初中数学华东师大版九年级上册235位似图形举一反三（原卷版）

23.5位似图形xixix

快速定位题型题型目录TOC\o"13"\h\z\u【题型1】位似图形的概念 3【题型2】相似图形的作图 5【题型3】位似图形的作图 7【题型4】利用位似图形的性质求长度 9【题型5】利用位似图形的性质求周长 11【题型6】利用位似图形的性质求面积 12xixix

夯实必备知识新知梳理【知识点1】几何变换的类型（1）平移变换：在平移变换下，对应线段平行且相等．两对应点连线段与给定的有向线段平行（共线）且相等．______（2）轴对称变换：在轴对称变换下，对应线段相等，对应直线（段）或者平行，或者交于对称轴，且这两条直线的夹角被对称轴平分．____________（3）旋转变换：在旋转变换下，对应线段相等，对应直线的夹角等于旋转角．______（4）位似变换：在位似变换下，一对位似对应点与位似中心共线；一条线上的点变到一条线上，且保持顺序，即共线点变为共线点，共点线变为共点线；对应线段的比等于位似比的绝对值，对应图形面积的比等于位似比的平方；不经过位似中心的对应线段平行，即一直线变为与它平行的直线；任何两条直线的平行、相交位置关系保持不变；圆变为圆，且两圆心为对应点；两对应圆相切时切点为位似中心．1.（2024春•驿城区期中）如图所示，该图案是经过（）A．平移得到的B．旋转或轴对称得到的C．轴对称得到的D．旋转得到的【知识点2】作图相似变换（1）两个图形相似，其中一个图形可以看作由另一个图形放大或缩小得到．（2）相似图形的作图在没有明确规定的情况下，我们可以利用相似的基本图形“A”型和“X”型进行简单的相似变换作图．如图所示：（3）如果题目有条件限制，可根据相似三角形的判定条件作为作图的依据．比较简单的是把原三角形的三边对应的缩小或放大一定的比例即可得到对应的相似图形．【知识点3】位似变换（1）位似图形的定义：如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．

注意：①两个图形必须是相似形；②对应点的连线都经过同一点；③对应边平行．（2）位似图形与坐标在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或k．1.（2025•开州区一模）如图，△ABC与△DEF是以点O为位似中心的位似图形，其位似比为3：2，则△ABC与△DEF的面积比是（）A．2：1B．3：2C．9：4D．4：9【知识点4】作图位似变换（1）画位似图形的一般步骤为：①确定位似中心；②分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；③根据位似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；④顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形．借助橡皮筋、方格纸、格点图等简易工具可将图形放大或缩小，借助计算机也很好地将一个图形放大或缩小．（2）注意：①画一个图形的位似图形时，位似中心的选择是任意的，这个点可以在图形的内部或外部或在图形上，对于具体问题要考虑画图方便且符合要求．②由于位似中心选择的任意性，因此作已知图形的位似图形的结果是不唯一的．【题型1】位似图形的概念【典型例题】图中的两个三角形是位似图形，则它们的位似中心是（）A.点PB.点OC.点RD.点S【举一反三1】下列各选项的两个图形中，不是位似图形的是（）A.B.C.D.【举一反三2】视力表用来测试一个人的视力，如图是视力表的一部分，图中的“E”均是相似图形，其中不是位似图形的是（）A.①和④B.②和③C.①和②D.②和④【举一反三3】如图，点P是DA，FC，EB的交点，则△ABC与△DEF

是位似图形（填“一定”或“不一定”）．【举一反三4】判断每组中两个相似图形是不是位似图形，如果是位似图形，请指出其位似中心；如果不是，试说明理由．【举一反三5】如图，在△ABC中，E，F是AB的三等分点，FH∥EG∥AC．（1）四边形EFHG与四边形FACH是位似图形吗？为什么？（2）指出图中所有的位似图形．【题型2】相似图形的作图【典型例题】如图，在4×4的正方形网格中，画2个相似三角形，在下列各图中，正确的画法有（）A.1个B.2个C.3个D.4个【举一反三1】若P是Rt△ABC斜边BC上异于B，C的一点，过点P作直线截△ABC，截得的三角形与原△ABC相似，满足这样条件的直线有（）条．A.1B.2C.3D.4【举一反三2】要在已知△ABC上用直尺和圆规截取出一个新的三角形，使之与原△ABC相似．以下是甲、乙两人的作法：甲：如图1，分别以点A，C为圆心，同样长度为半径画弧，交AB，BC，AC于点F，D，E；以F点为圆心，以D，E间的距离为半径画弧，与先画的弧交于点G；作射线AG，交BC边与点H．则△HBA即为所求；乙：如图2，分别以点A，B，C为圆心，大于12AC的同样长度为半径画弧，所画弧分别交于点D、E，F，G；分别作直线DE和FG，直线DE和FG分别交AB，AC于点M，N；连接MN．则△A.甲、乙两人的作法都正确B.甲、乙两人的作法都错误C.甲的作法正确，乙的作法错误D.甲的作法错误，乙的作法正确【举一反三3】已知△ABC在坐标平面内三顶点的坐标分别为A（0，2）、B（3，3）、C（2，1）．以B为位似中心，画出与△ABC相似（与图形同向），且相似比是3的三角形，它的三个对应顶点的坐标分别是

．【举一反三4】如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°．请用尺规作图法在AC边上求作一点D，使得△BDC∽△ABC．（保留作图痕迹，不写作法）【举一反三5】如图，分别按下列要求画出变换后的图形．（1）把△ABC向右平移3个单位得△A1B1C1（A与A1对应，B与B1对应）；（2）以A1为旋转中心，将△A1B1C1逆时针旋转90°得△A1B2C2（B1与B2对应）；（3）把A1B2C2的每一条边都扩大到原来的2倍得△DEF．【题型3】位似图形的作图【典型例题】如图，在平面直角坐标系中，以原点O为位似中心，将△ABO扩大到原来的2倍，得到△A'B'O．若点B的坐标为（2，1），则点B'的坐标为（）A.（2，4）B.（4.2）C.（2，4）或（﹣2，﹣4）D.（4，2）或（﹣4，﹣2）【举一反三1】如图，在坐标系中，以A（0，2）为位似中心，在y轴右侧作△ABC放大2倍后的位似图形△AB'C'，若C的对应点C'的坐标为（m，n），则点C的坐标为（）A.（m，n+3）B.（m，n﹣3）C.（m，n+2）D.（m，n﹣2）【举一反三2】如图所示，在平面直角坐标系中，有两点A（4，2），B（3，0），以原点为位似中心，A′B′与AB的相似比为，得到线段A′B′．正确的画法是（）A.B.C.D.【举一反三3】如图，以点O为位似中心，把△ABC放大2倍得到△A'B'C''，①AB∥A'B'；②△ABC∽△A'B'C'；③AO：AA'＝1：2；④点C、O、C'三点在同一直线上．则以上四种说法正确的是

．【举一反三4】如图，已知A（﹣4，2），B（﹣2，6），C（0，4）是直角坐标系平面上三点．（1）把△ABC向右平移4个单位再向下平移1个单位，得到△A1B1C1．画出平移后的图形，并写出点A的对应点A1的坐标；（2）以原点O为位似中心，将△ABC缩小为原来的一半，得到△A2B2C2，请在所给的坐标系中作出所有满足条件的图形．【举一反三5】如图，以点A为位似中心，画出△DEF的位似图形△D1E1F1，使它与△DEF的相似比为1：2，且对应点在点A的另一侧．【题型4】利用位似图形的性质求长度【典型例题】如图，△ABC与△A'B'C'是位似图形，点O是位似中心，位似比为2：3．若AB＝4，则A'B'的长度为（）A.3B.4C.5D.6【举一反三1】如图，△ABC与△DEF位似，点O为位似中心，位似比为1：2，BC＝2，则EF的长度为（）A.3B.4C.6D.8【举一反三2】如图，右边的“E”与左边的“E”是位似图形，A是位似中心，位似比为3：5．若BC＝75，则GH的长为（）A.15B.30C.45D.60【举一反三3】如图，以点O为位似中心，将△ABC缩小后得到△A′B′C′，相似比为3：1，若A′C′＝3，则其对应边的长度为

．【举一反三4】如图，已知矩形ABCD与矩形AB'C'D'是位似图形，点A为位似中心，若矩形ABCD的周长为24，BB'＝4，DD'＝2．求边AB与AD的长．【举一反三5】如图，△ABC与△ADE是位似三角形．（1）判断BC与DE的位置关系；（2）若AE＝2，AC＝4，AD＝3，求△ADE与△ABC的相似比及AB的长度．【题型5】利用位似图形的性质求周长【典型例题】如图，△ABC和△A1B1C1是以点O为位似中心的位似图形，点A在线段OA1上，若OA：AA1＝1：2，则△ABC和△A1B1C1的周长之比为（）A.1：2B.2：1C.1：3D.3：1【举一反三1】如图所示，在△ABC外取一点O，连接OA，OB，OC，并分别各取这些线段的中点D，E，F连接起来，则下列结论错误的是（）A.△ABC与DEF是位似图形B.点O是△ABC与△DEF的位似中心C.△ABC与△DEF的相似比2：1D.△ABC与△DEF的周长比为4：1【举一反三2】如图，矩形ABCD与矩形A'B'C'D'是位似图形，点A是位似中心，矩形ABCD的周长是24，BB'＝4，DD'＝2，则AB＝

．【举一反三3】已知矩形ABCD与矩形A′B′C′D′是位似图形，A为位似中心．已知矩形ABCD的周长为24，BB′＝4，DD′＝2，求AB与AD的长．【题型6】利用位似图形的性质求面积【典型例题】如图，△DEF和△ABC是位似图形，点O是位似中心，点D，E，F分别是OA，OB，OC的中点．若△DEF的面积为S，周长为l，则下列说法正确的是（）A.△ABC的面积为2SB.△ABC的面积为SC.△ABC的周长为2lD.△ABC的周长为l【举一反三1】如图，正方形OABC与正方形ODEF是位似图形，O为位似中心，若两个正方形的面积之比为1：3，点A坐标为（2，0），则E点坐标为（）A.B.C.D.（3，3）【举一反三2