专题2.1 必要条件与充分条件（高效培优讲义）数学北师大版2019必修第一册（原卷版）

27/28专题2.1必要条件与充分条件教学目标(1)理解充分条件、必要条件与充要条件的概念；(2)掌握充分条件、必要条件与充要条件的判断方法.教学重难点1.重点(1)充分条件、必要条件与充要条件的判断方法；(2)由充分性、必要性求参数的取值范围．2.难点(1)对充分条件、必要条件与充要条件概念的理解；(2)充要条件的证明．知识点01必要条件与性质定理一般地，当命题“若p，则q”是真命题时，称____是____的必要条件，即⇒____.也就是说，一旦q不成立，p一定也不成立，即q对于p的成立是必要的．说明：q是p的必要条件，所谓“必要”，即q是p成立的必不可少的条件，缺其不可．【即学即练】1．从符号“”“”“”中选择适当的一个填空：（1）；（2）a，b都是偶数是偶数；（3）；（4）n是偶数n是4的倍数.2.下列“若p，则q”形式的命题中，是的必要条件的命题有（1）若是无理数，则是无理数．（2）若两个三角形全等，则这两个三角形面积相等．（3）若，则.（4）若和都是偶数，则是偶数．知识点02充分条件与判定定理一般地，当命题“若p，则q”是真命题时，称___是____的充分条件，即⇒_____.说明：若p⇒q，则p是q的充分条件，所谓“充分”，即要使q成立，有p成立就足够了．【即学即练】1．已知，若p是q的充分条件，则实数a的取值范围是；若p是q的必要条件，则实数a的取值范围是．2.已知p:x=0,q:xy=0,p是q的充分条件吗？(2)已知p:x=1,q:则q是p的必要条件吗？知识点03充要条件一般地，如果p⇒q，且q⇒p，那么称____是____的充分且必要条件，简称___是__的充要条件，记作_____．【即学即练】“x＝1”是“x2－2x＋1＝0”的()A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件题型01用必要条件的语言表述定理【典例】将下面的性质定理写成“若p则q”的形式，并用必要条件的语言表述：(1)平面四边形的外角和是360°；(2)在平面直角坐标系中，关于x轴对称的两个点的横坐标相同．用必要条件的语言表述定理的一般步骤(1)分析定理的条件和结论；(2)将定理写成“若p，则q”的形式；(3)利用必要条件的概念来表述定理．【变式】判断下列各组中是否有p⇒q或q⇒p成立，并用必要条件的语言表述：(1)p：两个三角形相似，q：两个三角形全等；(2)p：一个四边形是矩形，q：四边形的对角线相等；(3)p：x＝1，q：(x－1)(x－2)＝0.题型02用充分条件的语言表述定理【典例】用充分条件的语言表述下面的命题：(1)若a＝－b，则|a|＝|b|；(2)若点C是线段AB的中点，则|AC|＝|BC|；(3)当ac<0时，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有两个不相等的实数根．充分条件的两种判断方法(1)定义法①确定谁是条件，谁是结论；②尝试从条件推结论，若条件能推出结论，则条件为充分条件，否则就不是充分条件．(2)命题判断法①如果命题：“若p，则q”为真命题，那么p是q的充分条件，同时q是p的必要条件；②如果命题：“若p，则q”为假命题，那么p不是q的充分条件，同时q也不是p的必要条件．【变式】用充分条件的语言表述下面的命题：(1)若a＝－b，则|a|＝|b|；(2)若点C是线段AB的中点，则|AC|＝|BC|；(3)当ac<0时，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有两个不相等的实数根．题型03定义法判断充分性与必要性【典例】在下列各题中，分析p是q的什么条件：(在“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分又不必要条件”中选出一种)(1)(2)(3)p:x>0,y>0,q:xy>0.利用定义判断充分性与必要性：(1)若pq，但p,则称p是q的充分而不必要条件；(2)若p不能推出q，但qp,则称p是q的必要而不充分条件；(3)若pq，且qp(即)则说p是q的充要条件；(4)pq，且qp，则说p是q的既不充分也不必要条件.【变式1】设x，y都是实数，则“x＞2且y＞3”是“x＞2或y＞3”的（）条件A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．既非充分也非必要【变式2】设m∈R，则“m＜0”是“m＜1”的（）A．充分必要条件 B．即不充分也不必要条件 C．充分不必要条件 D．必要不充分条件【变式3】设x∈R，则“x＞2”是“2xA．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件题型04集合法判断充分性与必要性【典例1】“”是“”成立的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【典例2】已知，，则是的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件若p以集合A的形式出现，q以集合B的形式出现，即A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，则(1)若A⊆B，则p是q的充分条件．(2)若B⊆A，则p是q的必要条件．(3)若A＝B，则p是q的充要条件．(4)若A⊆B且BA，即AB，则p是q的充分不必要条件．(5)若B⊆A且AB，即BA，则p是q的必要不充分条件．(6)若AB且BA，则p是q的既不充分也不必要条件.【变式1】已知集合A＝{x|x≥0}，B＝{x|x﹣2＞0}，则x∈A是x∈B的（）A．充分不要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分他不要条件【变式2】设p:-1<x<5,q:x<5,则p是q成立的()A.充分不必要条件B.充要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件题型05递推法判断充分性与必要性【典例】已知p，q都是r的必要条件，s是r的充分条件，q是s的充分条件．那么：(1)s是q的什么条件？(2)r是q的什么条件？(3)p是q的什么条件？由于逻辑联结符号“⇒”“”“⇔”具有传递性，因此可根据几个条件的关系，经过若干次的传递，判断所要判断的两个条件之间的依存关系．【变式1】已知是的充分非必要条件，的充要条件是，则是的（

）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件【变式2】若甲是乙的充分不必要条件，乙是丙的充要条件，丙是丁的必要不充分条件，则下列说法正确的是（

）A．乙是甲的必要不充分条件 B．甲是丙的充分不必要条件C．丁是甲的既不充分也不必要条件 D．乙是丁的充要条件题型06充要条件的证明【典例】求证：关于x的方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有一正根和一负根的充要条件是ac<0.证明充要条件时要从充分性和必要性两个方面分别证明，首先分清哪个是条件，哪个是结论，然后确定推出方向，即充分性需要证明“条件”⇒“结论”，必要性需要证明“结论”⇒“条件”．【变式】已知x，y都是非零实数，且x>y，求证：eq\f(1,x)<eq\f(1,y)的充要条件是xy>0.题型07充分、必要条件的探求【典例】关于的一元二次方程有实数解的一个必要不充分条件的是（

）A． B． C． D．探求一个命题成立的充分、必要条件问题，首先要确定“条件”与“结论”及寻找“结论”的什么条件，其解题的通法是先推导出“结论”的充要条件，将充要条件“放大”即得“结论”的必要不充分条件，将充要条件“缩小”即得“结论”的充分不必要条件，将充要条件等价转化仍得“结论”的充要条件.【变式1】“x﹣1＞0”成立的一个必要不充分条件的是（）A．x＞1 B．x＞2 C．x＜3 D．x＞0【变式2】已知p：0＜x＜1，那么p的一个充分不必要条件是（）A．1＜x＜3 B．﹣1＜x＜1 C．13＜x＜3【变式3】已知a，b∈R，则“ab≠0”的一个必要条件是（）A．a+b≠0 B．a2+b2≠0 C．a3+b3≠0 D．1题型08充要条件的探求【典例】求关于x的方程ax2＋2x＋1＝0至少有一个负实根的充要条件．探求充要条件的两种方法:(1)先寻找必要条件，即将探求充要条件的对象视为结论，寻找使之成立的条件；再证明此条件是该对象的充分条件，即从充分性和必要性两方面说明．(2)将原命题进行等价变形或转换，直至获得其成立的充要条件，探求的过程同时也是证明的过程，因为探求过程每一步都是等价的，所以不需要将充分性和必要性分开来证．【变式】等式成立的充要条件是（

）A． B．C． D．【变式2】设，则“”的充要条件是（

）A．a，b中至少有一个为1 B．a，b都不为0C．a，b都为1 D．不都为1题型09由充分、必要条件求参数的取值范围【典例1】（2021秋•赫章县期末）若“1≤x≤4”是“a≤x≤a+4”的充分不必要条件，则实数a的取值范围为（）A．a≤0 B．0≤a≤1 C．0＜a＜1 D．a≤0或a≥1【典例2】已知P＝{x|a﹣4＜x＜a+4}，Q＝{x|1＜x＜3}，“x∈P”是“x∈Q”的必要条件，则实数a的取值范围是（）A．﹣1≤a≤5 B．﹣1＜a≤5 C．﹣2≤a≤3 D．﹣2≤a＜3根据充分、必要条件求参数的取值范围时，先将p，q等价转化，再根据充分、必要条件与集合间的关系，将问题转化为相应的两个集合之间的包含关系，然后建立关于参数的不等式(组)进行求解.【变式1】已知条件p：﹣1＜x＜1，q：x＞m，若p是q的充分不必要条件，则实数m的取值范围是（）A．[﹣1，+∞） B．（﹣∞，﹣1） C．（﹣1，0） D．（﹣∞，﹣1]【变式2】如果不等式|x﹣a|＜1成立的充分不必要条件是12＜x＜3A．12＜a＜32 B．12≤a≤32 C．题型10与充分、必要条件相关的数学文化题【典例】《墨经》上说：“小故，有之不必然，无之必不然．体也，若有端．大故，有之必然，若见之成见也．”其中“无之必不然”表述的逻辑关系一定是（

）A．充分条件 B．必要条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【变式】在中国传统的十二生肖中，马､牛､羊､鸡､狗､猪为六畜，则“甲的生肖不是马”是“甲的生肖属于六畜”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件题型11充分、必要条件与集合的交汇题【典例】已知集合，.(1)若，求；(2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围.充分、必要条件与集合的交汇涉及各种题型，但更多的是以解答题的形式出现，往往其中一部分考查集合运算，另一部分考查充分条件、必要条件，对于这类题型，一般采用各个击破法求解.【变式】已知集合或，．(1)若，求实数的取值范围；(2)若是的必要不充分条件，求实数的取值范围．单选题1.“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件2．使成立的一个充分条件是（

）A． B． C． D．3．设，则“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件4．已知集合，集合，且是的充分条件，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．5．已知和，且p是q的必要条件，则实数m的值为（

）A．0 B．2或 C．或 D．0或或【答案】D【解析】解法1

．因为p是q的必要条件，所以．当，即时，符合题意；当时，由，得或，解得或．综上所述，m的值为0或或．解法2（代入法）

，当时，，符合题意；当时，；当时，，均满足题意．6．王昌龄是盛唐著名的边塞诗人，被誉为“七绝圣手”．其名篇“但使龙城飞将在，不教胡马度阴山”（人在阵地在，人不在阵地在不在不知道），由此推断，胡马度过阴山是龙城飞将不在的（

）A．既不充分也不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．充分不必要条件7．已知p:或，，若是的必要不充分条件，则正实数的取值范围是（

）A． B．C． D．8.下列命题中，为假命题的是（

）A．“”是“”的必要条件 B．“”是“”的充分条件C．“”的充要条件是“” D．“”是“”的必要条件多选题9.设，，下列说法正确的是（

）A．若，则是的充分不必要条件B．若，则是的充分不必要条件C．若，则是的充分必要条件D．若，，则是的既不充分也不必要条件10．p是q的充分不必要条件，q是r的必要不充分条件，r是s的充要条件，p是r的既不充分也不必要条件，则（

）A．s是q的必要不充分条件B．r是q的充分不必要条件C．q是s的充要条件D．p是s的既不充分也不必要条件11．下列说法正确的是（

）A．两个三角形全等是这两个三角形面积相等的充分不必要条件B．设，是实数，则“”是“”的必要而不充分条件C．设，一元二次方程有整数根的充要条件是D．函数的图象关于直线对称的充要条件是填空题12.若，则是的条件．（填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”）13．已知集合或,，若是的充分不必要条件，则a的取值范围是.14.在下列所示电路图中，下列说法正确的是.（填序号）.（1）如图①所示，开关闭合是灯泡亮的充分不必要条件；（2）如图②所示，开关闭合是灯泡亮的必要不充分条件；（3）如图③所示，开关闭合是灯泡亮的充要条件；（4）如图④所示，开关闭合是奵泡亮的必要不充分条件.解答题15.已知集合．(1)若“”是“”的充分条件，求实数a的取值范围．(2)是否存在实数a，使得“”是“”的充要条件？若存