第4章幂函数指数函数和对数函数（复习讲义）

第4章幂函数、指数函数和对数函数（复习讲义）1.掌握根式的概念，理解根式的基本性质，并能运用性质进行相关的根式化简与计算；2.熟练掌握有理数指数幂的基本不等式，并能运用该不等式分析有理数指数幂的单调性，为理解无理数指数幂的定义奠定基础；理解无理数指数幂的概念及相关不等式；3.理解对数的概念，掌握对数式与指数式的互化，熟知对数的性质，两个对数恒等式；掌握对数的相关运算法则及公式等。4.掌握幂函数、指数函数、对数函数的概念、图象和性质，并能用图象和性质解决有关问题。6.理解零点的概念；掌握并熟练运用零点存在定理解决相关问题；理解零点、根、交点三者之间的关系；7.掌握运用函数性质求方程近似解的基本方法（二分法）；理解用函数构建数学模型的基本过程；运用模型思想发现和提出、分析和解决问题。8.幂函数、指数函数、对数函数的图象与性质及其应用，特别是单调性的应用。9.与幂、指数、对数函数有关的函数值域和复合函数的单调性问题和选择恰当的函数模型解决实际问题。①当是奇数时，的次方根用记作。②当是偶数时，正数的次方根有两个，他们互为相反数。其中正的次方根叫作算术根，记作。3、分式指数幂2）规定：0的正分数指数幂等于0，0没有负分数指数幂。5、无理数指数幂的概念这样，用a的有理数次幂来逼近其无理数次幂，可以要多精确就有多精确，所以，任意正数a的无理数次幂就有了确定的意义，于是，给定任意正数a，对任意实数u，a的u次幂au都有了定义。在幂的表达式au中，a叫作底数，u叫作指数。（1）当α>0时，它在[0，+∞)上有定义且单调递增，值域为[0，+∞)，函数图象过(0，0)，(1，1)。（2）当α<0时，它在(0，+∞)上有定义且单调递减，值域为(0，+∞)，函数图象过(1，1)，向上与y轴正向无限接近，.向右与x轴正向无限接近。图象性质定义域：值域：在上是增函数在上是减函数15、二分法的概念：16、用二分法求零点的近似值18、实际问题中函数建模的基本步骤(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理清数量关系，初步选择模型.(2)建模：将自然语言转化为数学语言，利用数学知识，建立相应的函数模型.(3)求解：根据实际问题所需要解决的目标及函数式的结构特征正确求得函数模型的解.(4)还原：应用问题不是单纯的数学问题，既要符合数学学科背景又要符合实际背景，因此解出的结果要代入原问题中进行检验、评判，最后得出结论，作出回答.补充1.指、对、幂大小比较方法在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较，准确掌握各个幂函数的图象和性质是解题的关键。③底数、指数、真数都不同，寻找中间变量0，1或者其它能判断大小关系的中间量，借助中间量进行大小关系的判定。④其他方法：如转化为两函数图象交点的横坐标、特殊值法、估算法、放缩法、基本不等式法、作差法、作商法、平方法等都可以灵活运用。补充2.指数、对数不等式的解法（4）形如logax＞logab的不等式，借助y＝logax的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a＞1与0＜a＜1两种情况讨论；（5）形如logax＞b的不等式，需先将b化为以a为底的对数式的形式；有关指、对数方程、不等式问题的求解，往往是利用相应的指、对数型函数图象和性质，数形结合求解．补充3.函数零点或零点个数的求法②数形结合法：作出函数图象，利用函数性质求解；③数形结合，通过分离，将原函数拆分成两个函数，找到两个函数图象交点的个数；④函数零点唯一：函数存在零点+函数单调。补充4.识图的三种常用方法：（1）抓住函数的性质，定性分析：=1\*GB3①从函数的定义域、值域；=2\*GB3②从函数的奇偶性，判断图象的对称性；=3\*GB3③从函数的单调性，判断图象的变化趋势；=4\*GB3④从周期性，判断图象的循环往复。=5\*GB3⑤从函数的特征点，排除不合要求的图象.(2)抓住函数的特征，定量计算：从函数的特征点，利用特征点、特殊值的计算分析解决问题．（3）根据实际背景、图形判断函数图象的方法：=1\*GB3①根据题目所给条件确定函数解析式，从而判断函数图象(定量分析)；=2\*GB3②根据自变量取不同值时函数值的变化、增减速度等判断函数图象(定性分析)．题型一指数与指数幂的运算题型一指数与指数幂的运算【例1】（多选题）（2526高一上·湖南·课后作业）下列运算（化简）中正确的有（）．【答案】ABD【变式11】（多选题）（2526高一上·重庆·课后作业）下列各式不正确的是（

）【答案】ABC【答案】ABD【答案】【变式14】（2526高一上·成都·课后作业）计算下列各式：【答案】(1)18(2)题型二题型二对数的综合计算【答案】(1)(2)8(3)【答案】6【答案】/题型题型三幂函数、指数函数与对数函数的概念A． B． C．2 D．4【答案】C【答案】【答案】4A． B．2 C． D．1【答案】C题型题型四幂函数、指数函数与对数函数的图象A．① B．② C．③ D．④【答案】CA．B．

C．D．

【答案】C【答案】AA．

B．

C．

D．

【答案】B只有B中图象符合该函数特点，故选：BA．B．C．D．【答案】B题型题型五幂函数、指数函数与对数函数的定点问题【答案】D【答案】B【答案】A题型题型六指数与对数型复合函数的值域【答案】C题型题型七根据幂函数、指数函数与对数函数的值域求参数【答案】【答案】或【答案】题型题型八对数函数的定义域（含复合函数）【答案】D【答案】A【答案】BCC．最小值为1 D．图象恒在x轴上方【答案】BCD题型题型九幂函数的单调性【答案】A【答案】B【答案】B【答案】ABC题型题型十判断指数型复合函数的单调性【答案】D【答案】D题型题型十一判断对数型复合函数的单调性【答案】B【答案】C(1)求函数的定义域和值域；(2)判断函数的单调性.题型题型十二由指数(型)函数的单调性求参数【答案】D【答案】D【答案】D题型题型十三由对数(型)函数的单调性求参数【答案】C【答案】D【答案】C题型题型十四由幂函数、指数、对数函数的单调性解不等式【答案】B题型题型十五比较指数幂的大小【例1】（多选题）（2425高一上·广东汕头·期中）下列各式比较大小，正确的是（）【答案】BCD【答案】A【答案】D【答案】D题型题型十六比较指对式的大小【答案】C【答案】A【答案】D【答案】D【答案】D题型题型十七幂函数与指对数型函数的奇偶性【答案】3（答案不唯一）【答案】AA．2 B．3 C．1 D．1或3【答案】CA．B．C．D．【答案】B【答案】ABD题型题型十八幂函数、指数函数与对数函数的实际应用A． B． C． D．【答案】DA．5.1 B．5.0 C．4.9 D．4.8【答案】CA．6 B．5 C．4 D．3【答案】CA．9 B．6 C．4 D．3【答案】D所以污染物清除至最初的49%还需要3小时，故选：D020408002400440012000题型题型十九零点存在定理与二分法01230.3712.727.3920.0912.558.513【答案】BC【答案】B【变式12】（多选题）（2425高一上·湖南永州·期末）下列函数图象与轴均有交点，其中能用二分法求其零点的是（

）A．B．C．D．【答案】AC所以选项B、D中函数零点左右函数值不变号，不能用二分法求函数零点，选项A、C中函数零点左右函数值变号，能用二分法求函数零点.故选：AC.【变式13】（2425高一上·辽宁·期中）下列函数中，不能用二分法求零点的是（

）【答案】B所以函数值在零点两侧异号，故可用二分法求零点；所以函数值在零点两侧异号，故可用二分法求零点.故选：B题型题型二十函数零点（方程的根）的个数相关问题要使方程有一个正根一个负根，需使函数的图象和轴的正负半轴各有一个交点，A．14 B．13 C．12 D．11【答案】D

【答案】D【答案】B基础巩固通关测基础巩固通关测x121.51.751.8751.812531.3420.5793A．1.6 B．1.7 C．1.8 D．1.9【答案】C【答案】C【答案】C【答案】C【答案】C【答案】A【答案】C【答案】A【答案】D【答案