2025年下学期高二数学直观想象能力测试题（二）

2025年下学期高二数学直观想象能力测试题（二）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）已知线段AB在平面α内，则直线AB与平面α的位置关系是（）A.平行B.相交C.在平面内D.无法确定下列说法正确的是（）A.三点确定一个平面B.四边形一定是平面图形C.梯形一定是平面图形D.平面α和平面β有不在同一条直线上的三个交点垂直于同一条直线的两条直线一定（）A.平行B.相交C.异面D.以上都有可能在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，下列几种说法正确的是（）A.A₁C₁⊥ADB.D₁C₁⊥ABC.AC₁与DC成45°角D.A₁C₁与B₁C成60°角若直线l∥平面α，直线m⊂α，则l与m的位置关系是（）A.平行B.异面C.相交D.没有公共点如图所示的直观图，其对应的平面图形ABCD是（）A.平行四边形B.矩形C.菱形D.直角梯形在空间四边形ABCD各边上分别取E、F、G、H四点，如果EF、GH能相交于点P，那么（）A.点P必在直线AC上B.点P必在直线BD上C.点P必在平面ABC内D.点P必在平面ABD外a，b，c表示直线，M表示平面，给出下列四个命题：①若a∥M，b∥M，则a∥b；②若b⊂M，a∥b，则a∥M；③若a⊥c，b⊥c，则a∥b；④若a⊥M，b⊥M，则a∥b.其中正确命题的个数有（）A.0个B.1个C.2个D.3个一个棱柱是正四棱柱的条件是（）A.底面是正方形，有两个侧面是矩形B.底面是正方形，有两个侧面垂直于底面C.底面是菱形，且有一个顶点处的三条棱两两垂直D.每个侧面都是全等矩形的四棱柱在棱长为1的正方体上，分别用过共顶点的三条棱中点的平面截该正方体，则截去8个三棱锥后，剩下的凸多面体的体积是（）A.2/3B.4/5C.5/6D.1二面角α-l-β的平面角是锐角，点P在α内，点P到β的距离为3，点P到棱l的距离为4，则sinα的值等于（）A.3/4B.3/5C.4/5D.5/4如图，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁的体积为V，点P、Q分别在侧棱AA₁和CC₁上，AP=C₁Q，则四棱锥B-APQC的体积为（）A.V/2B.V/3C.V/4D.V/5二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）A，B，C为空间三点，经过这三点的平面有_______个。两个球的半径之比为1∶2，那么两个球的表面积之比为________。已知a，b是两条异面直线，直线c平行于直线a，那么直线c与直线b的位置关系是____________。空间中直线l和三角形的两边AC，BC同时垂直，则这条直线和三角形的第三边AB的位置关系是________。以下角：①异面直线所成角；②直线和平面所成角；③二面角的平面角，可能为钝角的有________个。过平面外一点能作_______条直线与这个平面平行。已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若球的体积为9π/16，则正方体的棱长为________。如图所示，P是三角形ABC所在平面外一点，平面α∥平面ABC，α分别交线段PA、PB、PC于A′、B′、C′，若PA′∶AA′=3∶4，则S△A′B′C′∶S△ABC=________。已知平面α外两点A、B到平面α的距离分别是3和5，则A，B的中点P到平面α的距离是________。若圆锥的全面积是底面积的3倍，则该圆锥的侧面展开图扇形的圆心角为________度。三、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）（10分）已知：平面α∩平面β=b，直线a∥α，a∥β，求证：a∥b。（12分）已知ABCD是空间四边形，AB=AD，CB=CD，求证：AC⊥BD。（12分）如图所示，P是四边形ABCD所在平面外的一点，四边形ABCD是∠DAB=60°且边长为a的菱形。侧面PAD为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD。（1）若G为AD边的中点，求证：BG⊥平面PAD；（2）求证：AD⊥PB。（12分）如图，在三棱锥P-ABC中，平面PAB⊥平面PBC，AB⊥BC，AP=AB，过A作AF⊥PB垂足为F，点E，G分别是棱PA，PC的中点。求证：（1）平面EFG∥平面ABC；（2）BC⊥PA。（12分）已知正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为1，P、Q分别是正方形AA₁D₁D和A₁B₁C₁D₁的中心。（1）证明：PQ∥平面DD₁C₁C；（2）