必要条件，即q⇒__p__.也就是说，一旦q不成立，p一定也不成立，即q对于p的成立是必要的．说明：q是p的必要条件，所谓“必要”，即q是p成立的必不可少的条件，缺其不可．【即学即练】1．从符号“”“”“”中选择适当的一个填空：（1）；（2）a，b都是偶数是偶数；（3）；（4）n是偶数n是4的倍数.【答案】【分析】根据一元二次不等式的解法，偶数的性质、一元二次方程的解法、绝对值的性质进行逐一求解即可.【解析】（1）因为，或，所以.（2）因为a，b都是偶数，所以设，，因为，所以，所以是偶数，但是当时，是偶数，但是a，b都不是偶数，所以a，b都是偶数是偶数.（3）因为，所以；（4）当时，n是偶数，但是n不是4的倍数，所以n是偶数n是4的倍数.2.下列“若p，则q”形式的命题中，是的必要条件的命题有（1）若是无理数，则是无理数．（2）若两个三角形全等，则这两个三角形面积相等．（3）若，则.（4）若和都是偶数，则是偶数．【答案】（1）（2）（4）【分析】根据必要条件的定义即可逐一求解.【解析】（1）若是无理数，则是无限不循环小数，所以是无限不循环小数，所以是无理数，所以，所以是的必要条件．（2）全等三角形面积相等，所以，所以是的必要条件．（3）若，则或；所以，所以是的不必要条件．（4）两个偶数的乘积仍是偶数．所以，所以是的必要条件．知识点02充分条件与判定定理一般地，当命题“若p，则q”是真命题时，称_p__是_q___的充分条件，即p⇒__q___.说明：若p⇒q，则p是q的充分条件，所谓“充分”，即要使q成立，有p成立就足够了．【即学即练】1．已知，若p是q的充分条件，则实数a的取值范围是；若p是q的必要条件，则实数a的取值范围是．【答案】【解析】由p是q的充分条件，知p可推出q，所以；由p是q的必要条件，知q可推出p，所以．2.已知p:x=0,q:xy=0,p是q的充分条件吗？(2)已知p:x=1,q:则q是p的必要条件吗？【答案】(1)是；（2）是【解析】(1)命题“若x=0,则xy=0”是真命题，所以p是q的充分条件.(2)命题“若x=1,则”是真命题，可写成：x=1所以p是q的必要条件.知识点03充要条件一般地，如果p⇒q，且q⇒p，那么称__p__是_q___的充分且必要条件，简称_p___是_q___的充要条件，记作___p⇔q_____．【即学即练】“x＝1”是“x2－2x＋1＝0”的()A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】x＝1时，x2－2x＋1＝0成立，故是充分的，又当x2－2x＋1＝0时，即(x－1)2＝0，x＝1故是必要的，因此是充要条件．题型01用必要条件的语言表述定理【典例】将下面的性质定理写成“若p则q”的形式，并用必要条件的语言表述：(1)平面四边形的外角和是360°；(2)在平面直角坐标系中，关于x轴对称的两个点的横坐标相同．【答案】见解析【解析】(1)“平面四边形的外角和是360°”可表述为“若平面多边形为四边形，则它的外角和为360°”，所以“外角和为360°”是“平面多边形为四边形”的必要条件；(2)“在平面直角坐标系中，关于x轴对称的两个点的横坐标相同”可表述为“若平面直角坐标系中的两个点关于x轴对称，则这两个点的横坐标相同”，所以“两个点的横坐标相同”是“在平面直角坐标系中，两个点关于x轴对称”的必要条件．用必要条件的语言表述定理的一般步骤(1)分析定理的条件和结论；(2)将定理写成“若p，则q”的形式；(3)利用必要条件的概念来表述定理．【变式】判断下列各组中是否有p⇒q或q⇒p成立，并用必要条件的语言表述：(1)p：两个三角形相似，q：两个三角形全等；(2)p：一个四边形是矩形，q：四边形的对角线相等；(3)p：x＝1，q：(x－1)(x－2)＝0.【答案】见解析【解析】(1)因为两个三角形相似D⇒两个三角形全等，但两个三角形全等⇒两个三角形相似，所以q⇒p成立，所以“p：两个三角形相似”是“q：两个三角形全等”的必要条件．(2)因为矩形的对角线相等，而对角线相等的四边形不一定是矩形，所以p⇒q成立，所以“q：四边形的对角线相等”是“p：一个四边形是矩形”的必要条件．(3)因为(x－1)(x－2)＝0x＝1，但x＝1⇒(x－1)(x－2)＝0，所以p⇒q成立，所以“q：(x－1)(x－2)＝0”是“p：x＝1”的必要条件．题型02用充分条件的语言表述定理【典例】用充分条件的语言表述下面的命题：(1)若a＝－b，则|a|＝|b|；(2)若点C是线段AB的中点，则|AC|＝|BC|；(3)当ac<0时，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有两个不相等的实数根．【答案】见解析【解析】(1)“a＝－b”是“|a|＝|b|”的充分条件；(2)“点C是线段AB的中点”是“|AC|＝|BC|的充分条件”；(3)“ac<0”是“一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有两个不相等的实数根”的充分条件．充分条件的两种判断方法(1)定义法①确定谁是条件，谁是结论；②尝试从条件推结论，若条件能推出结论，则条件为充分条件，否则就不是充分条件．(2)命题判断法①如果命题：“若p，则q”为真命题，那么p是q的充分条件，同时q是p的必要条件；②如果命题：“若p，则q”为假命题，那么p不是q的充分条件，同时q也不是p的必要条件．【变式】用充分条件的语言表述下面的命题：(1)若a＝－b，则|a|＝|b|；(2)若点C是线段AB的中点，则|AC|＝|BC|；(3)当ac<0时，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有两个不相等的实数根．【答案】见解析【解析】(1)“a＝－b”是“|a|＝|b|”的充分条件；(2)“点C是线段AB的中点”是“|AC|＝|BC|的充分条件”；(3)“ac<0”是“一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有两个不相等的实数根”的充分条件．题型03定义法判断充分性与必要性【典例】在下列各题中，分析p是q的什么条件：(在“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分又不必要条件”中选出一种)(1)(2)(3)p:x>0,y>0,q:xy>0.【答案】(1)必要不充分条件；（2）充要条件；（3）既不充分也不必要.【解析】(1)∵，∴p是q的必要不充分条件.(2)∵,∴p是q的充要条件.(3)x>0,y>0xy>0,xy>0x>0,y>0,∴p是q的充分不必要条件．利用定义判断充分性与必要性：(1)若pq，但p,则称p是q的充分而不必要条件；(2)若p不能推出q，但qp,则称p是q的必要而不充分条件；(3)若pq，且qp(即)则说p是q的充要条件；(4)pq，且qp，则说p是q的既不充分也不必要条件.【变式1】设x，y都是实数，则“x＞2且y＞3”是“x＞2或y＞3”的（）条件A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．既非充分也非必要【答案】A【分析】利用或和且的含义，再结合充要条件的定义判定即可．【解析】①当x＞2且y＞3时，则x＞2或y＞3，∴充分性成立，②∵x＞2或y＞3⇔x＞2或y＞3或x＞2且y＞3，∴必要性不成立，∴x＞2且y＞3是x＞2或y＞3的充分不必要条件，故选：A．【变式2】设m∈R，则“m＜0”是“m＜1”的（）A．充分必要条件 B．即不充分也不必要条件 C．充分不必要条件 D．必要不充分条件【答案】C【分析】“m＜0”⇒“m＜1”，反之不成立，取m=1【解析】“m＜0”⇒“m＜1”，反之不成立，取m=1因此“m＜0”是“m＜1”的充分不必要条件．故选：C．【变式3】设x∈R，则“x＞2”是“2xA．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件【答案】A【分析】先将结论等价化简，再根据充分与必要条件的概念即可求解．【解析】∵“2x＜1”等价于：2x−1＜0，即2−xx＜0，即x（∴“x＞2”是“2x故选：A．题型04集合法判断充分性与必要性【典例1】“”是“”成立的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】求出的解集即可求解.【解析】，因为，所以“”是“”必要不充分条件.故选：B.【典例2】已知，，则是的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】结合区间的包含关系，根据充要条件的判断方法即得.【解析】因为是的真子集，故是的充分不必要条件.故选：A.若p以集合A的形式出现，q以集合B的形式出现，即A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，则(1)若A⊆B，则p是q的充分条件．(2)若B⊆A，则p是q的必要条件．(3)若A＝B，则p是q的充要条件．(4)若A⊆B且BA，即AB，则p是q的充分不必要条件．(5)若B⊆A且AB，即BA，则p是q的必要不充分条件．(6)若AB且BA，则p是q的既不充分也不必要条件.【变式1】已知集合A＝{x|x≥0}，B＝{x|x﹣2＞0}，则x∈A是x∈B的（）A．充分不要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分他不要条件【答案】B【分析】分别化简集合A＝[0，+∞），B＝（2，+∞），即可判断出．【解析】由集合A＝{x|x≥0}，集合B：x﹣2＞0，解得x＞2，即B＝（2，+∞）．因此“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件．故选：B【变式2】设p:-1<x<5,q:x<5,则p是q成立的()A.充分不必要条件B.充要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】因为,所以p是q成立的必要不充分条件.故选：A.题型05递推法判断充分性与必要性【典例】已知p，q都是r的必要条件，s是r的充分条件，q是s的充分条件．那么：(1)s是q的什么条件？(2)r是q的什么条件？(3)p是q的什么条件？【答案】（1）充要条件；（2）充要条件；（3）必要条件【分析】利用箭头画出示意图，再作判断.【解析】由题意画出网络示意图.由图可知：(1)qs，srq，所以s是q的充要条件．(2)rq，qsr，所以r是q的充要条件．(3)qsrp，所以p是q的必要条件．由于逻辑联结符号“⇒”“”“⇔”具有传递性，因此可根据几个条件的关系，经过若干次的传递，判断所要判断的两个条件之间的依存关系．【变式1】已知是的充分非必要条件，的充要条件是，则是的（

）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件【答案】B【分析】根据充分非必要条件和充要条件得到和的关系即可.【解析】因为是的充分非必要条件，所以，，又的充要条件是，所以，所以，，所以是的必要非充分条件.故选：B.【变式2】若甲是乙的充分不必要条件，乙是丙的充要条件，丙是丁的必要不充分条件，则下列说法正确的是（

）A．乙是甲的必要不充分条件 B．甲是丙的充分不必要条件C．丁是甲的既不充分也不必要条件 D．乙是丁的充要条件【答案】AB【分析】利用充分条件和必要条件的定义进行判断.【解析】依题，四个命题的关系图可化为：.则，所以乙是甲的必要不充分条件，A正确；，甲是丙的充分不必要条件，B正确；若甲：，丁：，乙和丙均为，满足题设，但此时丁是甲的充分必要条件，C错误；，所以乙是丁的必要不充分条件，D错误.故选：AB题型06充要条件的证明【典例】求证：关于x的方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有一正根和一负根的充要条件是ac<0.【证明】必要性：由于方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有一正根和一负根，∴Δ＝b2－4ac>0，x1·x2＝eq\f(c,a)<0，∴ac<0.充分性：由ac<0可得b2－4ac>0及x1·x2＝eq\f(c,a)<0，∴方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个不相等的实根，且两根异号，即方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有一正根和一负根．综上可知，关于x的方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有一正根和一负.证明充要条件时要从充分性和必要性两个方面分别证明，首先分清哪个是条件，哪个是结论，然后确定推出方向，即充分性需要证明“条件”⇒“结论”，必要性需要证明“结论”⇒“条件”．【变式】已知x，y都是非零实数，且x>y，求证：eq\f(1,x)<eq\f(1,y)的充要条件是xy>0.【证明】证法一：①充分性：由xy>0及x>y，得eq\f(x,xy)>eq\f(y,xy)，即eq\f(1,x)<eq\f(1,y).②必要性：由eq\f(1,x)<eq\f(1,y)，得eq\f(1,x)－eq\f(1,y)<0，即eq\f(y－x,xy)<0.因为x>y，所以y－x<0，所以xy>0.所以eq\f(1,x)<eq\f(1,y)的充要条件是xy>0.证法二：eq\f(1,x)<eq\f(1,y)⇔eq\f(1,x)－eq\f(1,y)<0⇔eq\f(y－x,xy)<0.由条件x>y⇔y－x<0，故由eq\f(y－x,xy)<0⇔xy>0.所以eq\f(1,x)<eq\f(1,y)⇔xy>0，即eq\f(1,x)<eq\f(1,y)的充要条件是xy>0.题型07充分、必要条件的探求【典例】关于的一元二次方程有实数解的一个必要不充分条件的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】探究“题干”的一个必要不充分条件，即找一个“选项”，使“题干”能推出“选项”，但“选项”不能推出“题干”.【解析】关于的一元二次方程有实数解，则，解得，结合选项可知的一个必要不充分条件的是.故选：A.探求一个命题成立的充分、必要条件问题，首先要确定“条件”与“结论”及寻找“结论”的什么条件，其解题的通法是先推导出“结论”的充要条件，将充要条件“放大”即得“结论”的必要不充分条件，将充要条件“缩小”即得“结论”的充分不必要条件，将充要条件等价转化仍得“结论”的充要条件.【变式1】“x﹣1＞0”成立的一个必要不充分条件的是（）A．x＞1 B．x＞2 C．x＜3 D．x＞0【答案】D【分析】解不等式，可得x＞1，进而依次分析选项，判断选项所给的不等式与x＞1的关系，可判断选项．【解析】对于不等式x﹣1＞0，解可得x＞1，根据题意，分析选项可得，A中，x＞1，即x＞1是x﹣1＞0成立的充分必要条件，B中，x＞2，当x＞2时，x﹣1＞0成立，反之若有x﹣1＞0成立，则不能推出x＞2成立，故x＞2是x﹣1＞0成立的充分不必要条件，C中，当x＜3时，x﹣1＞0不一定成立，反之x﹣1＞0成立，则不能推出x＜3成立，故x＜3是x﹣1＞0成立的既不充分也不必要条件，D中，x＞0，当x＞0时，x﹣1＞0不一定成立，反之若有x﹣1＞0成立，则能推出x＞0成立，故x＞0是x﹣1＞0成立的必要不充分条件，故选：D．【变式2】已知p：0＜x＜1，那么p的一个充分不必要条件是（）A．1＜x＜3 B．﹣1＜x＜1 C．13＜x＜3【答案】C【分析】由（13，34）【解析】∵（13，34）∴p的一个充分不必要条件是13＜x故选：C．【变式3】已知a，b∈R，则“ab≠0”的一个必要条件是（）A．a+b≠0 B．a2+b2≠0 C．a3+b3≠0 D．1【答案】B【分析】取特殊值判断ACD，根据充分必要条件的定义判断B．【解析】对于A，令a＝1，b＝﹣1，推不出a+b≠0，故A错误，对于B，由“ab≠0”得：a≠0且b≠0，故a2+b2≠0，反之，若a2+b2≠0，推不出ab≠0，比如a＝1，b＝0，故a2+b2≠0是ab≠0的必要不充分条件，故B正确，对于C，令a＝1，b＝﹣1，推不出a3+b3≠0，故C错误，对于D，令a＝1，b＝﹣1，推不出1a+1故选：B．题型08充要条件的探求【典例】求关于x的方程ax2＋2x＋1＝0至少有一个负实根的充要条件．【分析】找充要条件就是找等价条件.【解析】当a＝0时，符合要求．当a≠0时，显然方程没有零根，若方程有两个异号的实根，则由根与系数的关系可知a<0；若方程有两个负实根，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Δ＝4－4a≥0，,\f(1,a)>0，,－\f(2,a)<0，))解得0<a≤1.综上所述，若方程ax2＋2x＋1＝0至少有一个负实根，则a≤1.反之，若a≤1，则方程ax2＋2x＋1＝0至少有一个负实根，因此，关于x的方程ax2＋2x＋1＝0至少有一个负实根的充要条件是a≤1.探求充要条件的两种方法:(1)先寻找必要条件，即将探求充要条件的对象视为结论，寻找使之成立的条件；再证明此条件是该对象的充分条件，即从充分性和必要性两方面说明．(2)将原命题进行等价变形或转换，直至获得其成立的充要条件，探求的过程同时也是证明的过程，因为探求过程每一步都是等价的，所以不需要将充分性和必要性分开来证．【变式】等式成立的充要条件是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】对已知等式两边平方，根据绝对值的定义可得等式成立的充要条件.【解析】因为，两边平方得：，所以，即，所以等式成立的充要条件是.故选：B【变式2】设，则“”的充要条件是（

）A．a，b中至少有一个为1 B．a，b都不为0C．a，b都为1 D．不都为1【答案】A【分析】变形给定的等式，再利用充要条件的定义判断即可.【解析】由题意，则和中至少有一个为0，即，中至少有一个为1，所以“”的充要条件是“a，b中至少有一个为1”.故选：A.题型09由充分、必要条件求参数的取值范围【典例1】（2021秋•赫章县期末）若“1≤x≤4”是“a≤x≤a+4”的充分不必要条件，则实数a的取值范围为（）A．a≤0 B．0≤a≤1 C．0＜a＜1 D．a≤0或a≥1【答案】B【分析】根据充分条件、必要条件的定义进行求解即可．【解析】因为“1≤x≤4”是“a≤x≤a+4”的充分不必要条件，所以a≤1a+4≥4，即0≤a故选：B．【典例2】已知P＝{x|a﹣4＜x＜a+4}，Q＝{x|1＜x＜3}，“x∈P”是“x∈Q”的必要条件，则实数a的取值范围是（）A．﹣1≤a≤5 B．﹣1＜a≤5 C．﹣2≤a≤3 D．﹣2≤a＜3【答案】A【分析】根据“x∈P”是“x∈Q”的必要条件，可得P⊇Q，再建立a的不等式组可求解．【解析】∵“x∈P”是“x∈Q”的必要条件，∴P⊇Q，∴a−4≤1a+4≥3，∴故选：A．根据充分、必要条件求参数的取值范围时，先将p，q等价转化，再根据充分、必要条件与集合间的关系，将问题转化为相应的两个集合之间的包含关系，然后建立关于参数的不等式(组)进行求解.【变式1】已知条件p：﹣1＜x＜1，q：x＞m，若p是q的充分不必要条件，则实数m的取值范围是（）A．[﹣1，+∞） B．（﹣∞，﹣1） C．（﹣1，0） D．（﹣∞，﹣1]【答案】D【分析】利用充分不必要条件的定义建立，建立条件关系即可求实数m的取值范围．【解析】由p：﹣1＜x＜1，q：x＞m，若p是q的充分不必要条件，则{x|﹣1＜x＜1}⫋{x|x＞m}，则m≤﹣1，故选：D．【变式2】如果不等式|x﹣a|＜1成立的充分不必要条件是12＜x＜3A．12＜a＜32 B．12≤a≤32 C．【答案】B【分析】由题意，解不等式|x﹣a|＜1得其解集，进而结合充分、必要条件与集合间包含关系的对应关系可得不等式组则有a−【解析】根据题意，不等式|x﹣a|＜1的解集是a﹣1＜x＜a+1，设此命题为p，命题12＜x＜3则p的充分不必要条件是q，即q表示的集合是p表示集合的真子集；则有a−解可得12故选：B．题型10与充分、必要条件相关的数学文化题【典例】《墨经》上说：“小故，有之不必然，无之必不然．体也，若有端．大故，有之必然，若见之成见也．”其中“无之必不然”表述的逻辑关系一定是（

）A．充分条件 B．必要条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】根据充分条件和必要条件的定义进行判定.【解析】由“小故，有之不必然，无之必不然”，知“小故”只是构成某一结果的几个条件中的一个或一部分条件，故“小故”是逻辑中的必要不充分条件，所以“无之必不然”所表述的数学关系一定是必要条件.故选：B.【变式】在中国传统的十二生肖中，马､牛､羊､鸡､狗､猪为六畜，则“甲的生肖不是马”是“甲的生肖属于六畜”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】D【分析】根据充分、必要条件的知识确定正确答案.【解析】若甲的生肖不是马，则甲的生肖未必属于六畜；若甲的生肖属于六畜，则甲的生肖不一定是马.故“甲的生肖不是马”是“甲的生肖属于六畜”的既不充分也不必要条件.故选：D题型11充分、必要条件与集合的交汇题【典例】已知集合，.(1)若，求；(2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围.【答案】(1)；(2)【分析】（1）当时，求出集合，利用补集和交集的定义可求得集合；（2）分析可知是的真子集，分、两种情况讨论，结合集合的包含关系可得出关于实数的不等式（组），综合可得出实数的取值范围.【解析】（1）当时，集合，可得或，因为，所以.（2）若“”是“”的充分不必要条件，所以是的真子集，当时，即时，此时，满足是的真子集；当时，则满足，解得，当时，，此时是的真子集，合乎题意；当时，，此时是的真子集，合乎题意.综上，实数的取值范围为.充分、必要条件与集合的交汇涉及各种题型，但更多的是以解答题的形式出现，往往其中一部分考查集合运算，另一部分考查充分条件、必要条件，对于这类题型，一般采用各个击破法求解.【变式】已知集合或，．(1)若，求实数的取值范围；(2)若是的必要不充分条件，求实数的取值范围．【答案】(1)；(2)【分析】（1）利用指数函数和对数函数的性质，化简集合，根据，即可得到满足的条件，求出结果；（2）结合（1）中的两集合，根据是的必要不充分条件，可得是的真子集，然后列出不等式，即可求出结果.【解析】（1）由题知，，，令，可得，解得或，令，解得，，则或，，若，则，解得，即实数的取值范围为.（2）由（1）知，或，，若是的必要不充分条件，则是的真子集，所以或，解得或，即实数的取值范围为.单选题1.“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】若，则，但不一定相等.若，则，故“”是“”的必要不充分条件.2．使成立的一个充分条件是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】对于选项A，是成立的一个既不充分也不必要条件，故A错误；对于选项B，是成立的一个充分条件，故B正确；对于选项C，是成立的一个必要条件，故C错误；对于选项D，是成立的一个既不充分也不必要条件，故D错误．3．设，则“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】由，得，因为不能推出，但可以推出，所以“”是“”的必要不充分条件.4．已知集合，集合，且是的充分条件，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由题可得，据此可得答案.【解析】因是的充分条件，则，故，则.故选：D5．已知和，且p是q的必要条件，则实数m的值为（

）A．0 B．2或 C．或 D．0或或【答案】D【解析】解法1

．因为p是q的必要条件，所以．当，即时，符合题意；当时，由，得或，解得或．综上所述，m的值为0或或．解法2（代入法）

，当时，，符合题意；当时，；当时，，均满足题意．6．王昌龄是盛唐著名的边塞诗人，被誉为“七绝圣手”．其名篇“但使龙城飞将在，不教胡马度阴山”（人在阵地在，人不在阵地在不在不知道），由此推断，胡马度过阴山是龙城飞将不在的（

）A．既不充分也不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．充分不必要条件【答案】D【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合题意分析判断即可【解析】因为人在阵地在，所以胡马度过阴山说明龙城飞将不在，因为人不在阵地在不在不知道，所以龙城飞将不在，不能确定胡马是否度过阴山，所以胡马度过阴山是龙城飞将不在的充分不必要条件，故选：D7．已知p:或，，若是的必要不充分条件，则正实数的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】解不等式求得，成立时的解集，结合条件可得，求解即可.【解析】解不等式，可得，所以成立时，或，因为，由，可得，又是的必要不充分条件，所以，解得.故选：B.8.下列命题中，为假命题的是（

）A．“”是“”的必要条件 B．“”是“”的充分条件C．“”的充要条件是“” D．“”是“”的必要条件【答案】D【解析】因为，所以“”是“”的必要条件，A是真命题；因为，所以“”是“”的充分条件，B是真命题；因为，C是真命题；因为，所以“”是“”的充分条件，D是假命题．多选题9.设，，下列说法正确的是（

）A．若，则是的充分不必要条件B．若，则是的充分不必要条件C．若，则是的充分必要条件D．若，，则是的既不充分也不必要条件【答案】BCD【解析】若，则由可推出，所以是的充分条件，若，则由可推出，故A错误；若，则推不出，此时是的不必要条件，故B正确；若，则与间可互相推出，此时是的充分必要条件，故C正确；若，，即集合，没有包含关系，与之间不能互相推出，故是的既不充分也不必要条件，故D正确．10．p是q的充分不必要条件，q是r的必要不充分条件，r是s的充要条件，p是r的既不充分也不必要条件，则（

）A．s是q的必要不充分条件B．r是q的充分不必要条件C．q是s的充要条件D．p是s的既不充分也不必要条件【答案】BD【分析】根据题意得出，即可由该条件判断各选项的正误.【解析】由题意知，所以是的充分不必要条件，是的充分不必要条件，是的必要不充分条件，是的既不充分也不必要条件．故BD正确.故选：BD11．下列说法正确的是（

）A．两个三角形全等是这两个三角形面积相等的充分不必要条件B．设，是实数，则“”是“”的必要而不充分条件C．设，一元二次方程有整数根的充要条件是D．函数的图象关于直线对称的充要条件是【答案】AD【分析】根据充分条件、必要条件的定义判断即可.【解析】对于A，两个三角形全等两个三角形的面积相等，故充分性成立；但两个三角形的面积相等不能推出两个三角形全等，故必要性不成立，所以两个三角形全等是这两个三角形面积相等的充分不必要条件，故A正确；对于B：由推不出，如，，满足，但是，故充分性不成立；由也推不出，如，，满足，但是，故必要性不成立，所以“”是“”的既不充分也不必要条件，故B错误；对于C：当时一元二次方程的根为，故C错误；对于D：若函数的图象关于直线对称，则，解得，所以函数的图象关于直线对称的充要条件是，故D正确；故选：AD填空题12.若，则是的条件．（填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”）【答案】既不充分也不必要【分析】解出，再利用集合之间关系以及充要条件的判断方法判断即可.【解析】，解得，显然与不具备包含关系，则是的既不充分也不必要条件.13．已知集合或,，若是的充分不必要条件，则a的取值范围是.【答案】C【分析】由一元二次不等式解得集合，根据充分不必要条件可得集合的包含关系，建立不等式，可得答案.【解析】由，则，由是的充分不必要条件，则，且可得，解得.14.在下列所示电路图中，下列说法正确的是.（填序号）.（1）如图①所示，开关闭合是灯泡亮的充分不必要条件；（2）如图②所示，开关闭合是灯泡亮的必要不充分条件；（3）如图③所示，开关闭合是灯泡亮的充要条件；（4）如图④所示，开关闭合是奵泡亮的必要不充分条件.【答案】（1）（2）（3）【分析】根据充分、必要条件的定义，结合图形依次判断即可求解.【解析】（1）开关A闭合，灯泡B亮；灯泡B亮时，开关A不一定闭合.所以开关A闭合是灯泡B亮的充分不必要条件，故（1）正确；（2）开关A闭合，灯泡B不一定亮；灯泡B亮时，开关A必须闭合.所以开关A闭合是灯泡B亮的必要不充分条件，故（2）正确；（3）开关A闭合，灯泡B亮；灯泡B亮时，开关A必须闭合.所以开关A闭合是灯泡B亮的充要条件，故（3）正确；（4）开关A闭合，灯泡B不一定亮；灯泡B亮时，开关A不一定闭合.所以开关A闭合是灯泡B亮的既不充分也不必要条件，故（4）错误.解答题15.已知集合．(1)若“”是“”的充分条件，求