北师大版2024-2025学年八年级数学上册强化提分系列专题15勾股定理单元提升卷(北师大版)(学生版+解析)

第1章勾股定理单元提升卷

【北师大版】

考试时间：60分钟；满分：100分

姓名：班级：考号：

考卷信息：

本卷试题共23题，单选10题，填空6题，解答7题，满分100分，限时60分钟，木卷题型

针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可衡量学生掌握本章内容的具体情况！

一.选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）

1.（3分）（23-24八年级・宁夏吴忠・期中）在中，斜边=2,贝布/+AC?+等

于（）

A.8B.4C.6D.以上都不对

2.（3分）（23-24八年级-内蒙古呼和浩特•期中）2002年8月在北京召开的国际数学大

会会徽取材于我国古代数学家赵爽的弦图，它是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼

成的一个大正方形，如图所示：如果大正方形的面积是7,小正方形的面积是2,直角三角形

的较短直角边长为a,较长直角边为4那么a+b的值为（)

A.2V3B.V7C.2V2D.V10

3.（3分）（23-24八年级•福建陵门•期中）如图，在3x3的正方形网格中，若小正方形

的边长是1,则任意两个格点间的距离不可能是（）

A.V6B.^8C.V9D.V13

4.（3分）（23-24八年级•重庆沙坪坝­期中）如图，5个阴影四边形都是正方形，所有三

角形都是直角三角形，若正方形A,C、〃的面积依次为4.5.20,则正方形8的面积为1）

A.8B.9C.10D.11

5.（3分）（23-24八年级•陕西西安•阶段练习）如图，高速公路上有A、8两点相距25km,

C、。为两村庄，已知£M=10km,CB=15km,DA1AB^AfCB1/18于8,现要在AB上建一个

服务站E，使得C、。两村庄到E站的距离相等，则AE的长是（）km.

-EB

10km/\

，/'、15km

♦、

D\

、

C

A.5B.10C.15D.25

6.（3分）（23-24八年级•浙江绍兴•期中）如图，在数轴上，点49表示的数分别为0,

2,BCLAB于点、&且比-1.连接在〃'上截取磔=夕。，以点力为圆心，力〃的长为半径

画弧，交线段/仍于点反则点后表示的实数是（)

c

7.（3分）（23-24八年级•安徽淮北・期中）我国是较早了解勾股定理的国家之一.据《周

髀算经》记载，勾股定理的公式与证明是在西周由商高发现的，故又称之为“商高定理”；

三国时代的蒋铭祖对勾股定理作出了详细注释，并给出了另外一个证明.下面四幅图中，不能

证明勾股定理的是（）

8.（3分）（23-24八年级-天津西青-期末）如图所示，已知△月阿中，力/6,AC=9,ADVBC

于〃，也为上任一点，则Me?-'”等于（）

A.9B.35C.45D.无法计算

9.（3分）（23-24八年级•河北张家口-期末）如图，在矩形纸片ABCD中，AD=9,AB=3,

将其折叠，使点D与点B重合，折痕为EF,那么折痕EF的长为（)

为7步/秒（步为古代长度计量单位，与现在的米类似），乙的速度为3步/秒.乙一直向东行

走，甲向南行走10步后，偏离原方向，朝北偏东的方向直行一段后与乙相遇，问甲、乙各行

走了多少步?设乙经过避少后两人相遇，则根据题意，可列方程为.

14.（3分）（23-24八年级•北京丰台•期末）如图1,四个全等的直角三角形围成一个大

正方形，中间是一个小正方形，这个图形是我国汉代赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们

称它为“赵爽弦图”,连接图2中四条线段得到如图3的新图案，如果图1中的直角三角形的

长直角边为5,短直角边为2,图3中阴影部分的面积为S,那么S的值为.

图1图2图3

15.（3分）（23-24八年级•甘肃酒泉•期中）如图，有一个圆柱形储油罐，要以力点为起

点环绕油罐侧面建梯子，正好到达力点正上方的8点，则梯子最短需要（已知油罐底面周长是

12米，高8米）.

16.（3分）（23-24八年级•四川成都•期中）若a+b=12,则被E+的最小值

为.

三.解答题（共7小题，满分52分）

17.（6分）（23-24八年级•甘肃陇南•期中）已知：在RtaRBC中，/-ACB=90°,CD1ABf

0,AC=5,BC=12.求:

⑴求△ABC的面积;

⑵求线段48的长:

⑶求高CD的氏.

18.（6分）（23-24八年级•山东淄博•期中）为了绿化环境，我市某中学有一块四边形的

空地力BCD,如图

证明：a2+b2=c2;

⑵请利用“数形结合”思想，画图并推算出（a+b+c）2的结果.

21.（8分）（23-24八年级•四川达州•期中）如图是一个长8m、宽6m、高5m的仓库，在

其内壁的点力（长的四等分点）处有一只壁虎、点8（宽的三等分点）处有一只蚊子.则壁虎

爬到蚊子处的最短距离为多少m?

A

22.（8分）（23-24八年级•辽宁大连•期中）勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学

定理之一，是用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一，也是数形结合的纽带之一.它不

但因为证明方法层出不穷吸弓着人们，更因为应用广泛而使人入迷.

如图1,在数轴上分别找出表示数0的点。，表示数3的点儿过点/I作直线口。4在/上取

点反使/8=2,以点。为圆心，。B的长为半径作弧，则弧与数轴的交点。表示的数是_____.

(2)应用场景2——解决实际句题.

如图2,秋千静止时，踏板离地的垂直高度BE=0.3m,将它往前推3m至C处时，水平距离CD=

3m,踏板离地的垂直高度6=1.3m,秋千的绳索始终拉直，求秋千绳索4。的长.

23.(8分)(23-24八年级•江苏扬州•期中)如图，长方形4?口中，48=10,AD=4.E

为C〃边上一点，CE=7.

(1)求力£的长；

(2)点〃从点8出发，以每秒2个单位长度的速度沿着边砌向终点力运动，连接PE.设点〃

运动的时间为1秒.

①当£为何值时，APAE是等腰三角形;

第1章勾股定理单元提升卷

【北师大版】

参考答案与试题解析

一.选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）

1.（3分）（23—24八年级•宁夏吴忠•期中）在RtaABC中，斜边BC=2,贝布82+/1。2+8。2等

于（）

A.8B.4C.6D.以上都不对

【答案】A

【分析】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键.根据勾股定理可知BC2=/F+

AC2,+AC2+BC2=BC2+BC2.

【详解】解：在中，斜边为BC,

222

：.BC=AB+ACf

,:BC=2,

22

：.4=AB+ACf

22222

：.AB+AC+BC=BC+BC=4+4=8f

故选A.

2.（3分）（23-24八年级•内蒙古呼和浩特•期中）2002年8月在北京召开的国际数学大

会会徽取材于我国古代数学家赵爽的弦图，它是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼

成的一个大正方形，如图所示：如果大正方形的面积是7,小正方形的面积是2,直角三角形

的较短直角边长为分较长直角边为6,那么a+b的值为()

C.2&D.V10

【答案】A

【分析】本题考查了正方形的性质、勾股定理以及完全平方公式.根据大正方形的面积即可求

得。2,利用勾股定理可以得到小+产二。?，然后求得直角三角形的面积即可求得M的值，根据

(a+b)2=a2+b2+2ab=c2+2ab即可求解.

【详解】解：如图，・••大正方形的面积是7,

:.a2+b2=c2=71

•・•直角三角形的面积是(7-2)+4=£

・•・直角三角形的面积是5M=：,

24

•••ab=

2

(a+b)2=a2+b2+2ab=c2+2ab

5

72X

2-

=12»

•••a+b=2V3»

故选：A.

3.（3分）（23-24八年级•福建厦门•期中）如图，在3x3的正方形网格中，若小正方形

的边长是1,则任意两个格点间的距离不可能是（）

I1i

.IJ

I]

1u-.nu>Q=U.S4

）

:

.•I

:f1

•-/；-・••・-；,?・"%尸,・尸-zv-•

；i

*iJ

；31

A.\6B.V8C.V9D.V13

【答案】A

【分析】本题主要考查了勾股定理.利用直角三角形的勾股定理即可求出答案.

【详解】解：:在3X3的正方形网格中，若小正方形的边长是1,

，任意两个格点间的距离为寸22+22=%,\/32+I2=V10,炳=3,

1,2,V324-32=3V2,V22+12=V5,V22+32=V13.

・••任意两个格点间的距离不可能是布，

故选：A.

4.（3分）（23-24八年级•重庆沙坪坝•期中）如图，5个阴影四边形都是正方形，所有三

角形都是直角三角形，若正方形水。、〃的面积依次为4.5.20,则正方形4的面积为1）

/BA7\

D

A

A.8B.9C.10D.11

【答案】D

【分析】本题主要考查了正方形和勾股定理，根据已知条件以及勾股定理可得〃+SB=S〃-S,,

根据正方形的面积可得到结果，正确应用勾股定理是解题的关键.

【详解】解：・・・5个阴影四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，

•,S_4+SR=S［）—Sct

・・•正方形/、a〃的面积依次为4、5、20,

:&=SD-Sc-SA=20-5-4=llf

故选:D.

5.（3分）（23-24八年级•陕西西安•阶段练习）如图，高速公路上有力、8两点相距25km,

C、D为两村庄，已知D4=10km,CB=15km,。41力8于4,。8148于8,现要在上建一个

服务站E,使得C、。两村庄到E站的距离相等，贝的长是（）km.

-EB

10km/\

，/'、

/'、15km

D\

、

C

A.5B.10C.15D.25

【答案】C

【分析】根据题意设出我的长为》,再由勾股定理列出方程求解即可.

【详解】解：设力E=x,则BE=25—x,

由勾股定理得:

在RtdADE中，

DE2=AD2+AE2=102+x2,

在RtzlBCE中，

CE2=BC2+BE2=152+（25-%）2,

由题意可知：OE=CE,

所以：102+x2=152+（25-r）2,

解得：x—15km.

所以，E应建在距力点15km处.

故选：C.

【点睛】本题考查正确运用勾股定理，善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键.

6.（3分）（23-24八年级•浙江绍兴•期中）如图，在数轴上，点儿8表示的数分别为0,

2,BCUB于点B,且比'=1.连接作，在47上截取3比；以点力为圆心，力〃的长为半径

画弧，交线段力8于点色则点后表示的实数是（）

【答案】D

【分析】由题意可知，681,AD=AE,利用勾股定理求出力。的长，即可得到熊的长.

【详解】由题意可得。叱1，A庐AE,

・・•点49表示的数分别为0.2,

・••力距2,

■:BC1A&

.\ZMC=90°,

：.AC=\/AB2+BC2=V5,

：.AD=AE=AC-CD=V5-lf

・•.少表示的数为：V5-1.

故选：D.

【点睛】本题主要考查了勾股定理和数轴，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.

7.（3分）（23-24八年级•安徽淮北•期中）我国是较早了解勾股定理的国家之一.据《周

髀算经》记载，勾股定理的公式与证明是在西周由商高发现的，故乂称之为“商高定理”；

三国时代的蒋铭祖对勾股定理作出了详细注释，并给出了另外一个证明.下面四幅图中，不能

【答案】C

【分析】本题主要考查了勾股定理的证明，完全平方公式的应用，根据图形面积之间的关系,

逐项推埋论证判断即可.

【详解】解：A.大正方形的面积为：（a+匕/，也可看作是4个直角三角形和一个小正方形组

成，则其面积为：）bx4+c?=2a匕+合，.,.（a+b）2=2ab+c?,，标+=c?故本选项不符合

题意；

22

B.梯形的面积为：^a+bXa+b）=^a+b）+abf也可看作是2个直角三角形和一个等腰直

角三角形组成，则其面积为：\abx2+1c2=ab+^c2,：.ab+\c2=1（a2+b2）+ab,可以证明

勾股定理，故本选项不符合题意；

C.图形中不涉及直角三角形，故无法证明勾股定理，收本选项符合题意；

D.图中图形面积等干功长为c的正方形而积，加上两个百角边分别为右人的长方形面积，

即其面积为：，2十时，也可看作是一个梯形面积加上一个等腰直角三角形的面积，则其面积为:

等（Q+力）+32,+b）+*2=显+。2,，Q2+坟=《2故本选项不符合题意;

故选：D.

8.（3分）（23-24八年级・天津西青・期末）如图所示，已知中，力庐6,力倨9,ADLBC

于〃，也为初上任一点，则吃之-卜官等于（）

A.9B.35C.45D.无法计算

【答案】C

【详解】【分析】由勾股定理求出BM2=BD2+MD2=AB2-AD2+MD2,MC2=CD2+MD2=AC2-AD2+MD2,再代入可

得MC2TBJ(AC2-AD2+MD2)-(AB2-AD2+MD2),化简可求得结果.

【详解】在RtAABD和RtAADC中，

ED2=AB2-AD2,CD2=AC2-AD2,

4RtABDM#RtACDM中，

BM2=BD2+MD2=AB2-AD2+MD2,MC2=CD2+MD2=AC2-AD2+MD2,

/.NfC2-MB2=(AC2-AD2+MD2)-(AB2-AD2+MD2)

=AC2-AB2

=45.

故选C

【点睛】本题考核知识点：勾股定理.解题关键点：灵活运用勾股定理.

9.（3分）（23-24八年级•河北张家口♦期末）如图，在矩形纸片ABCD中，AD=9,AB=3,

将其折叠，使点D与点B重合，折痕为EF,那么折痕EF的长为（）

A.3B.V6C.V10D.9

【答案】C

【分析】做点F做尸Hl4D交AD于点H,因此要求出EF的长，只要求出EH和HF即可；由折叠

的性质可得BE=DE=9-AE,在Rt△A8E中应用勾股定理求得AE和BE,同理在Rt二ABE

中应用勾股定理求得BF,在g△EF”中应用勾股定理即可求得EF.

【详解】过点F做尸H14D交AD于点H.

C

:四边形"CZ是四边形"CD沿EF折叠所得,

・二ED=BE,CF=C'F,BC1=CD=3

TED=BE,DE=AD-AE=9-AE

ABE=9-AE

V/?t△ABE,AB=3,BE=9-AE

/.(9-4E)2=324-AE2

・・・AE=4

・・・DE=5

；・C'F=BC-BF=9-BF

:・RtABC'F,BC'=3,C'F=9-BF

.*.(9-BF)2+32=BF2

・・・BF=5,EH=1

YRtAEFH,HF二3，EH=1

：.EF=TEH?+HF?=V32+12=VTo

故选：D.

【点睛】本题考查了翻折变换，矩形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数构

建方程解决问题.

10.（3分）（23-24八年级♦山东滨州・期末）在ZL4BC中，D是直线BC上一点,已知48=15,

AD=12,AC=13,CD=5,则8c的长为（）

A.4或14B.10或14C.14D.10

【答案】A

【分析】根据力仁13,4M2,。5,可判断出aADC是苣角三角形，在RtZXADB中求出BD,继

而可得出BC的长度.

【详解】•.♦力仁13,月庐12,C35,

222

：.AD+CD=ACt

•••△力仍是直角三角形，AD1BQ

由于点D在直线BC上，分两种情况讨论：

当点D在线段BC上时，如图所示，

BDC

在放△//应中，BD=y/AB2-AD2=9,

则8c=BD+CD=14；

②当点D在BC延长线上时，如图所示,

在Rt丛ADB中，80=y/AB2-AD2=9,

则"=BD-CD=4.

故答案为：A.

【点睛】本题考查勾股定理和逆定理，需要分类讨论，掌握勾股定理和逆定理的应用为解题关

键.

二.填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）

11.（3分）（23-24八年级•北京•期中）正方形4BCD的边长为1,其面积记为9，以8为

斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积记为

S2,…按此规律继续下去，则S2025的值为

・小/1、2024

【答案】（I）

【分析】本题考查图形规律探究，等腰直角三角形、正方形的性质，勾股定理，总结归纳出规

律是解题的关键.

根据题意表示出S1,S2,S3的值，找到规律Sn=G）"T,根据规律计算即可.

【详解】解：由题意可知，面积为S］的正方形的边长为1,S】=l,

面积为S2的正方形的边长为552=9，

V22

面积为S3的正方形的边长为备，S3=e）1

VZXy4\Z/

3

面积为&的正方形的边长为石七，s4=（i）,

V&XV/XV，\Zz

一般规律为：Sn=G）"T

，贝应皿=G）2025-1=（沪"

故答案为：（I）2024.

12.（3分）（23-24八年级•辽宁沈阳•期中）直角三角形的两条直角边为a和b,斜边长为

6,若a+b=8,则Q3/）+Q/=.

【答案】504

【分析】本题考查了勾股定理、完全平方公式、求代数式的值，先由勾股定理得出小+〃=36,

利用完全平方公式的变形得出ab=14,再将式子变形为。38+附3=岫（小+》2）,整体代入计算

即可得解.

【详解】解：••・直角三角形的两条直角边为a和b,斜边长为6,

a2+b2=62=36,

•••a+/?=8,

，而二组*32:14,

•••a3b4-ab3=ab（a2+b2）=14x36=504,

故答案为:504.

13.（3分）（23-24八年级•陕西商洛•期中）《九章算术》是我国古代的一部数学著作，

其中记载了一道有趣的题：“今有二人同所立，甲行率七，乙行率三.乙东行，甲南行十步而

斜东北与乙会.问甲乙行各几何？”其大意如下：已知甲、乙两人同时从一地出发，甲的速度

为7步/秒（步为古代长度计量单位，与现在的米类似），乙的速度为3步/秒.乙一直向东行

走，甲向南行走10步后,偏离原方向，朝北偏东的方向育行一段后与乙相遇,问甲、乙各行

走了多少步?设乙经过避少后两人相遇，则根据题意，可列方程为.

【答案】（7%-10）2=102+（3x）2

【分析】根据题意画出三角形片比；用含x的代数式表示三边长，利用勾股定理可得方程.

【详解】解：如图，两人同时从力地出发，甲向南行走10步后到iiC地后，偏离原方向.设x

秒两人在8处相遇，这时乙行驶力B=3%,甲共行驶力C+BC=7x,

*：AC=10,

：.BC=7x-10,

•・Z=90°,

由勾股定理得:(7x-10)2=102+(3x)2,

故答案为：(7x-10)2=102+(3x)2.

【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，解题的关键是从实际问题中抽象出直角三角形，利

用勾股定理是解决问题的关键.

14.(3分)(23-24八年级•北京丰台•期末)如图1,四个全等的直角三角形围成一个大

正方形，中间是一个小正方形，这个图形是我国汉代赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们

称它为“赵爽弦图”,连接图2中四条线段得到如图3的新图案，如果图1中的直角三角形的

长春角边为5,短百角边为2,图3中阴影部分的面积为S,那么S的值为.

【答案】21

【分析】阴影部分由四个全等的三角形和一个小正方形组成，分别求三角形和小正方形面积即

可.

【详解】由题意作出如下图，阴影部分由四个与△4BD全等的三角形和一个边长为BD的正方形

组成

由题意得：AB=CD=2,8C=5,BD=BC-CD=3

,・SAABD=,BD=-x3x2=3»

S小王方形=BD?=32=9

・・S=4S^ABD+S小正方形=4x3+9=21

故答案为：21.

【点睛】本题考查了勾股定理的证明，根据正方形的面积公式和三角形形的面积公式得出它们

之间的关系是解题的关键.

15.（3分）（23-24八年级•甘肃酒泉•期中）如图，有一个圆柱形储油罐，要以力点为起

点环绕油罐侧面建梯子，正好到达力点正上方的8点，则梯子最短需要（已知油罐底面周长是

12米，高8米）.

【答案】4V13m

【分析】本题考查了圆柱的侧面展开图，勾股定理；

将圆柱侧面展开，得到长方形，然后利用勾股定理计算即可.

【详解】解：把圆柱形储油罐的侧面展开，如图:

DB

，・,油罐底面周长是12米,图8米，

：.AC=12,BC=8,

：.AB=\/AC2+BC2=V122+82=4vHm,

即梯子最短需要4mm,

故答案为：4VT^m.

16.(3分)(23-24八年级•四川成都•期中)若a+b=12,则+胸不忘的最小值

为.

【答案】15.

【分析】构造和RtaBEC,其中4E=Q,AD=2,BE=b,CB=7,由图可知当点。、E、

〃三点共线时DE+CE最小，然后根据勾股定理求解即可

【详解】解：构造和

其中AE=a,AD=2,BE=b,CB=7,

那么近2+4+V49+b2=DE+CE,

当点。、E、〃三点共线时DE+CE最小，

且DE+CF=CD=J(7+2)2+(a+1)2

=《92+122

=15.

即VQ2+4+,49+炉的最小值为15.

故答案为：15.

【点睛】本题考查了两点之间线段最短，以及勾股定理的应用，在直角三角形中，如果两条直

角边分别为a和。，斜边为G那么才+"=/构造出直角三角形是解答本题的关键.

三.解答题（共7小题，满分52分）

17.（6分）（23-24八年级•甘肃陇南•期中）已知：在ABC中，^ACB=90°,CD工AB于

0,AC=5,BC=12.求：

（1）求△力的面木只:

⑵求线段的长:

⑶求高CO的长.

【答案】（1）30；

(2)13；

⑶*

【分析】（1）利用直角三角形的面积公式计算即可求解；

（2）根据勾股定理计算即可求解；

（3）利用三角形面积即可求解；

本题考查了直珀三角形的面积，勾股定理，掌握勾股定理及三用形面积计算公式是解题的关

键.

【详解】（1）解：T/ylCQngO。，AC=5,BC=12,

•,-ShABC=1/4C5C=1x5xl2=30;

（2）'：Z-ACB=90°,AC=5,BC=12,

：.AB=y/AC2+BC2=V52+122=13;

⑶解：VCD14B,

,*^£,,ABC='CD,

・《x13xCD=30,

•60

••CD=n-

18.（6分）（23-24八年级•山东淄博•期中）为了绿化环境，我市某中学有一块四边形的

空地/18C。，如图所示，学校计划在空地上种植草皮，经测量4/l=90o,/lB=9m,£M=12m,BC=

8m,CD=17m,求出空地4BCD的面积.

D

【答案】空地ABC。的面积114m2

【分析】连接80,在RtzMBD中，利用勾股定理求出8屏，再利用勾股定理的逆定理判断得到

RtAOBC,最后利用S四边形"e=S.4D+Sg8c即可解答.本题考查了勾股定理的应用，熟练掌

握勾股定理及逆定理是解本题的关键.

【详解】解：如图，连接30,

在Rtzx/180中，BD2=AB2+AD2=92+122=152,

在△CBD中，CD2=172,BC2=82,

而82+152="2,

即8c2+8僻=亦，

."DBC为直角三角形，

•••LDBC=90°,

S四边形48co=S4BAD+S^DBC=屋,AB+-DB•BC=-x12x9+-x15x8=114(m2),

答：空地ABCD的面积114m2.

19.（8分）（23-24八年级•宁夏固原•期中）在△沏；中，AB.BC、AC三边的长分别为

瓜同、旧，求这个三角形的面积.小华同学在解答这道题时，先画一个正方形网格（每

个小正方形的边长为1）,再在网格中画出格点△48。（即△48。三个顶点都在小正方形的顶点

处），如图1所示.这样不需求△力8c的高，而借用网格就能计算出它的面积.这种方法叫做

构图法.

⑴△48C的面积为：

⑵若△OEF三边的长分别为店、弼、g,请在图2的正方形网格中画出相应的aOEF.

【答案】（明

⑵见解析

【分析】本题考查作图初用与设计、勾股定理；

（1）利用构图法求解即可；

（2）利用勾股定理和构图法作图即可.

【详解】（1）解：由图可得，S^ABC=3x3-1xlx2-；x2x3-|xlx3=p

故答案为：三

（2）解：如图，即为所求;

20.（8分）（23-24八年级•河南平顶山•期中）数与形是数学中的两个最古老，也是最基

本的研究对象.数与形也是有联系的，这种联系称为“数形结合”.利用“数形结合”思想可

以直观地帮助我们解决一些数学验证或运算.

（1）我国是最早了解勾股定理的国家之一，该定理阐明了直角三角形的三边关系.请你利用如

图对勾股定理（即下列命题）进行验证，从中体会“数形结合”的思想：

己知：如图，在和RtACDE中，NB=4D=41CE=9O。，（点8,C,。在一条直线上），

AB=CD=b,BC=DE=a,AC=EC=c.

证明:a2+b2=c2;

（2）请利用“数形结合”思想，画图并推算出（a+b+c）2的结果.

【答案】（1）见解析

（2）见解析，a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac

【分析】本题考查了勾股定理的证明及完全平方公式，熟练掌握数形相结合的思想是解题的关

键.

（1）利用面积法证明即可；

（2）利用面积法计算即可.

【详解】（1）证明：梯形A80E的面积=2乂：。匕+'2,

梯形48DE的面积;四竽过，

・・・2乂工协+/2=空处3,

222

化简可得:a2+b2=c2；

大正方形的面积=（a+b+cP；

大正方形的面积=a2+b2+c2+2ab十2bc+2ac,

.*.（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab4-2bc+2ac.

21.（8分）（23-24八年级•四川达州•期中）如图是一个长8m、宽6m、高5m的仓库，在

其内壁的点力（长的四等分点）处有一只壁虎、点8（宽的三等分点）处有一只蚊子.则壁虎

爬到蚊子处的最短距离为多少m?

A

【答案】\Z85m

【分析】本题主要考查了勾股定理，先将点力和点〃所在的面展开，得到最符合条件的三种情

况，连接力8,利用勾股定理分别求解，即可得到答案，利用分类讨论的思想解决问题是解题

关键.

【详解】解：由题意可知，仓库的长为8m、宽为6m、高为5m,点力是长的四等分点，点8是

宽的三等分点

如图1,此时/C=6m,CD=5m,BD=2m,

BC=BDCD=7m>

•••AB=7AC?+BC?=V85m;

如图2,此时Ar=6m,BG=EF=5m,FG=BE=2m,

•••AG=AF+FG=8m,

AB=y)AG2+BG2=V89m；

如图3,此时4N=6m,MN=5m,BM=2m,

•••AM=AN+MN=11m,

AB=>JAM2+BM2=V125m,

VV85<V89<V125,

•••壁虎爬到蚊子处的最短距离为厢m.

<_•_•_1_—!----I------

ACAFG

图1