专题08 指数运算与指数函数12大考点46题（高效培优期中专项训练）（解析版）高一数学上学期北师大版

4/25专题08指数运算与指数函数考点01根式与分数指数幂的运算（共5小题）(易错点) 1考点02指数与指数幂的运算（共5小题）（重点） 3考点03指数函数的概念（共4小题） 5考点04指数函数的图象（共4小题）（重点） 6考点05指数型复合函数的单调性（共4小题）（重点） 9考点06由指数（型）函数的单调性求参数（共4小题）（易错点） 11考点07比较指数幂的大小（共4小题）（重点） 13考点08由指数函数的单调性解不等式（共4小题）（重点） 15考点09指数函数型函数的值域或最值（共5小题）（难点） 16考点10指数函数的实际应用（共3小题）（难点） 18考点12指数函数的综合应用（共4小题）（重、难点） 20考点01根式与分数指数幂的运算（共5小题）(易错点)1．（25-26高一上·广东·期中）式子的值为（

）A． B． C． D．1【答案】A【分析】根据根式的性质运算即可得解.【详解】，故选：A2．（23-24高一上·湖北武汉·开学考试）已知，且，化简二次根式的正确结果是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】分析：由二次根式有意义的条件以及，且，可确定出的正负情况，再依据进行化简，最后化简绝对值即可.【详解】解：有意义，，，又，，，.故选：A.3．（24-25高一上·江苏宿迁·阶段练习）下列等式成立的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据根式与指数幂的运算及特殊值法验证即可得答案.【详解】对于A，，故A错误；对于B，，故B错误；对于C，当时，，故C错误；对于D，，故D正确.故选：D.4．（25-26高一上·全国·单元测试）已知，将表示成分数指数幂的形式，其结果是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由根式与有理数指数幂的关系及指数幂的运算性质化简，即可得.【详解】由于，则；故选：B5．（24-25高一上·全国·课后作业）已知，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据根式及分数指数幂的运算化简求解即可.【详解】因为，则．故选：B.考点02指数与指数幂的运算（共5小题）（重点）6．（24-25高一上·辽宁鞍山·期中）．【答案】【分析】根据指数幂的运算性质计算即可.【详解】.故答案为：.7．（24-25高一上·广东广州·期中）计算【答案】2【分析】利用指数幂的运算性质即可得出结果.【详解】.故答案为：28．（24-25高一上·福建南平·期中）（1）计算；（2）化简.【答案】（1）；（2）【分析】（1）（2）应用有理数指数幂的运算性质、根式与指数幂的关系化简求值；【详解】（1）原式；（2）原式.9．（24-25高一上·浙江杭州·期中）（1）求值：；（2）已知，求的值．【答案】（1）；（2）.【分析】（1）将根式化成分数指数幂，再根据幂的运算法则计算可得.（2）将两边平方即可得解.【详解】（1）.（2）因为，所以，即，所以.10．（24-25高一上·辽宁沈阳·期中）（1）计算：；（2）已知，求下列各式的值：①；

②【答案】（1）；（2）①；②.【分析】（1）利用指数运算法则计算即得.（2）①②根据给定条件，利用指数幂的运算性质计算即得.【详解】（1）.（2）①由，两边平方得，则，而，则，所以；②由①知，，，所以.考点03指数函数的概念（共4小题）11．（24-25高一上·广东广州·期中）下列是指数函数的是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】运用指数函数的概念判断即可.【详解】根据指数函数的特征：系数为1，底数满足，自变量在指数位置可知，A，B，C不满足，D满足．故选D.答案：D.12．（22-23高一上·广东东莞·期中）若函数是指数函数，则的值为（

）A．2 B．3 C． D．4【答案】A【分析】根据指数函数的概念可得且且，解之可得，进而求解.【详解】函数是指数函数，且且，解得，，.故选：A．13．（23-24高一上·广西河池·期末）已知指数函数的图象经过点，则（

）A． B． C．2 D．4【答案】A【分析】根据给定条件，结合指数函数定义求出即可计算得解.【详解】由指数函数的图象经过点，得，解得，所以.故选：A14．（24-25高一上·北京·期中）已知函数的图像经过点，其中且.(1)求的值：(2)若，求实数的取值范围.【答案】(1)；(2)．【分析】（1）代入已知点的坐标即可得；（2）由指数函数的单调性解不等式即得．【详解】（1）因为函数的图像经过点，所以，即；（2），即，所以，，所以的范围是．考点04指数函数的图象（共4小题）（重点）15．（24-25高一上·广东东莞·期中）函数（，且）的图象可能是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】C【分析】利用指数函数的图象和性质以及图象的平移变换进行判断.【详解】因为函数（，且），当时，是增函数，并且恒过定点，又因为的图象在的基础上向下平移超过1个单位长度，故D错误，C正确；当时，是减函数，并且恒过定点，又的图象在的基础上向下平移了不到1个单位长度，故A，B错误.故选：C.16．（25-26高一上·广东·期中）函数的图象如图，其中，为常数，则下列结论正确的是（

）A．， B．， C．， D．，【答案】C【分析】根据判断的范围，根据图象趋势判断的范围即可.【详解】由图象可知：，，又由函数为减函数，可得．故选：C．17．（24-25高一上·吉林长春·期中）已知函数恒过定点，则函数不经过（

）A．第一象限 B．第二象限C．第三多限 D．第四象限【答案】B【分析】利用指数函数的性质，得到，从而，再利用图象的变化得到的图象，即可求解.【详解】因为函数恒过点，所以，其图象可由向下平移个单位得到，图象如图，由图知不经过第二象限，故选：B.18．（24-25高一上·福建厦门·期中）已知函数是定义域为上的奇函数，当时，.(1)求的值；(2)写出的解析式；(3)画出函数的图像.【答案】(1)(2)(3)作图见解析【详解】（1）因为是定义域为上的奇函数，则.（2）当时，，则，则.（3）作出图形如下图所示：考点05指数型复合函数的单调性（共4小题）（重点）19．（2025高三·全国·专题练习）函数的单增区间为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】令，由对勾函数及复合函数的单调性进行求解.【详解】令,则，由对勾函数的单调性知，函数在上单调递减，在上单调递增，因为，由得，所以由复合函数的单调性知，函数的单增区间为，故选：A20．（24-25高二下·天津滨海新·阶段练习）函数的单调递增区间是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用复合函数的单调性，结合二次函数、指数函数的单调性可得结果.【详解】函数中，令，则函数在上单调递减，上单调递增，而函数为减函数，因此函数在上单调递增，上单调递减，所以函数的单调递增区间是.故选：A.21．（24-25高二下·湖南·阶段练习）设函数，则（）A．图象关于对称，且在上是增函数B．图象关于对称，且在上是减函数C．图象关于对称，且在上是增函数D．图象关于对称，且在上是减函数【答案】B【分析】验证或是否与相等即可判断函数的对称轴，再结合复合函数即可判断单调性.【详解】因为，所以，注意到，所以图象关于直线对称；当时，，因为在上单调递减，在上单调递增，由复合函数的单调性可知在上单调递减，故选：B22．（24-25高一上·吉林长春·期中）函数的单调递减区间是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先确定与的单调性，由复合函数的单调性可求单调递减区间.【详解】函数，在上单调递增，在上单调递减，又在上单调递减，所以由复合函数的单调性可得：函数的单调递减区间是.故选：D.考点06由指数（型）函数的单调性求参数（共4小题）（易错点）23．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）设函数在区间上单调递减，则的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】利用指数型复合函数单调性，判断列式计算作答.【详解】函数在R上单调递增，而函数在区间上单调递减，则有函数在区间上单调递减，因此，解得，所以的取值范围是.故选：D24．（2025·山东济宁·二模）若函数在上单调递减，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】是由与复合而成，先分析外层函数单调性，再根据复合函数单调性确定内层函数单调性，进而求出的取值范围.【详解】是由与复合而成，在中，，，所以在上单调递减.因为在上单调递减，且外层函数在上单调递减，根据复合函数“同增异减”的原则，可知内层函数在上单调递增.对于二次函数，其图象开口向上，对称轴为.二次函数在对称轴右侧单调递增，要使在上单调递增，则对称轴需满足，解得.故选：A.25．（24-25高二下·江西赣州·阶段练习）已知函数，且对于任意的，有，则实数a的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据分段函数的单调性列出不等式组，求解即得.【详解】由题意，函数是上的增函数，则，解得.故选：B.26．（23-24高一下·内蒙古鄂尔多斯·期中）已知函数在R上是增函数，则实数的取值范围为.【答案】【分析】利用分段函数的单调性，结合指数函数单调性列出不等式求解即得.【详解】由函数在R上是增函数，得，解得，所以实数的取值范围为.故答案为：考点07比较指数幂的大小（共4小题）（重点）27．（24-25高一上·广东汕头·期中）（多选）下列各式比较大小，正确的是（）A． B． C． D．【答案】BCD【分析】利用指数函数的单调性逐个分析判断即可.【详解】对于A，因为在上单调递增，且，所以，所以A错误，对于B，，因为在上单调递减，且，所以，即，所以B正确，对于C，，因为在上单调递增，且，所以，即，所以C正确，对于D，因为在上单调递增，且，所以，因为在上单调递减，且，所以，所以，所以D正确.故选：BCD28．（24-25高一上·天津·期中）若，，，则下列各式正确的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据指数函数单调性计算参数范围即可判断求解.【详解】因为，，则.故选：D.29．（24-25高一上·黑龙江大庆·期中）已知，，，则实数a，b，c的大小关系是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用幂函数与指数函数的性质比较．【详解】根据指数运算法则，＝4．比较a和b的大小，对于和，因为函数，指数0.1＞0，此函数在单调递增．又因为，所以，即．比较a和c的大小，是增函数，，故．故选：A．30．（24-25高一上·吉林长春·期中）设，则大小关系是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】直接利用指数函数和幂函数的单调性，可判断三个数的大小．【详解】函数在上减函数；又，故，即，函数在上为增函数；又，故，即，故.故选：B.考点08由指数函数的单调性解不等式（共4小题）（重点）31．（24-25高一上·贵州六盘水·期末）不等式的解集为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据指数函数的单调性化简原不等式为，再转化为不等式组求解即可.【详解】因为是R上的单调递减函数，所以等价于，则，解得,即不等式的解集为，故选：D.32．（25-26高三上·河北保定·阶段练习）已知函数，则关于的不等式的解集为（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据可得对称性，进而根据函数的单调性，即可得求解.【详解】由，知的图象关于直线对称，设，则，因为在上单调递增，在上单调递增，所以在上单调递增．由，可得．，整理得．解得或．故选：D．33．（23-24高一上·内蒙古赤峰·期末）不等式的解集是.【答案】【分析】利用二次不等式的解法和指数函数的单调性可得出原不等式的解集.【详解】由可得，可得或，又因为函数为上的增函数，则有或，故原不等式的解集为.故答案为：.34．（24-25高一上·浙江杭州·期中）如果，则的取值范围为.【答案】【分析】根据指数函数的单调性得到，由此求解出结果.【详解】因为，且在上单调递增，所以，解得，故答案为：.考点09指数函数型函数的值域或最值（共5小题）（难点）35．（25-26高三上·江苏南通·开学考试）已知函数的定义域是A，则函数的最大值是（

）A．-4 B．0 C．32 D．60【答案】B【分析】先求出A，再利用换元法将化为，结合二次函数性质即可求得答案.【详解】令，解得，故函数的定义域是，令，由于，故，则即为函数，而，当时，取最大值，即函数的最大值是0，故选：B36．（24-25高一上·北京顺义·期中）函数的值域为.【答案】【分析】先求解出的值域，然后结合指数函数的单调性可求的值域.【详解】令，则，因为在上单调递减，所以，且当时，，所以的值域为，故答案为：.37．（24-25高一上·四川泸州·期中）已知函数的定义域和值域都是，则.【答案】【分析】可知数在上单调递减，结合单调性和最值列式求解即可.【详解】因为函数在上单调递减，由题意可得，解得，所以.故答案为：.38．（24-25高一上·海南海口·期中）函数且的值域是，则实数.【答案】或【分析】根据指数函数的单调性，按和两种情况求出值域，列式求解即可【详解】当时，函数且是增函数，其值域为，则，解得；当时，函数且是减函数，其值域是，则，解得，所以实数或.故答案为：或39．（23-24高一下·广西柳州·期中）函数在的最小值是.【答案】【分析】令，利用换元法结合二次函数的性质可得函数的最小值.【详解】令，则，函数变形为，∴当时，函数最小值为.考点10指数函数的实际应用（共3小题）（难点）40．（25-26高一上·全国·单元测试）某学校一个课外实验小组研究某种植物在一定条件下的生长规律，根据实验数据可知，在相同条件下，这种植物每天以的增长率生长，8天后，该植物的长度是原来的倍，则24天后该植物的长度是原来的（

）A．倍 B．倍 C．倍 D．倍【答案】C【分析】设植物原来长度为m，根据8天后，该植物的长度是原来的倍，求出，再结合指数幂的运算即可求得24天后该植物的长度是原来的多少倍．【详解】方法1设植物原来长度为m，8天后，该植物的长度是原来的倍，故，即，即．24天后该植物的长度是，即为原来的倍，又，所以24天后该植物的长度是原来的倍．方法2

设植物原来长度为1，8天后，该植物的长度是，24天后，该植物的长度是，即24天后该植物的长度是原来的倍．故选：C41．（24-25高一上·山东潍坊·期中）某放射性物质在衰变过程中，其质量（单位：克）与年数满足关系式（为初始质量，为常数，）.已知经过3年，这种放射性物质的质量变为原来的一半，再经过6年，该放射性物质的质量变为初始质量的（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】依题意，时，求时的值.【详解】经过3年，这种放射性物质的质量变为原来的一半，即时，，则再经过6年，，.故选：D42．（23-24高一上·河南开封·期末）某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量P（单位：）与时间t（单位：h）间的关系为：，其中，k是正的常数.如果在前5h消除了的污染物，则10h后剩余%的污染物含量.【答案】【分析】根据所给函数模型，代入后整体计算即可得解.【详解】因为前5h消除了的污染物，所以，解得，当经过10h后，，所以10h后剩余的污染物含量.故答案为：考点12指数函数的综合应用（共4小题）（重、难点）43．（25-26高二上·云南昆明·阶段练习）已知函数（，且）.(1)若，求函数在上的值域；(2)若函数在上单调递增，求实数的取值范围.【答案】(1)(2)【分析】（1）令，，结合二次函数及指数函数的性质求解即可；（2）令，结合指数型复合函数的单调性分、两种情况讨论求解即可.【详解】（1）当时，，令，，由二次函数的图象和性质，当时，取得最小值，当时，，则，所以，即在上的值域为.（2）令，其图象的对称轴为直线，开口向上，当时，为减函数，要使函数在上单调递增，则需满足在上单调递减，即，解得，则；当时，为增函数，要使函数在上单调递增，则需满足在上单调递增，即，解得，则.综上，实数的取值范围是.44．（24-25高一上·江苏盐城·期中）已知函数．(1)当时，求函数的单调区间；(2)恒成立，求的取值范围．【答案】(1)增区间为，减区间为；(2)【分析】（1）根据复合函数的单调性结合指数函数的单调性判断单调区间；（2）根据指数函数单调性得出二次不等式恒成立，再结合判别式得出参数范围.【详解】（1）当时，，令，则，的增区间为，减区间为，又为减函数，根据“同增异减”法则：的增区间为，减区间为；（2）恒成立，，即恒成立，，解得：.45．（24-25高一上·四川广安·阶段练习）已知是定义在上的奇函数.(1)求的值，指出的单调性（单调性无需证明）；(2)若函数的图象可以由函数的图象通过平移得到，求的值和函数的值域；(3)若函数，是否存在实数，使得对区间上任意三个实数，都存在以为边长的三角形？若存在，求实数的取值范围；若不存在，请说明理由.【答案】(1)；在上单调递增；(2)，；(3)存在，【分析】（1）根