专题05二次函数常考几何模型专训（9大题型15道拓展培优题）

专题05二次函数常考几何模型专训（9大题型+15道拓展培优题）题型一二次函数中的旋转模型题型二二次函数中的翻折模型题型三二次函数中的平移模型题型四二次函数中的轴对称模型题型五二次函数中的最值模型题型六二次函数中的存在模型题型七二次函数中特殊角度模型题型八二次函数中面积关系模型题型九二次函数中新定义模型【经典例题一二次函数中的旋转模型】(1)这条抛物线的表达式为___________．(2)求将（1）中的抛物线向右平移4个单位长度得到的抛物线的表达式．【分析】（1）根据抛物线的开口方向、形状大小、顶点坐标，可得答案；（2）根据左加右减的平移规律可得抛物线的表达式；【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换，熟练掌握平移规律和旋转规律是解题的关键．(1)求b的值及顶点坐标；①用含t的式子表示点E的坐标；②当点E恰好在该抛物线上时，求t的值．【分析】本题考查的是待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，旋转变换的性质，全等三角形的判定和性质，掌握待定系数法求函数解析式的一般步骤，全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．（1）把点B的坐标代入二次函数解析式，求出b，利用配方法求出抛物线的顶点坐标；②把点E的坐标代入二次函数解析式，计算得到答案．(1)求S关于x的函数解析式及自变量x的取值范围；(2)求当x取何值时，矩形旋转形成的圆柱的侧面积最大．【分析】本题考查圆柱的计算，二次函数的性质等知识，熟练掌握圆柱侧面积公式，二次函数的最值是解题的关键．（1）根据矩形的性质，圆的周长公式，求出圆柱的底面圆的周长，即可计算圆柱的侧面积．（2）把圆柱侧面积表达式化为顶点式，即得x取什么值时圆柱侧面积最大．3．（2025·上海·模拟预测）阅读以下材料，并解决相应问题：小明在课外学习时遇到这样一个问题：请思考小明的方法解决下面问题：(2)1(3)证明见解析【分析】（1）根据“旋转函数”的定义求出另一个函数的a、b、c的值，从而得出函数解析式；（2）根据定义得出m和n的二元一次方程组，从而得出答案；∴两个函数互为“旋转函数”．【点睛】本题考查了二次函数，新定义型；涉及了待定系数法，关于原点对称的点的坐标等知识，正确理解题意，熟练运用相关知识是解题的关键．【分析】本题考查二次函数的实际应用，正确的求出函数解析式，是解题的关键：（1）待定系数法求出函数解析式即可；假设无人机从左往右飞，【经典例题二二次函数中的翻折模型】(1)求抛物线的对称轴．（用含的式子表示）【分析】本题考查了二次函数的图象性质，函数的增减性质，函数图象变换，分类讨论的数学思想，熟练掌握以上内容是解题关键．（1）直接按对称轴公式代数计算即可；(1)求这个二次函数的表达式．(2)存在，P点的坐标为2+【分析】对于（1），根据待定系数法，可得函数解析式；对于（2），根据菱形的对角线互相平分，可得P点的纵坐标，根据函数值与自变量的对应关系，可得答案；对于（3），根据面积的和差，可得二次函数，根据二次函数的性质，可得m的值，根据自变量与函数值的对应关系，可得P点坐标．（2）解：如图，交于E（3）解：如图1，，【点睛】本题主要考查了用待定系数法求函数解析式，二次函数与几何图形，菱形的性质和判定，求一次函数关系式，求二次函数的最大值，理解用坐标差表示线段长是解题的关键.(1)求抛物线的解析式；(2)①4；0②0【分析】本题考查了二次函数的性质，图象与轴交点问题，翻折变换，一元二次方程与二次函数的关系等，熟练掌握二次函数的图象及性质是解题的关键．故答案为：4；0；分以下三种情况：综上，t的值为0，故答案为：0；(1)求抛物线的表达式和对称轴；(3)【分析】本题属于二次函数综合题，主要考查了二次函数的性质、待定系数法求函数解析式、翻折的性质等，解题的关键是运用待定系数法求函数解析式；运用配方法解决最值问题．解题时注意分类讨论思想的运用．（1）用待定系数法即可求解；其对称轴为：x；，由B、C的坐标知，和x轴负半轴的夹角为，4．（2025·上海闵行·模拟预测）“求索”兴趣小组对函数图象的翻折变换进行了讨论，请你完成下列相关问题．(3)下列说法中正确的有______填序号(3)①③④【分析】本题考查二次函数综合应用，涉及一次函数，反比例函数，对称变换等知识，解题的关键是掌握关于某直线对称的两点的坐标关系．正确的有①③④，故答案为：①③④；【经典例题三二次函数中的平移模型】(1)求、、的值；【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质以及二次函数图象的平移．（2）由题意先设平移后的抛物线的解析式，再把原点代入求解即可．(1)求该二次函数的解析式；【分析】本题考查待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象的平移，三角形的面积，勾股定理及其逆定理．解题的关键是求出平移之后的解析式．（1）用待定系数法直接求解即可；(1)________，________；【答案】(1)，(4)【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数的平移，一元二次方程的解与二次函数的关系，数形结合是解题的关键．（1）根据函数的开口方向可判断，再根据函数图象与轴的交点可判断；（4）先求出原来二次函数的解析式，再根据二次函数平移的特点求解即可．故答案为：，；故答案为：．(1)直接写出点的坐标（用含的代数式表示）；此时与直线有两个交点；直线与总有两个公共点，【点睛】本题考查了二次函数的综合，二次函数与坐标轴的交点问题，二次函数图象的平移，二次函数与一元二次方程，熟练掌握二次函数的图象与性质；二次函数的平移规则：左加右减，上加下减；采用数形结合的思想进行解题，是解此题的关键．(1)求抛物线的解析式．(2)点是抛物线上，且位于直线上方的一个动点，当点在抛物线上，且横坐标为时，(3)如图，将原抛物线沿射线方向平移得到新的抛物线，新抛物线与射线交于，两点（点在点的左侧）．在抛物线平移过程中，线段的长度总是定值，请你直接写出此定值．【分析】本题考查了一次函数与二次函数的图象及性质，二次函数图象的平移，一元二次方程根与系数的关系，二次函数的最值，熟练掌握二次函数的图象及性质，函数图象平移的性质是解题的关键．【详解】（1）解：∵函数图象经过原点，∵点横坐标为，故答案为：；设抛物线向右平移个单位，向上平移个单位，设抛物线向右平移个单位，向上平移个单位，【经典例题四二次函数中的轴对称模型】解决办法：【分析】本题主要考查二次函数图象与性质，灵活运用数形结合思想是解答本题的关键．（1）依照轴对称的性质进行解答即可；（3）画出函数图象，结合图象解答即可．(1)求抛物线和直线的函数解析式；(2)设点是直线上方抛物线上的一动点，过点作轴的平行线交于点，设点的横坐标为．①用含的代数式表示线段的长，并求线段的最大值；【分析】本题考查待定系数法求函数解析式，二次函数的图像及性质，一元二次方程的应用，熟练掌握二次函数的图像与性质是解题的关键．（2）①用x分别表示点P、H的坐标，用点P的纵坐标减去点H的纵坐标即可得到的长，再根据二次函数是性质即可解答；②根据三角形面积公式求解即可．(1)求抛物线的函数表达式；本题考查了二次函数的应用，正确求出二次函数的解析式是解题的关键．(1)求抛物线的解析式；(3)(1)求出上半部分抛物线的函数表达式；(2)有一辆宽3.2米，高4.6米的货车需要通过该城门进入城区（城门处为单向行驶道），请通过计算判断该货车能否安全通行．(2)能安全通行(3)2600元【分析】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是掌握待定系数法求二次函数解析式．（1）利用待定系数法计算即可得解；∵一辆宽3.2米，高4.6米的货车需要通过该城门进入城区，该货车能安全通行；答：最多需要花费2600元．【经典例题五二次函数中的最值模型】(1)用含有x的代数式表示为m；【分析】本题考查列代数式，二次函数的实际应用，正确理解题意是解题的关键．（1）由题意结合矩形的周长即可得出结论；解题的关键是：（1）利用矩形的周长公式，找出关于的关系式；（2）建立矩形的面积关于的二次函数关系式，根据二次函数的最值求解．【详解】（1）解：设垂直于墙的一边为，(1)请用含x的代数式表示边的长度；【分析】本题主要考查矩形的性质、二次函数的最值问题及相似三角形的性质与判定，熟练掌握矩形的性质、二次函数的最值问题及相似三角形的性质与判定是解题的关键；(1)求抛物线的表达式；【分析】本题考查二次函数的图象与性质，一次函数的性质，二次函数与三角形，解答本题的关键是熟练掌握二次函数的性质．（1）用待定系数法求解即可；(1)求抛物线解析式．（3）利用平移先求出，联立可求出点E的坐标，然后分情况讨论，当为边时，当为对角线时两种情况，利用点的平移求解即可．设P的横坐标为t，（3）解：存在，理由如下：【点睛】本题考查的是二次函数的性质、抛物线与坐标轴的交点、待定系数法求解析式、三角形的面积、平行四边形的判定与性质，正确作出辅助线是解决此题关键．②当此函数的“分界点”是该函数图象唯一最低点时，求的取值范围；【答案】(1)③根据满足条件时点在部分，点在部分，列出关于的不等式组求解．的值为，或；③如图，满足条件，则点在部分，点在部分，【点睛】本题主要考查函数“分界点”的概念，二次函数与一元二次方程，二次函数图象的性质，待定系数法求函数解析式，一元一次不等组的解法，解题的关键是会用数形结合的思想分析二次函数图象的性质．【经典例题六二次函数中的存在模型】(1)求A、B、C的坐标；(2)9【分析】本题考查二次函数与坐标轴的交点、顶点坐标、四边形面积以及等腰三角形的存在性问题等知识点．（3）先求出，然后分三种情况求解即可．（3）解：存在，(1)求抛物线的表达式及顶点的坐标．【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，求函数解析式，等腰直角三角形的判定与性质等知识，掌握相关知识是解题的关键．(1)求B、C两点的坐标和抛物线的解析式；【分析】本题考查了二次函数的综合问题，掌握函数相关性质是解题关键；如图所示：3．（2526九年级上·上海闵行·阶段练习）某商品的进价为每件40元，当售价为每件60元时，每星期可卖出300件，现需降价处理，且经市场调查，每降价1元，每星期可多卖出20件，在确保盈利的前提下，设每件降价x（x为整数）元，每星期售出商品的利润为y元，解答下列问题：(1)请写出x与y之间的函数关系式；(2)当降价多少元时，每星期的利润最大？最大利润是多少？小明解答过程如下：解：（1）根据题意，可列出表达式：所以，当降价2．5元时，每星期的利润最大，最大利润为6125．老师看了小明的解题过程，说小明第（1）问的表达式是正确的，但自变量x的取值范围不准确．（2）问的答案，也都存在问题．请你就老师说的问题，进行探究，写出你认为（1）（2）中正确的答案，或说明错误原因．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】本题主要考查了求二次函数的解析式、二次函数的性质、二次函数的应用等知识点，掌握二次函数的性质是解题的关键．（1）根据题意列出函数解析式并确定自变量的取值范围即可；（2）根据二次函数的性质求解即可．【详解】（1）解：根据题意，可列出表达式：∵降价要确保盈利，∵x为整数，所以，当降价2或3元时，每星期的利润最大，最大利润为6120．∵点A在点B的左边，【点睛】本题主要考查了二次函数的图象及性质、待定系数法求函数解析式、锐角三角函数，勾股定理，等腰直角三角形的性质和判定，解一元二次方程等知识，熟练掌握二次函数的图象及性质是解题的关键．【经典例题七二次函数中特殊角度模型】(1)求抛物线的函数表达式；【分析】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，直角三角形的三角函数，平行线的性质是解题的关键．此时方程无解，当N在y轴负半轴时，如图，当N在y轴正半轴时，记为，如图，则和N关于x轴对称，(1)求抛物线的解析式；∴抛物线开口向下，函数有最大值，根据平行线间的距离处处相等，∵E是线段的中点，【点睛】本题考查了待定系数法求解析式，特殊角的三角函数，正切函数的应用，直线平行的基本条件，构造二次函数求面积的最值，平行线的性质，互补的应用，解一元二次方程，熟练掌握待定系数法，构造抛物线求最值，解方程是解题的关键．(1)求：，的值；【答案】(1)，2【分析】本题考查了二次函数的综合运用，涉及待定系数法求表达式，二次函数的性质，二次函数与角度问题等．第（3）问关键是构造三角全等．（3）解：存在点，理由如下：(1)求抛物线的函数表达式及点的坐标；(2)【分析】本题考查了二次函数与一次函数综合，角度问题；∴的横坐标为设交轴于点当在的上方时，如图所示①求直线的表达式；②连接，∵A，关于直线对称，【点睛】此题是二次函数综合题，考查了待定系数法求一次函数解析式、二次函数的图象和性质、解直角三角形、解一元一次不等式等知识，数形结合和准确计算是解题的关键．【经典例题八二次函数中面积关系模型】【例8】（2025九年级上·上海长宁·专题练习）综合运用(1)如图1，当点P由点C运动到点B时，求S关于t的函数表达式．(2)当点P由点B运动到点A时，经探究发现S是关于t的二次函数，并绘制成如图2所示的图象．请根据图象信息，求S关于t的函数表达式及线段的长．(3)①4；②【分析】本题主要考查了二次函数与图形运动问题，待定系数法求函数解析式，勾股定理等等，正确理解题意利用数形结合的思想求解是解题的关键．【详解】（1）解：∵动点P以每秒1个单位的速度从C点出发，在上匀速运动，(1)求这个函数图像的顶点坐标，并指出它的变化情况；(2)15【分析】本题主要考查了二次函数的图像和性质，顶点坐标，求围成图形的面积等，解题的关键是掌握二次函数的图像和性质．（1）利用顶点坐标公式进行求解即可，根据二次函数的性质确定其变化情况；∵二次函数图像的开口向下，∵二次函数图像与x轴正半轴交于点A，．2．（2425九年级上·上海崇明·阶段练习）综合与实践(1)特例感知(2)规律探究(3)数学思考（3）解：如图，将线段绕点顺时针旋转到的位置，连接，连接交于点，【点睛】本题考查了旋转的性质，矩形的判定与性质，勾股定理，二次函数的性质，全等三角形的判定与性质，掌握知识点的应用是解题的关键．3．（2425九年级上·上海闵行·期中）综合与探究(1)填空：如图，当点由点运动到点时，关于的函数解析式为．（不必写出自变量的取值范围）(2)如图，当点由点运动到点时，经探究发现是关于的二次函数，并绘制成如图所示的图象段，请根据图象信息：求关于的函数解析式，并直接写出自变量的取值范围；

勾股定理求出，最后由面积公式即可求解；本题考查了二次函数的应用，直角三角形的性质，勾股定理，垂线段最短等知识，掌握知识点的应用是解题的关键．故答案为：；当点由点运动到点时，每秒个单位的速度匀速运动，故答案为：．

(2)①6，②存在；【分析】本题考查了二次函数综合，解题的关键是熟练掌握用待定系数法求函数解析式的方法和步骤，相似三角形的判定和性质，以及二次函数的图象和性质．（2）解：①如图1，设直线l与交于点F，

【经典例题九二次函数中新定义模型】（2）抛物线N与M互为“同枝”抛物线，且N与M的形状相同，若N与坐标轴仅有两个交点，请求出N的解析式．【分析】本题考查了二次函数的性质．（1）求出抛物线M的对称轴，即可得；①的图象的顶点位于轴上，∵与的形状相同，1．（2425九年级上·上海宝山·阶段练习）新定义：在平面直角坐标系中，函数自变量与因变量乘积最大时的点坐标成为该函数的“最值点”【答案】(1)不存在，理由见解析（2）结合图象即可求解；∴随x的增大而增大，即不存在最大值，∴抛物线M上不存在最值点．【点睛】本题考查新定义，待定系数法求二次函数解析式，二次函数的图象及性质，直线与抛物线的交点问题等，正确理解函数的“最值点”是解题的关键．【答案】(1)见解析(2)n的值为或．

（2）解：如图，

综上，n的值为或．【点睛】本题考查二次函数和一次函数的综合应用；理解并运用新定义“镜面函数”，能够将图象的对称转化为点的对称，借助图象解题是关键．【分析】本题考查了恒过定点的直线，抛物线以及相似三角形的性质：知识迁移：是定值，定值为2为定值．4．（2025九年级·上海长宁·专题练习）定义：将二次函数l的图象沿x轴向右平移t，再沿x轴翻折，得到新函数l′的图象，则称函数l′是函数l的“t值衍生抛物线”．已知l：y＝x2﹣2x﹣3．(1)当t＝﹣2时，①求衍生抛物线l′的函数解析式；(2)当t＝2时，如图2，函数l与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，连接AC．函数l′与x轴交于D，E两点，与y轴交于点F．点K在抛物线l′上，且∠EFK＝∠OCA．请直接写出点K的横坐标．(2)点K的横坐标为4或【分析】（1）①利用抛物线的性质和衍生抛物线的定义解答即可；②利用待定系数法求得直线MN的解析式，设P（m，﹣m2﹣2m+3），则得到Q（m，﹣2m），G（m，m2﹣2m﹣3），利用m的代数式分别表示出PQ，QG的长，再利用同高的三角形的面积比等于底的比即可得出结论；（2）利用函数解析式求得点A，B，C，D，E，F的坐标，进而得出线段OA，OC，OD，OE，AC，OF的长，设直线FK的解析式为y＝kx﹣5，设直线FK交x轴于点M，过点M作MN⊥EF于点N，用k的代数式表示出线段OM．FM，ME的长，利用∠EFK＝∠OCA，得到sin∠EFK＝sin∠OCA，列出关于k的方程，解方程求得k值，将直线FK的解析式与衍生抛物线l′的函数解析式联立即可得出结论．【详解】（1）解：①∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，∴当t＝﹣2时，将二次函数l的图象沿x轴向右平移t个单位得：y＝（x+1）2﹣4．∴此时函数的顶点坐标为（﹣1，﹣4）．再沿x轴翻折，得到新函数的顶点坐标为（﹣1，4）．∵沿x轴翻折，得到新函数的形状大小不变，开口方向相反，∴沿x轴翻折，得到新函数的解析式为y＝﹣（x+1）2+4．∴衍生抛物线l′的函数解析式为y＝﹣x2﹣2x+3；∴直线MN的解析式为y＝﹣2x．如图，设P（m，﹣m2﹣2m+3），∵PQ∥y轴，∴Q（m，﹣2m），G（m，m2﹣2m﹣3）．∴PQ＝（﹣m2﹣2m+3）﹣（﹣2m）＝﹣m2+3，QG＝（﹣2m）﹣（m2﹣2m﹣3）＝﹣m2+3，∴PQ＝QG．∴QGPG．∵△PNG与△QNG高相等，（2）解：点K的横坐标为4或．理由：当t＝2时，函数l的衍生抛物线l′的函数解析式为y＝﹣（x﹣3）2+4＝﹣x2+6x﹣5．令x＝0，则y＝﹣5，∴F（0，﹣5）．∴OF＝5．令y＝0，则﹣x2+6x﹣5＝0，解得：x＝1或5．∴D（1，0），E（5，0）．∴OE＝5．∴OF＝OE．∴∠OFE＝∠OEF＝45°．令x＝0，则y＝﹣3，∴C（0，﹣3）．∴OC＝3．令y＝0，则x2﹣2x﹣3＝0，解得：x＝﹣1或3．∴A（﹣1，0）．∴OA＝1．设直线FK交x轴于点M，过点M作MN⊥EF于点N，如图，设直线FK的解析式为y＝kx﹣5，令y＝0，则x，∴M（，0）．∴OM，ME＝OE﹣OM＝5．∵MN⊥EF，∠OEF＝45°，∵∠EFK＝∠OCA，解得：k＝2或．∴直线FK的解析式为y＝2x﹣5或yx﹣5．∴点K的横坐标为4或．【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与性质，抛物线上点的坐标的特征，待定系数法求得一次函数的解析式，一次函数图象上点的坐标的特征，勾股定理，配方法求抛物线的顶点，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键．【答案】B故选：B．

【答案】A故选：A．【点睛】本题考查二次函数的应用，解题的关键是明确题意，求出相应的函数解析式，利用数形结合的思想求解．【答案】D故A选项错误；故B选项错误；的最小值为，故C选项错误；故D选项正确．故选：D．【答案】A【详解】解：如图所示：此时是开口向下的二次函数，如图所示：此时是开口向上的二次函数，观察四个选项，唯有A选项符合题意；故选：AA．①②③④ B．①②④ C．①③④ D．②④【答案】B【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的性质，是解题的关键．开口方向，对称轴，与y轴的交点位置判断①，特殊点判断②，最值判断③，对称性判断④即可．故①正确；故②正确；故③错误；

故④正确；故正确的有①②④；故选：B．（1）该抛物线的顶点坐标为．则点C到的距离最大，则点的横坐标为，又点在直线上，【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数与一次函数的交点问题，求三角形的面积，解题关键是利用待定系数法求出二次函数解析式．（1）抛物线C的表达式为．（2）珍珍利用软件程序将抛物线C复制后，向下平移5个单位长度得到抛物线，抛物线与x轴正半轴交于点B，则的长是