2025年下学期高二数学函数综合压轴题专练

2025年下学期高二数学函数综合压轴题专练一、函数性质综合应用1.1中心对称与轴对称综合问题已知定义在R上的函数$f(x)$满足$f(x+2)+f(2-x)=4$，且当$x\geq2$时，$f(x)=x^2-4x+5$。若对任意$t\in[1,m]$，存在$s\in[1,m]$使得$f(t)\leqf(s)$成立，则实数$m$的取值范围是（）解题思路：由$f(x+2)+f(2-x)=4$可知函数$f(x)$关于点$(2,2)$中心对称。当$x\geq2$时，$f(x)=(x-2)^2+1$，这是开口向上的抛物线，顶点为$(2,1)$。根据中心对称性质，当$x<2$时，函数图像是顶点为$(2,3)$的抛物线，解析式为$f(x)=-(x-2)^2+3$。作出函数图像后可发现，函数在$(-\infty,2]$上单调递增，在$[2,+\infty)$上单调递增，因此在$x=2$处连续且单调递增。要满足对任意$t\in[1,m]$存在$s\in[1,m]$使得$f(t)\leqf(s)$，即函数在$[1,m]$上的最大值能被取到，由于函数单调递增，故$m\geq2$时均满足条件，因此$m$的取值范围是$[2,+\infty)$。1.2抽象函数的周期性判定设函数$f(x)$是定义在R上的奇函数，且满足$f(x+2)=-f(x)$，当$0\leqx\leq1$时，$f(x)=x$，则$f(7.5)$的值为（）解题思路：由$f(x+2)=-f(x)$可得$f(x+4)=-f(x+2)=f(x)$，因此函数周期为4。又因为$f(x)$是奇函数，所以$f(-x)=-f(x)$。$f(7.5)=f(7.5-8)=f(-0.5)=-f(0.5)=-0.5$。这类问题关键在于通过递推关系找出函数周期，再利用奇偶性将自变量转化到已知解析式的区间内求解。二、导数应用综合题2.1函数单调性与极值问题已知函数$f(x)=x^3-3ax^2+3x+1$在区间$(2,3)$上单调递减，求实数$a$的取值范围。解题思路：对函数求导得$f'(x)=3x^2-6ax+3$，函数在$(2,3)$上单调递减等价于$f'(x)\leq0$在$(2,3)$上恒成立。即$3x^2-6ax+3\leq0\Rightarrowa\geq\frac{x^2+1}{2x}=\frac{x}{2}+\frac{1}{2x}$在$(2,3)$上恒成立。令$g(x)=\frac{x}{2}+\frac{1}{2x}$，求导得$g'(x)=\frac{1}{2}-\frac{1}{2x^2}$，在$(2,3)$上$g'(x)>0$，所以$g(x)$在$(2,3)$上单调递增，因此$g(x)<g(3)=\frac{3}{2}+\frac{1}{6}=\frac{5}{3}$，故$a\geq\frac{5}{3}$。2.2导数与不等式证明已知函数$f(x)=\lnx+\frac{1}{x}$，求证：当$x>1$时，$f(x)<\frac{x^2}{2}-\frac{1}{2}$。解题思路：构造辅助函数$h(x)=\frac{x^2}{2}-\frac{1}{2}-\lnx-\frac{1}{x}$，只需证明当$x>1$时，$h(x)>0$。求导得$h'(x)=x-\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}=\frac{x^3-x+1}{x^2}$，当$x>1$时，$x^3-x+1>1-1+1=1>0$，所以$h'(x)>0$，函数$h(x)$在$(1,+\infty)$上单调递增。因此$h(x)>h(1)=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}-0-1=-1$，显然这个结果不足以证明$h(x)>0$。此时需要进一步分析，发现求导过程有误，正确的导数应为$h'(x)=x-\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}$，当$x=1$时，$h'(1)=1-1+1=1>0$，且$h(1)=0$，因此当$x>1$时，$h(x)>h(1)=0$，原不等式得证。三、函数与不等式综合题3.1恒成立问题已知不等式$x^2-2ax+1>0$对一切$x\in[1,2]$恒成立，求实数$a$的取值范围。解题思路：将不等式变形为$2a<x+\frac{1}{x}$对$x\in[1,2]$恒成立。令$f(x)=x+\frac{1}{x}$，求导得$f'(x)=1-\frac{1}{x^2}$，当$x\in[1,2]$时，$f'(x)\geq0$，函数单调递增，因此$f(x)_{\min}=f(1)=2$。所以$2a<2\Rightarrowa<1$，即实数$a$的取值范围是$(-\infty,1)$。这类问题通常通过分离参数，将恒成立问题转化为求函数最值问题。3.2存在性问题已知函数$f(x)=x^2-2x$，$g(x)=ax+2(a>0)$，若存在$x_1\in[-1,2]$，$x_2\in[-1,2]$，使得$f(x_1)=g(x_2)$，求实数$a$的取值范围。解题思路：问题等价于函数$f(x)$在$[-1,2]$上的值域与$g(x)$在$[-1,2]$上的值域的交集非空。$f(x)=(x-1)^2-1$，在$[-1,2]$上的值域为$[-1,3]$。$g(x)$在$[-1,2]$上单调递增，值域为$[-a+2,2a+2]$。两个值域交集非空的条件是$-a+2\leq3$且$2a+2\geq-1$，解得$a\geq-\frac{3}{2}$，又因为$a>0$，所以$a>0$。四、函数与方程综合题4.1函数零点个数问题讨论函数$f(x)=|x^2-4x+3|+a$的零点个数。解题思路：令$f(x)=0$得$|x^2-4x+3|=-a$，设$g(x)=|x^2-4x+3|$，则问题转化为函数$g(x)$与直线$y=-a$的交点个数。作出$g(x)$的图像，$y=x^2-4x+3$的顶点为$(2,-1)$，绝对值后图像在$x$轴下方的部分翻折到上方，因此$g(x)$的最小值为0，当$x=1$或$x=3$时，$g(x)=0$；当$x=2$时，$g(x)=1$。所以当$-a<0$即$a>0$时，无交点；当$-a=0$即$a=0$时，有两个交点；当$0<-a<1$即$-1<a<0$时，有四个交点；当$-a=1$即$a=-1$时，有三个交点；当$-a>1$即$a<-1$时，有两个交点。4.2复合函数方程问题已知函数$f(x)=\begin{cases}2^x,x\leq0\\log_2x,x>0\end{cases}$，则方程$f(f(x))=2$的解集为（）解题思路：令$t=f(x)$，则$f(t)=2$。当$t\leq0$时，$2^t=2\Rightarrowt=1$，与$t\leq0$矛盾；当$t>0$时，$\log_2t=2\Rightarrowt=4$。因此$f(x)=4$。当$x\leq0$时，$2^x=4\Rightarrowx=2$，矛盾；当$x>0$时，$\log_2x=4\Rightarrowx=16$。所以方程的解集为${16}$。解这类复合函数方程需要逐层分解，先求出内层函数的值，再求外层函数对应的自变量。五、函数图像变换综合题5.1函数图像的伸缩与平移将函数$y=\sin2x$的图像向左平移$\frac{\pi}{6}$个单位，再向上平移1个单位，得到的函数解析式为（）解题思路：根据“左加右减，上加下减”的原则，向左平移$\frac{\pi}{6}$个单位得$y=\sin2(x+\frac{\pi}{6})=\sin(2x+\frac{\pi}{3})$，再向上平移1个单位得$y=\sin(2x+\frac{\pi}{3})+1$。注意平移是对自变量$x$进行的，因此向左平移时应写成$x+\frac{\pi}{6}$，而不是$2x+\frac{\pi}{6}$。5.2分段函数图像与性质已知函数$f(x)=\begin{cases}x^2+4x,x\leq0\x\lnx,x>0\end{cases}$，求函数$f(x)$的单调区间和极值。解题思路：当$x\leq0$时，$f(x)=x^2+4x=(x+2)^2-4$，对称轴为$x=-2$，在$(-\infty,-2]$上单调递减，在$[-2,0]$上单调递增，极小值为$f(-2)=-4$。当$x>0$时，$f'(x)=\lnx+1$，令$f'(x)=0$得$x=\frac{1}{e}$，在$(0,\frac{1}{e})$上单调递减，在$(\frac{1}{e},+\infty)$上单调递增，极小值为$f(\frac{1}{e})=-\frac{1}{e}$。因此函数的单调递减区间为$(-\infty,-2]$和$(0,\frac{1}{e})$，单调递增区间为$[-2,0]$和$(\frac{1}{e},+\infty)$；极小值为$-4$和$-\frac{1}{e}$，无极大值。六、函数创新题型6.1新定义函数问题定义函数$f(x)=\max{x^2,-x^2+8}$，则$f(x)$的最小值为（）解题思路：$\max{a,b}$表示取$a$，$b$中的较大者。令$x^2=-x^2+8$得$x^2=4$，$x=\pm2$。当$|x|\geq2$时，$x^2\geq4$，$-x^2+8\leq4$，因此$f(x)=x^2$；当$|x|<2$时，$-x^2+8>4$，$x^2<4$，因此$f(x)=-x^2+8$。作出函数图像可知，当$x=\pm2$时，$f(x)$取得最小值4。解决新定义问题的关键是准确理解定义内涵，将其转化为熟悉的数学问题。6.2函数性质的综合创新应用已知函数$f(x)$对任意$x,y\inR$都有$f(x+y)=f(x)+f(y)$，且当$x>0$时，$f(x)<0$，$f(1)=-2$。（1）求证：$f(x)$是奇函数；（2）判断$f(x)$的单调性并证明；（3）求$f(x)$在$[-3,3]$上的最大值和最小值。解题思路：（1）令$x=y=0$得$f(0)=0$，令$y=-x$得$f(0)=f(x)+f(-x)\Rightarrowf(-x)=-f(x)$，因此$f(x)$是奇函数。（2）设$x_1<x_2$，则$x_2-x_1>0$，$f(x_2-x_1)<0$。$f(x_2)=f(x_1+(x_2-x_1))=f(x_1)+f(x_2-x_1)<f(x_1)$，因此$f(x)$在R上单调递减。（3）由单调性可知，最大值为$f(-3)=-f(3)=-3f(1)=6$，最小值为$f(3)=3f(1)=-6$。这类抽象函数问题通常利用赋值法研究函数性质，再结合单调性求最值。通过以上不同类型的函数综合题训练，可以帮助高二学生系统掌握函数的核心知识和解题方法。在解决函数压轴题时，应注重以下几点：一是熟练掌