2025年下学期高二数学合作共赢教育试题

2025年下学期高二数学合作共赢教育试题一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）某学习小组在探究几何概型时，将一根长度为60cm的均匀木棒随机折成三段，记事件A为“三段木棒能构成三角形”。已知小组中三名同学分别采用不同的变量表示方法进行概率计算：甲同学设其中两段长度为x、y，乙同学设第一段与第二段长度之比为t，丙同学设三段长度的方差为s²。则下列说法正确的是（）A.甲同学计算时需考虑x+y>30的约束条件B.乙同学建立的坐标系中样本空间是边长为1的正方形C.丙同学通过方差取值范围计算概率的方法不适用D.三名同学最终得到的概率值互不相同在解析几何合作学习中，第二小组发现椭圆与双曲线存在奇妙的对偶关系。已知椭圆C₁：$\frac{x²}{a²}+\frac{y²}{b²}=1$（a>b>0）与双曲线C₂：$\frac{x²}{m²}-\frac{y²}{n²}=1$（m>0，n>0）共焦点F₁、F₂，P是它们的一个交点，且∠F₁PF₂=60°。设小组中甲同学负责计算椭圆的离心率e₁，乙同学计算双曲线的离心率e₂，丙同学推导$\frac{1}{e₁²}+\frac{3}{e₂²}$的值。则丙同学得到的结果是（）A.2B.3C.4D.5第三小组进行数学建模活动，对学校周边社区的快递柜使用情况进行统计分析。已知该社区有A、B两种型号的快递柜，其中A型柜的使用概率为0.6，B型柜的使用概率为0.5，且两者使用情况相互独立。小组成员分工计算以下概率：①至少有一种型号快递柜被使用的概率；②恰有A型柜被使用的概率；③两种型号快递柜都不被使用的概率。则这三个概率值构成的集合是（）A.{0.2,0.3,0.8}B.{0.2,0.3,0.7}C.{0.3,0.4,0.8}D.{0.3,0.4,0.7}在导数应用专题研讨中，第四小组设计了如下问题：函数f(x)=x³-3ax²+3bx在x=1处有极值，其图像在点(0,f(0))处的切线斜率为3。小组中三名同学分别完成不同任务：甲同学求a+b的值，乙同学求函数的单调区间，丙同学求函数在区间[-1,2]上的最大值与最小值之和。则下列结论正确的是（）A.甲同学得到的值为2B.乙同学发现函数有两个单调递增区间C.丙同学得到的结果为-2D.该函数图像关于点(1,0)中心对称第五小组开展立体几何模型制作活动，用硬纸板制作了一个底面为正方形的四棱锥P-ABCD，其中PA⊥底面ABCD，PA=AB=2。小组进行分工合作：①小明测量侧棱PB与底面所成角的正切值；②小红计算侧面PBC与底面ABCD所成二面角的余弦值；③小刚求四棱锥的外接球表面积。则三人的计算结果依次是（）A.$\sqrt{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{3}$，9πB.$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{3}$，12πC.$\sqrt{2}$，$\frac{\sqrt{6}}{3}$，9πD.$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{\sqrt{6}}{3}$，12π在数列合作探究课上，第六小组发现斐波那契数列与黄金分割率的紧密联系。已知斐波那契数列定义为：F₁=1，F₂=1，Fₙ=Fₙ₋₁+Fₙ₋₂（n≥3），小组任务分工：甲同学计算$\frac{F₇}{F₈+F₆}$的值，乙同学证明$\sum_{k=1}^{n}F_{2k-1}=F_{2n}$，丙同学验证当n→∞时，$\frac{Fₙ}{Fₙ₊₁}$趋近于黄金分割比$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$。则下列说法正确的是（）A.甲同学得到的结果为$\frac{1}{2}$B.乙同学需要用数学归纳法分三步完成证明C.丙同学的结论可通过特征方程法推导D.三人的探究成果无法推广到卢卡斯数列第七小组进行概率统计实践活动，对学校图书馆的借阅情况进行调查。已知图书馆有A、B、C三类图书，学生借阅A类图书的概率为0.4，借阅B类图书的概率为0.3，借阅C类图书的概率为0.3，且借阅不同类别图书相互独立。小组设计了两个问题：①计算一名学生至少借阅两类图书的概率；②若随机抽取5名学生，计算恰有3名学生借阅A类图书的概率。则这两个问题的答案分别是（）A.0.24，0.216B.0.24，0.3456C.0.36，0.216D.0.36，0.3456在数学文化拓展课上，第八小组研究《九章算术》中的“堑堵”与“阳马”。已知一个堑堵（底面为直角三角形的直棱柱）的体积为V，三名同学分别进行切割：甲同学过三条侧棱中点作截面，乙同学沿底面一条中位线与相对侧棱作截面，丙同学将其分割成一个阳马（底面为矩形的四棱锥）和一个鳖臑（四个面均为直角三角形的四面体）。则三人得到的几何体中，体积为$\frac{V}{2}$的个数是（）A.0个B.1个C.2个D.3个二、多项选择题（本大题共4小题，每小题6分，共24分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分）第九小组在导数应用合作学习中，研究函数f(x)=eˣ-ax²-bx+c的性质，已知该函数图像过点(0,2)，且在x=1处有极值。小组四名成员分别得出以下结论：甲：当a=1时，b的值为e-2乙：函数可能存在两个极值点丙：若a=0，则函数在R上单调递增丁：当a=1，b=e时，函数有两个零点其中正确的结论有（）A.甲B.乙C.丙D.丁在解析几何项目式学习中，第十小组探究动直线与圆锥曲线的位置关系。已知直线l：y=kx+m与椭圆$\frac{x²}{4}+\frac{y²}{3}=1$相交于A、B两点，小组分工完成以下任务：甲同学：计算当k=0时，|AB|的最大值乙同学：证明当m=0时，OA⊥OB（O为坐标原点）的充要条件是k²=$\frac{3}{4}$丙同学：推导△AOB面积的最大值为$\sqrt{3}$丁同学：发现存在实数k、m使得以AB为直径的圆过椭圆右焦点则正确的结论有（）A.甲B.乙C.丙D.丁第十一小组进行立体几何合作建模，用棱长为2的正方体材料制作模型：模型一：从正方体中挖去一个最大的圆锥模型二：沿正方体三个相邻面的对角线切割得到一个三棱锥模型三：将正方体表面全部涂上红色后，切割成64个棱长为0.5的小正方体小组四名同学分别计算：甲：模型一的体积乙：模型二的表面积丙：模型三中恰有两面涂色的小正方体个数丁：比较三个模型的稳定性（用底面积与高的比值衡量）则下列计算结果正确的有（）A.甲的结果为$8-\frac{2π}{3}$B.乙的结果为$3\sqrt{3}$C.丙的结果为24D.丁发现模型二稳定性最好在概率统计合作探究中，第十二小组分析某工厂产品质量数据：已知该工厂生产的产品分为一等品、二等品、三等品，其合格率（一等品+二等品）为0.9，一等品率为0.6。现随机抽取10件产品，小组同学分工计算：甲：至少有2件三等品的概率乙：一等品数量与二等品数量之差的数学期望丙：恰有6件一等品且2件二等品的概率丁：用切比雪夫不等式估计一等品数量在[4,8]范围内的概率下限则下列说法正确的有（）A.甲的计算需用到对立事件概率公式B.乙的结果为0.4C.丙的结果为$C_{10}^6(0.6)^6(0.3)^2(0.1)^2$D.丁的估计结果为$\frac{5}{9}$三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）第十三小组开展数学建模活动，为校园共享单车调度优化提供方案。已知校园内A、B两个停车点的单车数量分别为12辆和18辆，现需将A点x辆单车调往B点，使A、B两点单车数量的方差最小。小组中甲同学建立方差函数模型，乙同学通过求导计算最优解，丙同学用不等式验证结果。则他们得到的x值为______，此时最小方差为______。（第一空2分，第二空3分）第十四小组进行解析几何合作探究，发现椭圆的光学性质：从椭圆一个焦点发出的光线经椭圆反射后必经过另一个焦点。小组利用该性质解决问题：已知椭圆C：$\frac{x²}{25}+\frac{y²}{16}=1$，从焦点F₁发出的光线经椭圆上点P(3,y₀)反射后经过F₂。甲同学求点P的纵坐标y₀=，乙同学计算反射光线所在直线的斜率为，丙同学发现该光线从F₁到P再到F₂的总路程为______。（第一空2分，第二空2分，第三空1分）第十五小组在数列合作学习中，定义“合作数列”：对于数列{aₙ}，若存在常数k，使得对任意n∈N*，都有aₙ₊₂=aₙ₊₁+kaₙ成立，则称其为k阶合作数列。已知某2阶合作数列满足a₁=1，a₂=2，且前5项和为31，则该数列的k值为______，其前10项中能被3整除的项数为______。第十六小组进行数学文化合作探究，研究秦九韶算法与现代算法的对比：任务一：用秦九韶算法计算多项式f(x)=2x⁵-3x⁴+4x³-5x²+6x-7在x=3处的值任务二：设计一个程序框图计算1+3+5+...+(2n-1)任务三：比较两者的计算效率（用乘法运算次数衡量）小组中甲同学完成任务一的乘法次数为______，乙同学设计的程序框图中循环体执行次数为______，丙同学发现秦九韶算法的效率比直接计算提高了______%。（第一空1分，第二空2分，第三空2分）四、解答题（本大题共6小题，共66分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）（本小题满分10分）第十七小组进行三角函数合作学习，在测量校园内旗杆高度时产生两种方案：方案一：在水平地面A、B两点处分别测得旗杆顶端P的仰角为α、β，AB间距离为a，且∠AOB=θ（O为旗杆底部）；方案二：在同一水平直线上选取C、D两点，CD间距离为b，在C点测得仰角为γ，在D点测得仰角为δ，且C、D与旗杆底部O三点共线。（1）请分别用方案一、方案二中的测量数据表示旗杆高度h；（6分）（2）若实际测量时，方案一测得α=30°，β=45°，θ=60°，a=20米；方案二测得γ=60°，δ=30°，b=10√3米。小组分工计算：甲同学用方案一计算h，乙同学用方案二计算h，丙同学分析两种方案的误差来源。试比较甲、乙结果的差异，并说明哪种方案更优。（4分）（本小题满分10分）第十八小组进行导数应用合作探究，研究函数f(x)=lnx-ax²+(2-a)x的性质：（1）小组中甲同学负责求函数f(x)的单调区间；（4分）（2）乙同学发现当a=1时，函数有两个零点x₁、x₂（x₁<x₂），且满足x₁+x₂>1，请求证该结论；（3分）（3）丙同学提出：是否存在实数a，使得函数f(x)的图像与x轴交于A、B两点，线段AB中点的横坐标为x₀，且f'(x₀)=0？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由。（3分）（本小题满分12分）第十九小组进行立体几何合作建模，设计一个直三棱柱形包装盒（厚度忽略不计），要求：①底面是直角三角形，两直角边长分别为x、y，斜边长为10；②侧棱长为h，体积为V；③包装盒表面积（含上、下底面）不超过600cm²。（1）小组中甲同学负责用x、y表示体积V，并求V的最大值；（4分）（2）乙同学提出在体积最大的前提下，研究材料最省问题，即表面积最小时的h值；（4分）（3）丙同学发现当x=y时，包装盒的稳定性最佳（重心最低），请求出此时包装盒的外接球表面积。（4分）（本小题满分12分）第二十小组进行解析几何合作探究，已知抛物线C：y²=4x的焦点为F，过F的直线l与抛物线交于A、B两点：（1）小组中甲同学设直线l的斜率为k，当k变化时，发现以AB为直径的圆恒过定点，请求出该定点坐标；（4分）（2）乙同学过点A、B分别作抛物线准线的垂线，垂足为A'、B'，证明：以A'B'为直径的圆与直线l相切；（4分）（3）丙同学在x轴上取点M(t,0)，发现当t变化时，∠AMB的大小会发生变化，请求出使∠AMB恒为锐角的t的取值范围。（4分）（本小题满分12分）第二十一小组进行概率统计合作研究，分析某学习小组5名同学的数学成绩数据：已知5名同学的某次数学考试成绩（单位：分）分别为85,90,95,100,105，小组开展以下研究：（1）甲同学计算这组数据的平均数、方差和中位数；（3分）（2）乙同学采用分层抽样方法从成绩不低于95分的同学中随机抽取2人，再从这2人中任选1人参加数学竞赛，求选中100分同学的概率；（3分）（3）丙同学发现该小组同学成绩X服从正态分布N(μ,σ²)，且P(X>110)=0.1587，P(X<80)=0.0228。现从该小组中随机选取3名同学，记成绩在[80,110]内的人数为Y，求Y的分布列和数学期望。（6分）（本小题满分10分）第二十二小组进行数列合作创新研究，定义“共赢数列”：对于正项数列{aₙ}，若存在常数λ>0，使得对任意n∈N*，都有$\frac{a_{n+1}}{a_n}=\lambda+\frac{1}{S_n}$，其中Sₙ为数列前n项和，且a₁=1。（1）小组中甲同学计算λ=1时的a₂、a₃，并猜想数列{aₙ}的通项公式；（4分）（2）乙同学验证当λ=1时，数列{aₙ}是否为等差数列，并证明你的结论；（3分）（3）丙同学提出：若λ=2，数列{aₙ}是否仍为等差数列？请说明理由。（3分）五、合作探究题（本大题满分12分）第二十三小组开展跨学科合作项目，为校园雨水回收系统设计一个数学模型：问题背景：校园内计划修建一个长方体蓄水池，底面为正方形，深度为h米。已知侧