七年级数学上学期期末专题 解一元一次方程重难题型分类练（九大考点）（含解析）

解一元一次方程重难题型分类练（九大考点）一．方程定义的理解1．已知（m﹣3）x|m|﹣2+m﹣3＝0是关于x的一元一次方程，则m＝．2．已知关于x的方程（m﹣1）x|m|﹣3＝0是一元一次方程，则m＝．二．含绝对值的方程--分类思想3．已知|2x﹣3|＝1，则x的值为．4．已知方程|2x﹣1|＝2﹣x，那么方程的解是．5．先阅读下列解题过程，然后解答后面两个问题．解方程：|x+3|＝2．解：当x+3≥0时，原方程可化为x+3＝2，解得x＝﹣1；当x+3＜0时，原方程可化为x+3＝﹣2，解得x＝﹣5．所以原方程的解是x＝﹣1或x＝﹣5．（1）利用上述方法解方程：|3x﹣2|＝4．（2）当b满足什么条件时，关于x的方程|x﹣2|＝b﹣1，①无解；②只有一个解；③有两个解．三．方程中的新定义6．用“☆”定义一种新运算：对于任意有理数a和b，规定a☆b＝ab2﹣2ab+a．如：1☆3＝1×32﹣2×1×3+1＝4．（1）求（﹣2）☆5的值；（2）若a+12☆3＝8，求a（3）若m＝2☆x，n＝（13−x）☆3（其中x为有理数），试比较大小m7．“*”是新规定的这样一种运算法则：a*b＝a2﹣2ab，比如3*（﹣2）＝32﹣2×3×（﹣2）＝21（1）试求（﹣2）*3的值；（2）若（﹣2）*（1*x）＝x﹣1，求x的值．8．用“⊕”定义一种新运算：对于任意有理数a和b，规定a⊕b＝ab2+2ab+a．如：1⊕3＝1×32+2×1×3+1＝16．（1）则（﹣2）⊕3的值为；（2）若a+12⊕(−3)=8，求9．我们规定：若关于x的一元一次方程ax＝b的解为x＝b+a，则称该方程为“和解方程”．例如：方程2x＝﹣4的解为x＝﹣2，而﹣2＝﹣4+2，则方程2x＝﹣4为“和解方程”．请根据上述规定解答下列问题：（1）已知关于x的一元一次方程3x＝m是“和解方程”，求m的值；（2）已知关于x的一元一次方程﹣2x＝mn+n是“和解方程”，并且它的解是x＝n，求m，n的值．10．定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“美好方程”．例如：方程4x＝8和x+1＝0为“美好方程”．（1）若关于x的方程3x+m＝0与方程4x﹣2＝x+10是“美好方程“，求m的值；（2）若“美好方程”的两个解的差为8，其中一个解为n，求n的值；（3）若关于x的一元一次方程12022x+3＝2x+k和12022x+1＝0是“美好方程”，求关于y的一元一次方程12022（y+1）+3＝2y四．解方程易错--去分母，去括号11．解方程：（1）y−12=（2）x−30.312．解下列方程：（1）2（2x﹣1）＝3x﹣1（2）3x+42（3）1.5x0.3（4）3x−13−x＝113．解方程：（1）12[x−12（x﹣1）]=（2）7+0.3x−0.2五．看错类---将错就错来改错14．王聪在解方程x+a3−1=2x−115．小明是七年级（2）班的学生，他在对方程2x−13=x+a2−16．晶晶在解关于x的方程ax−12+6=2+x六．解的关系---先求解。17．已知关于x的方程2x﹣a＝1与方程2x−12=x+a3−a18．求当m为何值时，关于x的方程2x﹣2m＝3x﹣1的解比x2=x﹣19．已知关于x的方程x−m2=x+m3与方程20．已知方程3y﹣2＝6y+1的解与关于x的方程4x+2m＝3x+1的解互为相反数，求m的值．七．同解方程钥匙---解（解相同，新方程）21．如果方程x−43−8=x+22的解与方程4x﹣（3a+1）＝6x+2a﹣1的解相同，求式子a22．如果方程3（x﹣1）﹣2（x+1）＝﹣3和2x−13−x+a八．方程综合提高23．已知（m﹣3）x|m|﹣2+6＝0是关于x的一元一次方程．（1）求m的值；（2）若|y﹣m|＝3，求出y的值；（3）若数a满足|a|≤|m|，试化简：|a+m|+|a﹣m|．24．（1）小玉在解方程2x−13=x+a2−1（2）当m为何值时，关于x的方程5m+3x＝1+x的解比关于x的方程2x+m＝5m的解大2？九．阅读题--紧扣例子，化归思想25．已知关于x的方程x+2x=3+又已知关于x的方程x+2x=4+又已知关于x的方程x+2x=5+…，小王认真分析和研究上述方程的特征，提出了如下的猜想．关于x的方程x+2x=c+（1）关于x的方程x+2x=11+211的两个解是x1＝和（2）已知关于x的方程x+2x−1=12+26．阅读理解学：我们都应该知道，任何无限循环小数都应该属于有理数，那是因为所有无限循环小数都可以化成分数形式，而分数属于有理数．那么无限循环小数怎么化成分数呢？下面的学习材料会告诉我们原因和方法：问题：利用一元一次方程将0.7⋅设0.7⋅=由0.7⋅=0.7777…，可知10×0.7⋅即10x＝7+x．可解得x=79，即0.（1）将0.5⋅直接写成分数形式为（2）请仿照上述方法把下列小数化成分数，要求写出利用一元一次方程进行解答的过程．①0.2⋅②0.13⋅一．方程定义的理解1．已知（m﹣3）x|m|﹣2+m﹣3＝0是关于x的一元一次方程，则m＝﹣3．试题分析：根据一元一次方程的定义即可求出答案．只含有一个未知数（元），且未知数的次数是1，这样的整式方程叫一元一次方程．答案详解：解：∵（m﹣3）x|m|﹣2+m﹣3＝0是关于x的一元一次方程，∴m−即m≠3m=±3解得m＝﹣3．所以答案是：﹣3．【点评】本题考查一元一次方程的定义，解题的关键是正确运用一元一次方程的定义．2．已知关于x的方程（m﹣1）x|m|﹣3＝0是一元一次方程，则m＝﹣1．试题分析：根据一元一次方程的定义可得答案．答案详解：解：方程（m﹣1）x|m|﹣3＝0是关于x的一元一次方程，∴|m|＝1，m﹣1≠0，解得：m＝﹣1，所以答案是：m＝﹣1．【点评】本题考查的是一元一次方程的定义，解题的关键是根据定义列出|m|＝1，m﹣1≠0，解出m．二．含绝对值的方程--分类思想3．已知|2x﹣3|＝1，则x的值为2或1．试题分析：由绝对值的性质，即可推出2x﹣3＝±1，于是得x1＝2，x2＝1．答案详解：解：|2x﹣3|＝1，2x﹣3＝±1，2x﹣3＝1或2x﹣3＝﹣1，x1＝2，x2＝1．所以答案是：2或1．【点评】本题主要考查了含绝对值符号的一元一次方程．关键是得到2x﹣3＝±1．4．已知方程|2x﹣1|＝2﹣x，那么方程的解是x＝±1．试题分析：绝对值方程要转化为整式方程，因为|2x﹣1|＝±（2x﹣1），所以得方程2﹣x＝±（2x﹣1），解即可．答案详解：解：由|2x﹣1|＝2﹣x，可得：2﹣x＝±（2x﹣1），当2﹣x＝2x﹣1，解得：x＝1，当2﹣x＝﹣2x+1，解得：x＝﹣1，所以方程的解为x＝±1．【点评】考查绝对值方程的解法，绝对值方程要转化为整式方程来求解．要注意|x|＝±x，所以方程有两个解．5．先阅读下列解题过程，然后解答后面两个问题．解方程：|x+3|＝2．解：当x+3≥0时，原方程可化为x+3＝2，解得x＝﹣1；当x+3＜0时，原方程可化为x+3＝﹣2，解得x＝﹣5．所以原方程的解是x＝﹣1或x＝﹣5．（1）利用上述方法解方程：|3x﹣2|＝4．（2）当b满足什么条件时，关于x的方程|x﹣2|＝b﹣1，①无解；②只有一个解；③有两个解．试题分析：（1）首先要认真审题，解此题时要理解绝对值的意义，要会去绝对值，然后化为一元一次方程即可求得．（2）根据绝对值的性质分类讨论进行解答．答案详解：解：（1）当3x﹣2≥0时，原方程可化为3x﹣2＝4，∴3x＝2+4，∴3x＝6，解得x＝2；当3x﹣2＜0时，原方程可化为3x﹣2＝﹣4，∴3x＝﹣2，解得x=−所以原方程的解是x＝2或x=−（2）①当|x﹣2|＝b﹣1无解时，b﹣1＜0，即b＜1；②当|x﹣2|＝b﹣1只有一个解时，b﹣1＝0，即b＝1；③当|x﹣2|＝b﹣1有两个解时，b﹣1＞0，即b＞1．【点评】本题主要考查含绝对值符号的一元一次方程，解题的关键是根据绝对值的性质将绝对值符号去掉，从而化为一般的一元一次方程求解．三．方程中的新定义6．用“☆”定义一种新运算：对于任意有理数a和b，规定a☆b＝ab2﹣2ab+a．如：1☆3＝1×32﹣2×1×3+1＝4．（1）求（﹣2）☆5的值；（2）若a+12☆3＝8，求a（3）若m＝2☆x，n＝（13−x）☆3（其中x为有理数），试比较大小m＞试题分析：（1）根据新运算展开，再求出即可；（2）先根据新运算展开，再解一元一次方程即可；（3）先根据新运算展开，再求出m、n，即可得出答案．答案详解：解：（1）（﹣2）☆5＝（﹣2）×52﹣2×（﹣2）×5+（﹣2）＝﹣3；（2）a+12a+12×32﹣2×a+19（a+1）﹣6（a+1）+a+1＝16，9a+9﹣6a﹣6+a+1＝16，4a＝12，a＝3；（3）∵m＝2☆x＝2•x2﹣2×2x+2＝2x2﹣4x+2，n＝（13−x）☆3＝（13−x）•32﹣2（13−x）•3m﹣n＝2x2﹣x+23=2（x−14∴m＞n，所以答案是：＞．【点评】本题考查了解一元一次方程，能根据新运算展开是解此题的关键，注意：解一元一次方程的步骤是：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化成1即可．7．“*”是新规定的这样一种运算法则：a*b＝a2﹣2ab，比如3*（﹣2）＝32﹣2×3×（﹣2）＝21（1）试求（﹣2）*3的值；（2）若（﹣2）*（1*x）＝x﹣1，求x的值．试题分析：（1）原式利用已知的新定义计算即可求出值；（2）已知等式利用题中新定义化简，计算即可求出x的值．答案详解：解：（1）根据题中的新定义得：原式＝4+12＝16；（2）已知等式利用题中的新定义化简得：4+4（1﹣2x）＝x﹣1，解得：x＝1．【点评】此题考查了解一元一次方程，以及有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．8．用“⊕”定义一种新运算：对于任意有理数a和b，规定a⊕b＝ab2+2ab+a．如：1⊕3＝1×32+2×1×3+1＝16．（1）则（﹣2）⊕3的值为﹣32；（2）若a+12⊕(−3)=8，求试题分析：（1）原式利用题中新定义化简，计算即可得到结果；（2）已知等式利用题中新定义化简，计算即可求出a的值．答案详解：解：（1）根据题中新定义得：（﹣2）⊕3＝﹣2×32+2×（﹣2）×3+（﹣2）＝﹣18﹣12﹣2＝﹣32；所以答案是：﹣32；（2）根据题中新定义得：a+12⊕a+12×（﹣3）2+2×a+1整理得：4（a+1）＝16，解得：a＝3．【点评】此题考查了有理数的混合运算，弄清题中的新定义是解本题的关键．9．我们规定：若关于x的一元一次方程ax＝b的解为x＝b+a，则称该方程为“和解方程”．例如：方程2x＝﹣4的解为x＝﹣2，而﹣2＝﹣4+2，则方程2x＝﹣4为“和解方程”．请根据上述规定解答下列问题：（1）已知关于x的一元一次方程3x＝m是“和解方程”，求m的值；（2）已知关于x的一元一次方程﹣2x＝mn+n是“和解方程”，并且它的解是x＝n，求m，n的值．试题分析：（1）根据和解方程的定义即可得出关于m的一元一次方程，解之即可得出结论；（2）根据和解方程的定义即可得出关于m、n的二元二次方程组，解之即可得出m、n的值．答案详解：解：（1）∵方程3x＝m是和解方程，∴m3=解得：m=−（2）∵关于x的一元一次方程﹣2x＝mn+n是“和解方程”，并且它的解是x＝n，∴﹣2n＝mn+n，且mn+n﹣2＝n，解得m＝﹣3，n=−【点评】本题考查了一元一次方程的解、解一元一次方程以及二元二次方程组，解题的关键是：根据“和解方程“的定义列出关于m的一元一次方程；根据和解方程的定义列出关于m、n的二元二次方程组．10．定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“美好方程”．例如：方程4x＝8和x+1＝0为“美好方程”．（1）若关于x的方程3x+m＝0与方程4x﹣2＝x+10是“美好方程“，求m的值；（2）若“美好方程”的两个解的差为8，其中一个解为n，求n的值；（3）若关于x的一元一次方程12022x+3＝2x+k和12022x+1＝0是“美好方程”，求关于y的一元一次方程12022（y+1）+3＝2y试题分析：（1）先表示两个方程的解，再求值．（2）根据条件建立关于n的方程，再求值．（3）先求k，再解方程．答案详解：解：（1）∵3x+m＝0，∴x=−∵4x﹣2＝x+10．∴x＝4．∵关于x的方程3x+m＝0与方程4x﹣2＝x+10是“美好方程“，∴−m∴m＝9．（2）∵“美好方程”的两个解的和为1，∴另一个方程的解为：1﹣n．∵两个解的差为8，∴1﹣n﹣n＝8或n﹣（1﹣n）＝8．∴n=−72或（3）∵12022x∴x＝﹣2022．∵关于x的一元一次方程12022x+3＝2x+k和12022∴关于x的一元一次方程12022x+3＝2x+k关于y的一元一次方程12022（y+1）+3＝2y+k+2可化为：12022（y+1）+3＝2（y+1）+∴y+1＝x＝2023．∴y＝2022．【点评】本题考查一元一次方程的解，利用“美好方程”的定义找到方程解的关系是求解本题的关键．四．解方程易错--去分母，去括号11．解方程：（1）y−12=（2）x−30.3试题分析：按着解一元一次方程的一般步骤，解决每题即可．答案详解：解：（1）去分母，得5（y﹣1）＝20﹣2（y+2），去括号，得5y﹣5＝20﹣2y﹣4，移项，得5y+2y＝20﹣4+5，整理，得7y＝21，解得，y＝3．（2）方程可变形为10x−303去分母，得2（10x﹣30）﹣3（20x+1）＝﹣6，去括号，得20x﹣60﹣60x﹣3＝﹣6，移项，得20x﹣60x＝60+3﹣6合并，得﹣40x＝57所以x=−【点评】本题考查了一元一次方程的解法．解一元一次方程的一般步骤：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1．注意去分母时，勿漏乘不含分母的项，移项时，勿忘记该项变号．12．解下列方程：（1）2（2x﹣1）＝3x﹣1（2）3x+42（3）1.5x0.3（4）3x−13−x＝1试题分析：两方程去分母，去括号，移项合并，将x系数化为1，即可求出解．答案详解：解：（1）去括号得：4x﹣2＝3x﹣1，4x﹣3x＝2﹣1，∴x＝1；（2）去分母得：3（3x+4）＝2（2x+1）9x+12＝4x+2，∴x＝﹣2；（3）化简得：5x﹣15+10x＝1.5，∴x＝1.1；（4）去分母得：2（3x﹣1）﹣6x＝6﹣（4x﹣1），6x﹣2﹣6x＝6﹣4x+1，∴x=9【点评】此题考查了解一元一次方程，熟记其步骤是解题的关键．13．解方程：（1）12[x−12（x﹣1）]=（2）7+0.3x−0.2试题分析：（1）先去中括号，再去小括号然后移项后把x的系数化为1即可；（2）根据分式的性质化简方程，再按照解方程的步骤解方程即可．答案详解：解：（1）12[x−12（x﹣1）]=12x−14（x﹣1）=12x−14x+6x﹣3x+3＝8x+16，∴x=−（2）7+0.3x−0.2整理得：70+15x﹣10＝30﹣100x，∴115x＝﹣30，∴x=−【点评】本题考查了解一元一次方程：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，这仅是解一元一次方程的一般步骤，针对方程的特点，灵活应用，各种步骤都是为使方程逐渐向x＝a形式转化．五．看错类---将错就错来改错14．王聪在解方程x+a3−1=2x−1试题分析：去分母时，方程左边的﹣1没有乘3，即x+a﹣1＝2x﹣1，此方程的解为x＝2，代入可先求得a．再把a＝2代入已知方程，从而求出原方程的解．答案详解：解：由题意可得：x+a﹣1＝2x﹣1把x＝2代入得出方程：2+a﹣1＝2×2﹣1解得：a＝2，再把a＝2代入已知方程去分母可得：x+2﹣3＝2x﹣1，解得x＝0．【点评】本题考查解一元一次方程的知识，中间结合很多知识点，注意审清题意．15．小明是七年级（2）班的学生，他在对方程2x−13=x+a2−试题分析：先把错误的解法得到的x的值代入方程求出a的值，然后根据一元一次方程的解法，先去分母，再去括号，最后移项，合并同类项，从而得到方程的解．答案详解：解：∵方程右边的﹣1忘记乘6，求出的解为x＝4，∴2（2×4﹣1）＝3（4+a）﹣1，解得a＝1，则原方程为：2x−13去分母，得4x﹣2＝3x+3﹣6，移项、合并同类项，得x＝﹣1．【点评】本题主要考查了解一元一次方程，注意在去分母时，方程两端同乘各分母的最小公倍数时，不要漏乘没有分母的项，同时要把分子（如果是一个多项式）作为一个整体加上括号，本题先根据错误的思路列式求出a的值是解题的关键．16．晶晶在解关于x的方程ax−12+6=2+x试题分析：将x＝1代入方程ax−12+6=2+x答案详解：解：∵解关于x的方程ax−12+6=2+x∴把x＝1代入ax−12解得：a＝1，所以原方程变为x−12解得：x＝﹣29．【点评】本题考查了一元二次方程的解，首先根据题意正确的求得a的值是解决本题的关键．六．解的关系---先求解。17．已知关于x的方程2x﹣a＝1与方程2x−12=x+a3−a试题分析：首先解两个关于x的方程，利用a表示出方程的解，然后根据两个方程的解的和是114，列方程求得a答案详解：解：解2x﹣a＝1得x=a+1解2x−12=x+a3−由题知a+12+3−4a【点评】此题考查的是一元一次方程的解法，正确解关于x的方程是解决本题的关键．18．求当m为何值时，关于x的方程2x﹣2m＝3x﹣1的解比x2=x﹣试题分析：分别解两个方程求得方程的解，然后根据x的方程2x﹣2m＝3x﹣1的解比x2=x﹣m的解大2，即可列方程求得答案详解：解：解方程2x﹣2m＝3x﹣1得到：x＝1﹣2m．解方程x2=x﹣m得到：x＝2依题意得：1﹣2m﹣2m＝2，解得m=−【点评】本题考查了方程的解的定义，方程的解就是能使方程的左右两边相等的未知数的值．19．已知关于x的方程x−m2=x+m3与方程试题分析：首先解两个关于x的方程，求得x的值，然后根据两个方程的解互为相反数即可列方程求解．答案详解：解：第一个方程的解x=−53m因为x，y互为倒数，所以−53m＝﹣2，所以m【点评】本题考查了一元一次方程的解，正确解关于x的方程是解决本题的关键．20．已知方程3y﹣2＝6y+1的解与关于x的方程4x+2m＝3x+1的解互为相反数，求m的值．试题分析：求出第一个方程的解得到y的值，求出相反数代入第一个方程即可求出m的值．答案详解：解：解方程3y﹣2＝6y+1，得y＝﹣1，因为方程3y﹣2＝6y+1的解与关于x的方程4x+2m＝3x+1的解互为相反数，所以方程4x+2m＝3x+1的解为x＝1，把x＝1代入方程4x+2m＝3x+1，得：4+2m＝3+1，解得m＝0．【点评】此题考查了一元一次方程的解，掌握解一元一次方程的基本步骤是解答本题的关键．七．同解方程钥匙---解（解相同，新方程）21．如果方程x−43−8=x+22的解与方程4x﹣（3a+1）＝6x+2a﹣1的解相同，求式子a试题分析：先求得方程的解，然后代入另一个方程求得a的值，最后，再求得代数式的值即可．答案详解：解：解方程x−43−8=x+2将x＝﹣62代入4x﹣（3a+1）＝6x+2a﹣1得：﹣248﹣3a﹣1＝﹣372+2a﹣1，解得：a=124∴a2﹣a＝（1245）2﹣（1245）【点评】本题主要考查的是同解方程，理解同解方程的概念是解题的关键．22．如果方程3（x﹣1）﹣2（x+1）＝﹣3和2x−13−x+a试题分析：求出第一个方程的解得到x的值，代入第二个方程求出a的值即可．答案详解：解：方程3（x﹣1）﹣2（x+1）＝﹣3，去括号得：3x﹣3﹣2x﹣2＝﹣3，解得：x＝2，把x＝2代入方程2x−13−x+a解得：a＝﹣2．【点评】此题考查了同解方程，同解方程即为两方程解相同的方程．八．方程综合提高23．已知（m﹣3）x|m|﹣2+6＝0是关于x的一元一次方程．（1）求m的值；（2）若|y﹣m|＝3，求出y的值；（3）若数a满足|a|≤|m|，试化简：|a+m|+|a﹣m|．试题分析：（1）根据一元一次方程的意义和未知数系数不等于0求解；（2）根据绝对值意义转化为两个方程求解；（3）确定a的范围，去绝对值合并．答案详解：解：（1）−2=1∴m＝±3，∵m﹣3≠0，∴m≠3，∴m＝﹣3；（2）|y﹣m|＝3，即|y+3|＝3，∴y+3＝3或y+3＝﹣3，∴y＝0或﹣6；（3）|a|≤|m|，即|a|≤3，∴﹣3≤a≤3，∴a+m≤0，a﹣m≥0，∴|a+m|+|a﹣m|＝﹣a﹣m+a﹣m＝﹣2m＝6．【点评】本题考查一元一次方程意义和绝对值意义．确定绝对值内代数式符号是解答关键．24．（1）小玉在解方程2x−13=x+a2−1（2）当m为何值时，关于x的方程5m+3x＝1+x的解比关于x的方程2x+m＝5m的解大2？试题分析：（1）把x＝10代入错误的去分母得到的方程，求出a的值即可；（2）表示出两方程的解，由题意求出m的值即可．答案详解：解：（1）错误去分母得：4x﹣2＝3x+3a﹣1，把x＝10代入得：a＝3；（2）方程5m