《概率论与数理统计》（第3版）课件 第1章 随机事件及其概率

概率论与数理统计（第三版）1概率论是根据大量同类的随机现象的统计规律，对随机现象的出现某一结果的可能性作出一种客观的科学判断，并对这种出现的可能性大小做出数量上的描述，比较这些可能性的大小，研究它们之间的联系，从而形成一套数学理论和方法。2作为一门学科，它酝酿于16世纪前后的两百余年之间，产生于十七世纪中期，本来是由保险业的发展而产生的，但是来自于赌博者的请求，却成为数学家们思考概率论中问题的源泉。3“两个赌徒相约赌若干局，谁先赢

m局就算赢，全部赌本就归谁。但是当其中一个人赢了

a(a<m)局，另一个人赢了

b(b<m)局的时候，赌博中止。问：赌本应该如何分法才合理？”“划分赌本”问题4一般认为，使概率论成为一门独立的数学分支的真正奠基人是瑞士数学家伯努利（BernoulliJ.）.19世纪概率论朝着建立完整的理论体系和更广泛的应用方向发展。51917年苏联科学家伯恩斯坦首先给出了概率论的公理体系．1933年柯尔莫哥洛夫又以更完整的形式提出了概率论的公理结构，从此，现代意义上的完整的概率论臻于完成．6数理统计是应用概率的理论来研究大量随机现象的规律性；对通过科学安排的一定数量的实验所得到的统计方法给出严格的理论证明；并判定各种方法应用的条件以及方法、公式、结论的可靠程度和局限性。使我们能从一组样本来判定是否能以相当大的概率来保证某一判断是正确的，并可以控制发生错误的概率。7数理统计学发展史上极重要的一个时期是从19世纪到二次大战结束．以费歇尔（R.A.Fisher）和皮尔逊（K.Pearson为首的英国统计学派，在这个时期起了主导作用．8第1章概率论的基本概念第2章随机变量及其分布第3章多维随机变量及其分布第4章随机变量的数字特征课程内容9第6章样本及抽样分布第7章参数估计第5章大数定律与中心极限定理第8章假设检验10谢谢！11中国人民大学出版社概率论与数理统计（第三版）12刘强郭文英孙阳陈江荣第一章随机事件及其概率13随机事件概率的定义与性质古典概型与几何概型条件概率、全概率公式、贝叶斯公式事件的独立性14§1.1随机事件1.1随机试验151.1.1随机试验与样本空间定义1.1.1具有以下性质的试验称为随机试验：随机试验(简称试验)通常用字母E表示.（2）试验的可能结果不止一个，但在试验之前知道所有可能的结果；（3）试验前不能确定哪一个结果会出现．（1）试验可以在相同条件下重复进行；16E1：掷一枚骰子，观察出现的点数;E2：在同一批次的电子产品中任取一件，测试其寿命;E3：记录某地区一次降雨的降雨量;E4：单位时间内通过某一观测点的汽车数.随机试验E的一切可能结果组成的集合称为E的样本空间，记为S.样本空间中的元素，即E的每一个可能的结果,，称为样本点，记为e.上述随机试验E1，E2，E3，E4的样本空间分别是:S1={1点、2点、3点、4点、5点、6点};S2={t|t≥0};S4={n|n=0,1,2,…}.S3={x0≤x≤350}(单位为mm，其中350为该地区同期降雨量的最大值);17一般地，试验E的样本空间S的子集称为E的随机事件，简称事件.事件用大写英文字母A，B，C等表示.由单个样本点构成的事件称为基本事件，否则称为复杂事件.在一次试验中，如果试验的结果为事件A中的样本点，则称在这次试验中事件A发生.由于样本空间S包含试验的所有可能结果，因此每次试验时S总是发生的，故称S为必然事件：而空集Ф不包含任何样本点，因此每次试验时Ф都不发生，故称Ф为不可能事件.

181.1.2随机事件的关系及运算设试验E的样本空间为S，而A，B，Ai(i=1,2,…)是E的事件.(1)如果事件A发生必然导致事件B发生，则称事件B包含事件A，记作A⊂B.(2)如果A⊂B且B⊂A，则称事件A与B相等，记作A=B.(3)事件“A与B至少有一个发生”称为事件A与B的和事件，记作A∪B.事件A1,A2,…,An的和事件记作A1∪A2∪…∪An或.Ai事件A1,A2,…的和事件记作

Ai.19(4)事件“A与B

同时发生”称为事件A与B的积事件，记作A∩B，简记为AB.事件A1,A2,…,An的积事件记作A1∩A2∩…∩An或Ai.事件A1,A2,…的积事件记作Ai.若A∩B=Ф，则称事件A与B互不相容或互斥，此时事件A与B不能同时发生.若一组事件中的任意两个事件均互不相容，则称这组事件两两互不相容.若A∪B=S且A∩B=Ф，则称事件A与B互为对立事件或互逆事件，A的对立事件记为.20(5)事件“A

发生且B不发生”称为事件A与B的差事件，记作A-B.显然有A-B=A-AB=；

∪AB=A.21事件之间的运算满足如下规律:(1)交换律(2)结合律(3)分配律(4)德·摩根律谢谢！22中国人民大学出版社概率论与数理统计（第三版）23刘强郭文英孙阳陈江荣第一章随机事件及其概率24随机事件概率的定义与性质古典概型与几何概型条件概率、全概率公式、贝叶斯公式事件的独立性25§1.2概率的定义及性质1.2概率的定义及性质261.2.1频率定义1.1.1设A为试验E的一个事件，将E在相同条件下重复n次，事件A发生的次数nA称为事件A发生的频数，称为事件A在n次试验中发生的频率，记为，即.事件的频率具有如下三个基本性质：(1)对于任一事件A，有0≤fn(A)≤1；(2)fn(A)=1；

(3)设A1,A2,…,Am

为m个两两互不相容的事件，则有27定义1.2.2(概率的公理化定义)设随机试验E的样本空间为S，对E的每一事件A赋予一个实数，记作P(A)，如果赋值方式P(·)满足以下三个条件：(1)非负性对任一事件A，有P(A)≥0;(2)规范性P(S)=1；

(3)可列可加性对于两两互不相容的事件A1，A2，…

，有则称P(A)为事件A的概率.281.2.2概率的性质(1)P(

)=0.证由于

=

∪

∪…，所以故P(

)=0.P(

)=P(

∪

∪…)=

)(2)(有限可加性)设事件A1，A2，…，An两两互不相容，则由可列可加性及P(

)=0，有证因为…，

29(3)设A，B为事件，且A⊂B，则P(B-A)=P(B)-P(A)，P(A)≤P(B).

证由A⊂B有B=A∪(B-A)，而A∩(B-A)=

，由有限可加性，有P(B)=P(A)+P(B-A)，即P(B-A)=P(B)-P(A).进而有P(A)≤P(B).

(4)对任意事件A，有P(A)≤1.证因为对任意事件A均有A⊂S，从而由性质(3)，有

P(A)≤P(S)=1.30(5)对任意事件A，有.证因为对任意事件A均有

且

，从而故.31(6)(加法公式)对任意事件A与B，有.证对事件A与B，有

，而

，故由于AB⊂B，从而由性质(3)，有.设事件A1，A2，…，An两两互不相容，则32例1.2.1设事件A,B,C满足:P(A)=1/2,P(B)=1/3,P(C)=1/5,P(AB)=1/10，P(AC)=1/15，P(BC)=1/20，P(ABC)=1/30.求：解由于，且与互不相容，从而有谢谢！33中国人民大学出版社概率论与数理统计（第三版）34刘强郭文英孙阳陈江荣第一章随机事件及其概率35随机事件概率的定义与性质古典概型与几何概型条件概率、全概率公式、贝叶斯公式事件的独立性36§1.3古典概型与几何概型1.3古典概型与几何概型1.3.1古典概型若随机试验满足:(1)样本空间只包含有限个样本点;则称该随机试验为古典概型或等可能概型.设随机试验的样本空间S={e1,e2,…,en}，则基本事件的概率为若事件A={ei1,ei2,…,eij}(j≤n)，则(2)每个基本事件发生的可能性相同，

例1.3.1设袋中有5只球，其中只有1只为红色，分别按不放回及放回两种方式从袋中取球3次，每次一只.求：前3次取到的球中有红球的概率；第3次首次取到红球的概率.解设A={前3次取到的球中有红球}，B={第3次首次取到红球}.取球方式为不放回时，样本空间中样本点的总数为

，A、B

中样本点的个数分别为

和.故B中样本点的个数为

，故当取球方式为放回时，样本空间中样本点的总数为53，中样本点的个数为

，从而有解由题意知，样本空间S中样本点的总数为Nn

.例1.3.2设有n个人，每人都有同等的机会被分配到N(n≤N)间房中的每一间.求下列事件的概率：(1)A={某指定的n间房中各有一人};(2)B={恰有n间房中各有一人}；(3)C={某指定的一间房中恰有m(m≤n)人}.(1)A中样本点的个数为n!，故(2)B中样本点的个数为

，故(3)C中样本点的个数为，故411.3.2几何概型若随机试验满足:(1)样本空间可以几何化为一个测度(如长度、面积等)有限的几何图形(如长度有限的线段、面积有限的区域等)；

(2)事件A发生的可能性的大小与A的测度成正比，设样本空间S的测度为L(S)，事件A的测度为L(A)，则有则称该随机试验为几何概型.例1.3.3在区间[0,1]上任取两个数，以A表示事件“两数之和小于3/2”，B表示事件“两数之和等于3/2”，求P(A)，P(B).解用x，y表示取得的两个数，则有进而有43例1.3.4小明家的晚报在下午5:30—6:30之间的任意时刻被随机地送到.小明家在下午6:00—7:00之间的任意时刻随机地开始晚餐.求晚报在晚餐开始之前被送到的概率.解设晚报被送到的时刻为x，晚餐开始的时刻为y，由题意有设A={晚报在晚餐开始之前被送到}，因此进而有谢谢！44中国人民大学出版社概率论与数理统计（第三版）45刘强郭文英孙阳陈江荣第一章随机事件及其概率46随机事件概率的定义与性质古典概型与几何概型条件概率、全概率公式、贝叶斯公式事件的独立性47§1.4条件概率、全概率公式、贝叶斯公式1.4条件概率、全概率公式、贝叶斯公式1.4.1条件概率及乘法公式为在事件A发生的条件下事件B发生的条件概率.定义1.4.1设A,B为两个事件，且P(A)>0，称P(B|A)=P(AB)P(A)条件概率具有如下性质:(1)非负性对任意事件B，有P(B|A)≥0；

(2)规范性P(S|A)=1；

(3)可列可加性对于两两互不相容的事件B1,B2,…

，有4例1.4.2设事件A,B,C满足P(AC)=0,P(AB)=1/2,P(C)=1/3,求解依题意有5例1.4.3设10件产品中有4件不合格品.现从中任取两件产品，已知两件产品中有一件不合格品，求另一件也是不合格品的概率.解设A={两件产品中有一件不合格品}，B={另一件也是不合格品}，则AB={两件产品均为不合格品}.由古典概型，有故67由条件概率的定义可知，若P(A)>0，则有称该式为概率的乘法公式.P(AB)=P(A)P(B|A)，

若事件A1,A2,…,An

满足P(A1A2

…

An-1

)>0，则有8例1.4.4袋中装有n只红球、m只白球，每次从袋中任取一只球，观察其颜色后放回，并再放入a只与所取的那只球同色的球，现连续进行4次，求前3次取到白球并且第4次取到红球的概率.解记Ai={第i次取到的球为白球}，i=1,2,3,4，则A4={第4次取到的球为红球}，按取球的先后顺序，则有1.4.2全概率公式与贝叶斯公式定义1.4.2若事件满足:则称

为样本空间S的一个划分.(1)

(2)定理1.4.1(全概率公式)设S为试验E的样本空间，A为E的一个事件,为S的一个划分，且有，则53例1.4.5一批产品共100件，其中20件为甲厂生产，30件为乙厂生产，50件为丙厂生产.已知三厂产品的合格率分别是85%、80%、90%，求这批产品的合格率.解记A={取到的一件产品为合格品}，B1,B2,B3依次表示取到的产品的生产厂家为甲、乙、丙.由题意有再由全概率公式有54例1.4.6发射一枚鱼雷击中潜艇致命部位的概率为1/4，击中非致命部位的概率为1/2，没击中的概率为1/4.潜艇被击中致命部位即被击毁；非致命部位被击中时，潜艇被击毁的概率为5/9.求发射一枚鱼雷时潜艇被击毁的概率.解记A={潜艇被击毁}，B1={鱼雷击中致命部位}，B2={鱼雷击中非致命部位}，B3={鱼雷没有击中潜艇}，则由全概率公式有55定理1.4.2(贝叶斯公式)设S为试验E的样本空间，A为E的一个事件，为S的一个划分，且

，则证由已知有56例1.4.7(续例1.4.5)从这批产品中任取一件，若其为不合格品，求它由甲厂生产的概率.解由贝叶斯公式有即它由甲厂生产的概率是0.214.57例1.4.8在自然人群中某种疾病的发病率为4‰.医疗机构研发出一种试剂检验法，对于患者该方法检验为阳性的概率是95%；对于健康的人，该方法检验为阳性的概率是2%.现某人被该方法检验为阳性，求其患有这种疾病的概率.解记A={此人患有该疾病}，B={此人被检验为阳性}，则由已知有从而58谢谢！59中国人民大学出版社概率论与数理统计（第三版）60刘强郭文英孙阳陈江荣第一章随机事件及其概率61随机事件概率的定义与性质古典概型与几何概型条件概率、全概率公式、贝叶斯公式事件的独立性62§1.5事件的独立性1.5事件的独立性1.5.1事件的独立性及性质4定义1.5.1设A，B是两个事件，如果P(AB)=P(A)P(B)，则称A与B相互独立，简称A与B独立.定理1.5.1设A，B为两个事件，且P(B)>0，则事件A与B相互独立的充分必要条件是P(A|B)=P(A).定理1.5.2如果事件A与B独立，则A与,与B,与均相互独立.证由A与B独立，有因此A与独立.其它类似可证.5定义1.5.2如果事件A,B,C满足:P(AB)=P(A)P(B),P(BC)=P(B)P(C),P(CA)=P(C)P(A),P(ABC)=P(A)P(B)P(C),则称A,B,C相互独立.一般地，如果事件