2025年下学期高二数学可持续发展评估试题（二）

2025年下学期高二数学可持续发展评估试题（二）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）函数$f(x)=\frac{\ln(x+1)}{\sqrt{2-x}}$的定义域是（）A.$(-1,2)$B.$[-1,2)$C.$(-1,2]$D.$[-1,2]$已知向量$\vec{a}=(2,3)$，$\vec{b}=(m,-6)$，若$\vec{a}\perp\vec{b}$，则$m$的值为（）A.$-4$B.$4$C.$9$D.$-9$函数$f(x)=x^3-3x^2+2$在区间$[-1,2]$上的最大值是（）A.$2$B.$0$C.$-1$D.$4$已知$\sin\alpha=\frac{3}{5}$，$\alpha\in\left(\frac{\pi}{2},\pi\right)$，则$\cos\left(\alpha-\frac{\pi}{4}\right)$的值为（）A.$\frac{\sqrt{2}}{10}$B.$-\frac{\sqrt{2}}{10}$C.$\frac{7\sqrt{2}}{10}$D.$-\frac{7\sqrt{2}}{10}$一个几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积是（）（正视图：高为4的矩形，侧视图：宽为3的矩形，俯视图：边长为3的正方形）A.$12\\text{cm}^3$B.$24\\text{cm}^3$C.$36\\text{cm}^3$D.$48\\text{cm}^3$已知等比数列${a_n}$中，$a_1=2$，$a_4=16$，则数列${a_n}$的前5项和$S_5$为（）A.$30$B.$62$C.$126$D.$254$不等式$x^2-2x-3<0$的解集是（）A.$(-1,3)$B.$(-\infty,-1)\cup(3,+\infty)$C.$(-3,1)$D.$(-\infty,-3)\cup(1,+\infty)$从5名男生和4名女生中任选2人参加演讲比赛，则至少有1名女生的概率是（）A.$\frac{1}{6}$B.$\frac{5}{6}$C.$\frac{1}{3}$D.$\frac{2}{3}$函数$f(x)=\sin\left(2x+\frac{\pi}{3}\right)$的最小正周期和对称轴方程分别是（）A.$\pi$，$x=\frac{k\pi}{2}+\frac{\pi}{12}(k\in\mathbb{Z})$B.$2\pi$，$x=\frac{k\pi}{2}+\frac{\pi}{12}(k\in\mathbb{Z})$C.$\pi$，$x=k\pi+\frac{\pi}{12}(k\in\mathbb{Z})$D.$2\pi$，$x=k\pi+\frac{\pi}{12}(k\in\mathbb{Z})$已知直线$l:y=kx+1$与圆$C:x^2+y^2-2x-3=0$相交于$A$，$B$两点，若$|AB|=2\sqrt{3}$，则$k$的值为（）A.$\pm\sqrt{3}$B.$\pm1$C.$\pm\frac{\sqrt{3}}{3}$D.$\pm\frac{1}{2}$若$x>0$，$y>0$，且$x+2y=4$，则$xy$的最大值是（）A.$1$B.$2$C.$3$D.$4$已知函数$f(x)=\log_2(x+1)$，若$f(a)=3$，则$a$的值为（）A.$7$B.$8$C.$9$D.$10$二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）已知向量$\vec{a}=(1,2)$，$\vec{b}=(3,1)$，则$\vec{a}+2\vec{b}=$__________．函数$f(x)=x^2-4x+3$的导数$f'(x)=$，在点$(1,0)$处的切线方程为．已知$\tan\alpha=2$，则$\frac{\sin\alpha+\cos\alpha}{\sin\alpha-\cos\alpha}=$__________．某中学高二年级有学生500人，其中男生300人，女生200人．为了解学生的数学成绩，现用分层抽样的方法从该年级学生中抽取一个容量为50的样本，则应抽取男生__________人．三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）（本小题满分10分）已知函数$f(x)=\sinx+\cosx$，$x\in\mathbb{R}$．（1）求$f(x)$的最小正周期；（2）求$f(x)$在区间$\left[0,\frac{\pi}{2}\right]$上的最大值和最小值．（本小题满分12分）如图，在三棱锥$P-ABC$中，$PA\perp$平面$ABC$，$AB\perpBC$，$PA=AB=BC=2$．（1）求证：$BC\perp$平面$PAB$；（2）求三棱锥$P-ABC$的体积．（本小题满分12分）已知数列${a_n}$是等差数列，且$a_1=1$，$a_3=5$．（1）求数列${a_n}$的通项公式；（2）若数列${b_n}$满足$b_n=2^{a_n}$，求数列${b_n}$的前$n$项和$T_n$．（本小题满分12分）已知函数$f(x)=x^3-3x+1$．（1）求函数$f(x)$的单调区间；（2）求函数$f(x)$在区间$[-2,2]$上的最值．（本小题满分12分）某商场为了促销，举办了一次抽奖活动．活动规则如下：从装有3个红球和2个白球的不透明箱子中，随机摸出2个球．若摸出的2个球都是红球，则获得一等奖，奖金100元；若摸出的2个球中1个红球和1个白球，则获得二等奖，奖金50元；若摸出的2个球都是白球，则获得三等奖，奖金10元．（1）求摸出的2个球都是红球的概率；（2）求抽奖者获得奖金的数学期望．（本小题满分12分）已知椭圆$C:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$的离心率为$\frac{\sqrt{3}}{2}$，且过点$(2,1)$．（1）求椭圆$C$的标准方程；（2）设直线$l:y=kx+m$与椭圆$C$交于$A$，$B$两点，$O$为坐标原点，若$\overrightarrow{OA}\cdot\overrig