2025年下学期高二数学小组合作探究试题（二）

2025年下学期高二数学小组合作探究试题（二）一、选择题（共6题，每题5分，共30分）已知函数$f(x)=\sin(\omegax+\varphi)(\omega>0,|\varphi|<\frac{\pi}{2})$的部分图像如图所示，则$\omega$和$\varphi$的值分别为（）A.$\omega=2,\varphi=\frac{\pi}{3}$B.$\omega=2,\varphi=-\frac{\pi}{3}$C.$\omega=4,\varphi=\frac{\pi}{6}$D.$\omega=4,\varphi=-\frac{\pi}{6}$在棱长为2的正方体$ABCD-A_1B_1C_1D_1$中，点$P$为棱$CC_1$的中点，则三棱锥$P-ABD$的体积为（）A.$\frac{4}{3}$B.$\frac{8}{3}$C.$2$D.$\frac{16}{3}$已知双曲线$C:\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>0,b>0)$的离心率为$\sqrt{3}$，且过点$(2,\sqrt{6})$，则双曲线$C$的标准方程为（）A.$\frac{x^2}{2}-\frac{y^2}{4}=1$B.$\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{2}=1$C.$\frac{x^2}{3}-\frac{y^2}{6}=1$D.$\frac{x^2}{6}-\frac{y^2}{3}=1$某小组进行数学建模活动，收集到某城市2019-2024年的居民人均可支配收入数据（单位：万元）：$3.2,3.5,3.8,4.2,4.6,5.0$，若用线性回归模型拟合$y$与年份$x$（2019年记为$x=1$）的关系，且回归方程为$\hat{y}=0.36x+\hat{a}$，则$\hat{a}$的值为（）A.$2.84$B.$2.92$C.$3.01$D.$3.13$已知向量$\vec{a}=(1,2),\vec{b}=(m,1)$，且$\vec{a}\perp(\vec{a}-\vec{b})$，则$|\vec{a}+\vec{b}|=$（）A.$\sqrt{10}$B.$\sqrt{14}$C.$\sqrt{17}$D.$\sqrt{20}$若函数$f(x)=x^3-3x^2+ax+1$在区间$[1,2]$上单调递减，则实数$a$的取值范围为（）A.$(-\infty,-3]$B.$(-\infty,0]$C.$[0,+\infty)$D.$[3,+\infty)$二、填空题（共4题，每题5分，共20分）若$(x+\frac{1}{x})^n$的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等，则展开式中$x^2$的系数为_________。已知数列${a_n}$满足$a_1=1,a_{n+1}=2a_n+1(n\in\mathbb{N}^*)$，则数列${a_n}$的前$n$项和$S_n=$_________。在$\triangleABC$中，角$A,B,C$所对的边分别为$a,b,c$，若$a=2,b=3,C=60^\circ$，则$\sinA=$_________。某小组4名成员随机分配到数学建模、数据分析、算法设计3个项目组，每个项目组至少分配1人，则不同的分配方案共有_________种。三、解答题（共5题，共100分）11.（18分）已知函数$f(x)=e^x-ax-1(a\in\mathbb{R})$。（1）讨论函数$f(x)$的单调性；（2）若$f(x)\geq0$对任意$x\in\mathbb{R}$恒成立，求$a$的值；（3）小组合作探究：结合（1）（2）的结论，尝试证明不等式$e^x\geqx+1+\frac{x^2}{2}(x\geq0)$。合作要求：第（3）问需小组分工完成：1人负责构造辅助函数，2人分别计算函数的导数及单调性，1人整理证明过程。12.（20分）如图，在直三棱柱$ABC-A_1B_1C_1$中，$AC=BC=AA_1=2$，$\angleACB=90^\circ$，点$D,E$分别为棱$A_1B_1,BB_1$的中点。（1）求证：$DE\parallel$平面$A_1ACC_1$；（2）求二面角$A-DE-C$的余弦值；（3）小组合作探究：在棱$A_1C_1$上是否存在点$F$，使得$EF\perp$平面$CDE$？若存在，求出$A_1F$的长；若不存在，说明理由。合作要求：第（3）问需小组用两种方法求解（几何法与空间向量法），并对比两种方法的优劣。13.（20分）已知椭圆$E:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$的左焦点为$F(-1,0)$，离心率为$\frac{1}{2}$。（1）求椭圆$E$的标准方程；（2）过点$F$的直线$l$与椭圆$E$交于$A,B$两点，$O$为坐标原点，求$\triangleAOB$面积的最大值；（3）小组合作探究：若直线$l$的斜率为$k(k\neq0)$，线段$AB$的垂直平分线与$x$轴交于点$M$，试探究$\frac{|MF|}{|AB|}$是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由。合作要求：第（3）问需小组设计表格记录不同斜率$k$对应的$|MF|$与$|AB|$值，通过数据分析归纳结论。14.（20分）为响应“双减”政策，某校高二数学组开展“数学实践周”活动，其中一项任务为测量校园内一棵古树$GH$的高度（如图）。小组在地面上选取$A,B$两点，分别测得树顶$G$的仰角为$30^\circ$和$45^\circ$，且$A,B$两点间的距离为$20$米，$\angleAHB=60^\circ$（$H$为树的底部）。（1）求古树$GH$的高度；（2）小组合作探究：若受地形限制，无法直接测量$A,B$两点间的距离，现提供测角仪（可测仰角、水平角）和皮尺（可测直线距离），请设计至少两种新的测量方案，并写出具体操作步骤及计算公式（无需计算数值）。合作要求：方案设计需包含测量工具、测量数据、计算过程，并评估方案的误差来源。15.（22分）已知数列${a_n}$的前$n$项和为$S_n$，且满足$a_1=1,S_{n+1}=4a_n+2(n\in\mathbb{N}^*)$。（1）证明：数列${a_{n+1}-2a_n}$是等比数列；（2）求数列${a_n}$的通项公式；（3）小组合作探究：①求数列${a_n}$的前$n$项和$S_n$；②若数列${b_n}$满足$b_n=\frac{a_n}{3n-1}$，证明：$\sum_{k=1}^nb_k<2$。合作要求：第（3）问①②需小组分工完成，①用错位相减法，②用放缩法，并讨论放缩的合理性。四、开放探究题（共30分）16.数学建模综合题某工厂计划生产一种新型节能设备，需投入固定成本50万元，每生产$x$百台设备，需另投入可变成本$C(x)$万元，且$C(x)=\begin{cases}\frac{1}{2}x^2+2x,&0<x<10,\26x+\frac{400}{x}-200,&x\geq10.\end{cases}$（1）求总成本$G(x)$（万元）关于产量$x$（百台）的函数关系式；（2）若每百台设备售价为40万元，求该工厂所获利润$L(x)$（万元）关于产量$x$（百台）的函数关系式，并求当产量为多少时，利润最大？（3）小组合作探究：收集近5年同类设备的市场数据（如需求量、价格波动等），结合（2）的结论，为工厂制定一份产量规划报告（需包含数据图表、风险分析及建议产量范围）。合作要求：需利用Excel或Python绘制成本-利润曲线图，结合函数单调性分析最优产量区间；报告需包含“数据来源”“模型假设”“误差分析”三个板块，字数不少于800字。试题设计说明：题型覆盖选择、填空、解答、开放探究四大类，注重基础与能力结合；合作探究题占比40%，需小组分工完成建模、证明、方案设计等任务，培养团队协作能