2025年下学期高二数学周测（第一周）

2025年下学期高二数学周测（第一周）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）已知集合A={x|x²-3x+2=0}，B={x|mx-1=0}，若A∩B=B，则实数m的取值集合是（）A.{1,1/2}B.{0,1,1/2}C.{0,2,1}D.{2,1}函数f(x)=√(x-1)+log₂(3-x)的定义域是（）A.[1,3)B.(1,3]C.[1,3]D.(1,3)下列函数中，既是奇函数又是增函数的是（）A.f(x)=x³B.f(x)=sinxC.f(x)=x+1D.f(x)=lnx已知向量a=(1,2)，b=(m,1)，若a⊥b，则m的值为（）A.-2B.2C.-1/2D.1/2已知直线l₁:ax+2y+6=0与直线l₂:x+(a-1)y+a²-1=0平行，则a的值为（）A.-1B.2C.-1或2D.1若函数f(x)=x²+2ax+3在区间(-∞,4]上是减函数，则实数a的取值范围是（）A.a≤-4B.a≥-4C.a≤4D.a≥4已知sinα=3/5，α∈(π/2,π)，则cos(α-π/4)的值为（）A.-√2/10B.√2/10C.-7√2/10D.7√2/10已知等比数列{an}的前n项和为Sn，若S3=7，S6=63，则公比q的值为（）A.2B.-2C.3D.-3某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积是（）A.12cm³B.18cm³C.24cm³D.36cm³已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π/2)的部分图象如图所示，则ω和φ的值分别为（）A.ω=2,φ=π/3B.ω=2,φ=π/6C.ω=1,φ=π/3D.ω=1,φ=π/6已知双曲线x²/a²-y²/b²=1(a>0,b>0)的离心率为√3，且过点(2,√3)，则该双曲线的方程为（）A.x²/3-y²/6=1B.x²/6-y²/3=1C.x²/2-y²/4=1D.x²/4-y²/2=1已知函数f(x)=e^x-ax-1，若f(x)≥0对x∈R恒成立，则实数a的取值范围是（）A.(-∞,1]B.[1,+∞)C.(-∞,e]D.[e,+∞)二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）若函数f(x)=2^x+log₂x，则f(1/2)的值为________。已知数列{an}满足a₁=1，an+1=2an+1，则a₅的值为________。在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若a=2，b=3，C=60°，则c=________。已知函数f(x)=x³-3x²+2，若过点P(1,m)可作曲线y=f(x)的三条切线，则实数m的取值范围是________。三、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）（本小题满分10分）已知函数f(x)=2sinxcosx+2cos²x-1。（Ⅰ）求函数f(x)的最小正周期；（Ⅱ）求函数f(x)在区间[0,π/2]上的最大值和最小值。（本小题满分12分）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a₃=5，S₁₅=225。（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）设bn=2^an+2n，求数列{bn}的前n项和Tn。（本小题满分12分）如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，侧棱垂直于底面，AB⊥BC，AA₁=AC=2，BC=1，E、F分别是A₁C₁、BC的中点。（Ⅰ）求证：平面ABE⊥平面B₁BCC₁；（Ⅱ）求三棱锥E-ABC的体积。（本小题满分12分）已知圆C的圆心在直线x-2y=0上，且与y轴相切于点(0,1)。（Ⅰ）求圆C的方程；（Ⅱ）若直线l:y=kx+1与圆C相交于A、B两点，且|AB|=2√3，求k的值。（本小题满分12分）已知函数f(x)=x³+ax²+bx+c在x=-2处取得极值，并且它的图象与直线y=-3x+3在点(1,0)处相切。（Ⅰ）求函数f(x)的解析式；（Ⅱ）求函数f(x)在区间[-3,1]上的最大值与最小值。（本小题满分12分）已知椭圆C:x²/a²+y²/b²=1(a>b>0)的离心率为√3/2，短轴长为2。（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）设直线l与椭圆C交于A、B两点，坐标原点O到直线l的距离为√3/2，求△AOB面积的最大值。参考答案及评分标准一、选择题B2.A3.A4.A5.A6.A7.A8.A9.C10.B11.A12.A二、填空题5/414.3115.√716.(-3,-2)三、解答题解：（Ⅰ）f(x)=sin2x+cos2x=√2sin(2x+π/4)，所以最小正周期T=π。（5分）（Ⅱ）因为x∈[0,π/2]，所以2x+π/4∈[π/4,5π/4]，当2x+π/4=π/2，即x=π/8时，f(x)取得最大值√2；当2x+π/4=5π/4，即x=π/2时，f(x)取得最小值-1。（10分）解：（Ⅰ）设等差数列{an}的公差为d，则a₁+2d=5，15a₁+105d=225，解得a₁=1，d=2，所以an=2n-1。（6分）（Ⅱ）bn=2^(2n-1)+2n=1/2×4^n+2n，所以Tn=1/2×(4+4²+...+4^n)+2×(1+2+...+n)=1/2×4(4^n-1)/(4-1)+2×n(n+1)/2=2(4^n-1)/3+n(n+1)。（12分）（Ⅰ）证明：因为侧棱垂直于底面，所以AA₁⊥底面ABC，所以AA₁⊥AB。又AB⊥BC，AA₁∩BC=A，所以AB⊥平面B₁BCC₁，又AB⊂平面ABE，所以平面ABE⊥平面B₁BCC₁。（6分）（Ⅱ）解：因为AA₁=AC=2，BC=1，AB⊥BC，所以AB=√(AC²-BC²)=√3。所以三棱锥E-ABC的体积V=1/3×S△ABC×AA₁=1/3×1/2×√3×1×2=√3/3。（12分）解：（Ⅰ）设圆心C(2t,t)，因为圆与y轴相切于点(0,1)，所以t=1，半径r=2t=2，所以圆C的方程为(x-2)²+(y-1)²=4。（6分）（Ⅱ）圆心C到直线l的距离d=|2k-1+1|/√(k²+1)=|2k|/√(k²+1)，由勾股定理得d²+(|AB|/2)²=r²，即4k²/(k²+1)+3=4，解得k=±1/2。（12分）解：（Ⅰ）f'(x)=3x²+2ax+b，由题意得f'(-2)=12-4a+b=0，f(1)=1+a+b+c=0，f'(1)=3+2a+b=-3，解得a=1，b=-8，c=6，所以f(x)=x³+x²-8x+6。（6分）（Ⅱ）f'(x)=3x²+2x-8=(3x-4)(x+2)，令f'(x)=0，得x=-2或x=4/3（舍去）。f(-3)=-27+9+24+6=12，f(-2)=-8+4+16+6=18，f(1)=1+1-8+6=0，所以最大值为18，最小值为0。（12分）解：（Ⅰ）由题意得e=c/a=√3/2，2b=2，所以b=1，c=√3/2a，又a²=b²+c²，解得a=2，所以椭圆C的标准方程为x²/4+y²=1。（4分）（Ⅱ）当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x=±√3/2，此时|AB|=√(4-3)=1，S=1/2×√3/2×1=√3/4。（6分）当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=kx+m，由题意得|m|/√(k²+1)=√3/2，即m²=3/4(k²+1)。联立椭圆方程得(1+4k²)x²+8kmx+4m²-4=0，设A(x₁,y₁)，B(x₂,y₂)，则x₁+x₂=-8km/(1+4k²)，x₁x₂=(4m²-4)/(1+4k²)，|AB|=√(1+k²)√[(x₁+x₂)²-4x₁x₂]=√(1+k²)√[16(4k²+1-m²)]/(1+4k²)=√(1+k²)√[16(4k²+1-3/4(k²+1))]/(1+4k²)=√(1+k²)√[16(13k²+1)/4]/(1+4k²)=√(1+k²)√(4(13k²+1))/(1+4k²)=2√[(1+k²)(13k²+1)]/(1+4k²)。（9分）令t=1+4k²≥1，则k²=(t-1)/4，所以|AB|=2√[(1+(t-1)/4)(13(t-1)/4+1)]/t=2√[(