内蒙古自治区呼伦贝尔市海拉尔区四年级上学期数学《“商的变化规律（除数不变）”探究》

内蒙古自治区呼伦贝尔市海拉尔区四年级上学期数学《“商的变化规律（除数不变）”探究》一、情境导入：草原牧场的数学问题在呼伦贝尔广阔的草原上，牧民们正忙着分放牧草。假设一个牧场有120捆牧草，要平均分给3个羊群，每个羊群能得到多少捆？我们可以列出算式120÷3=40（捆）。如果第二天牧草数量增加到240捆，仍然分给这3个羊群，每个羊群能得到多少捆呢？算式变成240÷3=80（捆）。观察这两个算式，我们发现除数都是3没有变化，被除数从120变成240，扩大了2倍，商也从40变成80，同样扩大了2倍。这其中隐藏着怎样的数学规律？让我们通过一系列探究活动来揭开谜底。二、规律探究：动手操作与观察发现（一）初步感知规律我们先来完成一组基础计算题，看看能否发现其中的变化特点：60÷5=12120÷5=24180÷5=36240÷5=48300÷5=60观察这组算式，除数都是5保持不变。从第一个算式到第二个算式，被除数从60变成120，乘了2，商从12变成24，也乘了2；从第二个算式到第三个算式，被除数从120变成180，乘了1.5，商从24变成36，同样乘了1.5；从第一个算式到第五个算式，被除数从60变成300，乘了5，商从12变成60，也乘了5。反过来观察，从第五个算式到第一个算式，被除数除以5，商也跟着除以5。（二）小组合作探究现在请同学们以小组为单位，按照以下步骤进行深入探究：自主举例：每个小组写出3组除数相同的除法算式（除数可以是1-20中的任意一个数，被除数依次扩大或缩小不同的倍数）。计算结果：认真计算每个算式的商，确保结果准确。观察比较：横向比较每组算式中被除数和商的变化关系，记录你的发现。例如某小组选择除数为4，写出算式：20÷4=540÷4=1080÷4=20200÷4=50他们发现：当被除数20乘2变成40时，商5也乘2变成10；被除数40乘2变成80时，商10也乘2变成20；被除数80乘2.5变成200时，商20也乘2.5变成50。当被除数200除以10变成20时，商50也除以10变成5。（三）归纳规律通过大量的举例和观察，我们可以总结出：当除数不变时，被除数乘几（或除以几），商就跟着乘几（或除以几）。这里需要特别注意，乘或除以的这个数不能是0，因为0做除数没有意义，而且乘0会使被除数变成0，商也变成0，不符合我们探究的变化规律。三、原理解析：为什么商的变化和被除数一致？我们可以用“平均分”的概念来理解这个规律。例如算式60÷3=20，表示把60平均分成3份，每份是20。如果被除数变成120，也就是总数扩大了2倍，除数不变还是3份，那么每份的数量自然也要扩大2倍，变成40，所以商从20变成40。就像分苹果，如果苹果总数翻倍，分给同样多的人，每个人得到的苹果数量也会翻倍。再举一个呼伦贝尔牧场的例子：有180片树叶，要平均分给6只小羊，每只小羊能得到30片。如果树叶数量增加到360片（乘2），6只小羊的数量不变，每只小羊就能得到60片（乘2）；如果树叶数量减少到90片（除以2），每只小羊得到的树叶也会减少到15片（除以2）。这个生活实例直观地验证了除数不变时商的变化规律。四、典型案例分析：从错误中深化理解（一）易错题分析案例1：计算240÷6=40，若被除数变成120，商是多少？错误解法：有同学认为被除数从240变成120，减少了120，所以商也从40减少120，得到错误结果-80。正确解法：根据规律，被除数240变成120是除以2，除数6不变，商也应该除以2，40÷2=20。错误原因：没有理解“乘几或除以几”是倍数关系，而不是简单的加减关系。案例2：判断“除数不变时，被除数乘0.5，商也乘0.5”这句话是否正确。错误判断：部分同学认为0.5是小数，规律只适用于整数，所以判断错误。正确判断：这句话是正确的。乘0.5相当于除以2，例如100÷5=20，被除数乘0.5变成50，50÷5=10，商20乘0.5也等于10。规律适用于所有非0的数，包括小数和分数。（二）变式练习解析题目：已知A÷B=15（B不为0），那么（A×3）÷B=？，（A÷5）÷B=？解析：这道题中除数B不变，第一个算式被除数A乘3，商15也要乘3，得到45；第二个算式被除数A除以5，商15也要除以5，得到3。所以答案分别是45和3。五、实际应用：生活中的规律运用（一）购物中的计算海拉尔区某超市正在促销酸奶，每盒酸奶5元。妈妈买了4盒，需要支付4×5=20元。如果买8盒（是4盒的2倍），需要支付8×5=40元（也是20元的2倍）；如果买2盒（是4盒的一半），需要支付2×5=10元（也是20元的一半）。这里每盒酸奶的单价5元相当于除数，购买的盒数相当于被除数，总价相当于商。单价不变时，购买盒数乘几，总价就乘几；购买盒数除以几，总价就除以几。（二）行程问题中的应用一辆汽车在草原公路上匀速行驶，每小时行驶60千米（速度不变，相当于除数）。行驶2小时的路程是60×2=120千米；行驶4小时（时间乘2），路程是60×4=240千米（路程也乘2）；行驶1小时（时间除以2），路程是60×1=60千米（路程也除以2）。这里速度不变，时间（被除数）的变化会导致路程（商）发生相同倍数的变化。（三）生产效率问题呼伦贝尔某奶制品工厂，一台机器每小时能生产80袋牛奶（效率不变，相当于除数）。工作3小时能生产240袋；工作6小时（时间乘2），能生产480袋（产量乘2）；工作1.5小时（时间除以2），能生产120袋（产量除以2）。这个实例再次验证了除数不变时商的变化规律。六、拓展探究：规律的逆运用我们不仅要会运用规律解决“已知被除数变化求商”的问题，还要能解决“已知商的变化求被除数”的问题。问题1：已知某除法算式除数是8，商是30。如果商变成60（乘2），被除数应该怎样变化？解答：除数8不变，商乘2，被除数也要乘2。原来的被除数是8×30=240，变化后的被除数是240×2=480，也可以直接用60×8=480。问题2：已知A÷7=12，若商变成4（除以3），A应该是多少？解答：除数7不变，商除以3，被除数A也要除以3。原来的A是7×12=84，变化后的A是84÷3=28，也可以用4×7=28。生活应用：海拉尔区某小学四年级有240名学生，平均分成6个班，每个班40人。新学期转来一些学生后，要保持每个班人数不变（除数6不变），使总人数变成360人（商从40变成60，乘1.5），需要转来多少名学生？解答：原来总人数240人，现在需要360人，360-240=120人，所以需要转来120名学生。这里每个班人数40人相当于商，班级数6相当于除数，总人数相当于被除数。除数不变，商乘1.5（40×1.5=60），被除数也要乘1.5（240×1.5=360）。七、探究活动设计：小组合作与实践操作（一）“规律验证”活动活动目的：通过动手操作验证除数不变时商的变化规律。活动材料：每组30个小石子（或玉米粒）、6个小盘子。活动步骤：把12个小石子平均放在3个盘子里，每个盘子放4个（12÷3=4）。保持盘子数3个不变，往每个盘子里再放4个小石子（石子总数变成24个，乘2），观察每个盘子里石子数量的变化（变成8个，乘2）。保持盘子数3个不变，从每个盘子里拿走2个小石子（石子总数变成6个，除以2），观察每个盘子里石子数量的变化（变成2个，除以2）。小组讨论：通过操作，你发现了什么规律？如何用算式表示你的发现？（二）“规律发现者”竞赛活动规则：教师给出一组算式，如“50÷5=10”，小组轮流说出被除数变化后的算式及商，并说明理由。说对一个得1分，说错不扣分，得分最高的小组获得“规律发现小能手”称号。示例：被除数乘3：150÷5=30（理由：除数5不变，被除数乘3，商10也乘3得30）被除数除以5：10÷5=2（理由：除数5不变，被除数除以5，商10也除以5得2）被除数乘1.2：60÷5=12（理由：除数5不变，被除数乘1.2，商10也乘1.2得12）通过这样的竞赛活动，同学们在轻松愉快的氛围中巩固了所学规律，提高了快速反应和准确表达的能力。八、知识拓展：与其他运算规律的联系我们之前学过“积的变化规律”：一个因数不变，另一个因数乘几或除以几（0除外），积也乘几或除以几。对比发现，“除数不变时商的变化规律”与“积的变化规律”非常相似。都是一个数不变，另一个数乘或除以几（0除外），结果也乘或除以几。例如：积的变化规律：20×3=60，（20×4）×3=240（积乘4）商的变化规律：60÷3=20，（60×4）÷3=80（商乘4）这种知识间的联系可以帮助我们更好地理解数学规律的统一性，为今后学习更复杂的运算规律打下基础。九、解决复杂问题：综合运用所学规律问题1：一辆卡车从海拉尔区到满洲里市，原计划每小时行驶60千米，4小时到达。实际每小时行驶80千米，需要几小时到达？解析：首先根据“速度×时间=路程”算出总路程：60×4=240千米。这里路程240千米相当于被除数，实际速度80千米/小时相当于除数，所求时间相当于商。所以算式为240÷80=3小时。虽然这道题主要运用了路程不变的数量关系，但其中也隐含了“被除数（路程）不变时，除数（速度）变化引起商（时间）变化”的规律，与我们所学的“除数不变时商的变化规律”形成对比和补充。问题2：学校图书馆有480本故事书，平均分给6个年级，每个年级80本。如果三年级有160名学生，把三年级分到的80本书平均分给这些学生，每人能得到多少本？如果三年级学生人数增加到320名（乘2），每人能得到多少本？解析：第一个问题：80÷160=0.5本。第二个问题：学生人数乘2，书的总数80本（被除数）不变，每人得到的本数（商）应该除以2，0.5÷2=0.25本。这道题先运用了“除数不变时商的变化规律”（480本分给6个年级），又运用了“被除数不变时商的变化规律”