第05讲 空间向量及其应用（十六大题型）（课件）-2025年高考数学一轮复习讲练测（新教材新高考）

一轮复习讲练测2025年高考数学第05讲空间向量及其应用目录CONTENTS考情透视·目标导航01知识导图·思维引航02考点突破·题型探究03真题练习·命题洞见040506课本典例·高考素材易错分析·答题模板01考情透视·目标导航考点要求考题统计考情分析（1）空间向量的线性运算（2）空间向量基本定理及其应用（3）向量法证明平行、垂直（4）向量法求空间角（5）空间距离2024年I卷第17题，15分2024年II卷第17题，15分2023年I卷第18题，12分2023年II卷第20题，12分2022年I卷第19题，12分2022年II卷第20题，12分空间向量解立体几何一般以解答题形式为主,每年必考,一般12分.以解答题为主,难度中等,可灵活选择运用向量方法与综合几何方法,从不同角度解决立体几何问题,通过对比体会向量方法的优越性.选择题和填空题一般不用空间向量法.但要理解向量基本定理的本质,感悟“基底”的思想,并运用它解决立体几何中的问题.复习目标：（1）了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示.（2）掌握空间向量的线性运算及其坐标表示，掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能用向量的数量积判断向量的共线和垂直.（3）理解直线的方向向量及平面的法向量，能用向量方法证明立体几何中有关线面位置关系的一些简单定理．（4）能用向量法解决异面直线、直线与平面、平面与平面的夹角问题，并能描述解决这一类问题的程序，体会向量法在研究空间角问题中的作用．02知识导图·思维引航稿定PPT稿定PPT，海量素材持续更新，上千款模板选择总有一款适合你0203考点突破·题型探究知识梳理·基础回归知识点1：空间向量的有关概念名称定义空间向量在空间中，具有

和

的量相等向量方向

且模

的向量相反向量方向

且模

的向量共线向量(或平行向量)表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相

或

的向量共面向量平行于

的向量大小方向相同相等相反相等平行重合同一个平面知识梳理·基础回归知识点2：空间向量的有关定理(1)共线向量定理：对任意两个空间向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使

.(2)共面向量定理：如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在

的有序实数对(x，y)，使p＝

.(3)空间向量基本定理如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p＝

，{a，b，c}叫做空间的一个基底.a＝λb唯一xa＋ybxa＋yb＋zc知识梳理·基础回归知识点3：空间向量的数量积及运算律(1)数量积非零向量a，b的数量积a·b＝

.(2)空间向量的坐标表示及其应用设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3).|a||b|cos〈a，b〉

向量表示坐标表示数量积a·b_________________共线a＝λb(b≠0，λ∈R)_________________________a1b1＋a2b2＋a3b3a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3知识梳理·基础回归垂直a·b＝0(a≠0，b≠0)_____________________模|a|______________夹角余弦值cos〈a，b〉＝(a≠0，b≠0)cos〈a，b〉＝_______________________a1b1＋a2b2＋a3b3＝0知识梳理·基础回归知识点4：空间位置关系的向量表示(1)直线的方向向量：如果表示非零向量a的有向线段所在直线与直线l平行或重合，则称此向量a为直线l的方向向量.(2)平面的法向量：直线l⊥α，取直线l的方向向量a，则向量a为平面α的法向量.(3)空间位置关系的向量表示位置关系向量表示直线l1，l2的方向向量分别为n1，n2l1∥l2n1∥n2⇔n1＝λn2(λ∈R)l1⊥l2n1⊥n2⇔n1·n2＝0知识梳理·基础回归直线l的方向向量为n，平面α的法向量为m，l⊄αl∥αn⊥m⇔n·m＝0l⊥αn∥m⇔n＝λm(λ∈R)平面α，β的法向量分别为n，mα∥βn∥m⇔n＝λm(λ∈R)α⊥βn⊥m⇔n·m＝0知识梳理·基础回归知识点5：异面直线所成的角若异面直线l1，l2所成的角为θ，其方向向量分别是u，v，则cosθ＝|cos〈u，v〉|＝_____.知识梳理·基础回归知识点6：直线与平面所成的角如图，直线AB与平面α相交于点B，设直线AB与平面α所成的角为θ，直线AB的方向向量为u，平面α的法向量为n，则sinθ＝|cos〈u，n〉|＝＝_____.知识梳理·基础回归知识点7：平面与平面的夹角如图，平面α与平面β相交，形成四个二面角，我们把这四个二面角中不大于90°的二面角称为平面α与平面β的夹角.若平面α，β的法向量分别是n1和n2，则平面α与平面β的夹角即为向量n1和n2的夹角或其补角.设平面α与平面β的夹角为θ，则cosθ＝|cos〈n1，n2〉|＝_______.知识梳理·基础回归知识点8：点到直线的距离知识梳理·基础回归知识点9：点到平面的距离如图，已知平面α的法向量为n，A是平面α内的定点，P是平面α外一点.过点P作平面α的垂线l，交平面α于点Q，则n是直线l的方向向量，且点P到平面α的距离就

题型一：空间向量的加法、减法、数乘运算

题型一：空间向量的加法、减法、数乘运算

题型一：空间向量的加法、减法、数乘运算

题型二：空间共线向量定理的应用

题型二：空间共线向量定理的应用

题型二：空间共线向量定理的应用

题型三：空间向量的数量积运算

题型三：空间向量的数量积运算

题型三：空间向量的数量积运算

题型四：三点共线问题

题型四：三点共线问题

题型四：三点共线问题

题型五：多点共面问题

题型五：多点共面问题

题型五：多点共面问题

题型六：证明直线和直线平行

题型六：证明直线和直线平行

题型六：证明直线和直线平行

题型七：证明直线和平面平行

题型七：证明直线和平面平行

题型七：证明直线和平面平行【典例8-1】如图所示，平面PAD⊥平面ABCD，四边形ABCD为正方形，△PAD是直角三角形，且PA＝AD＝2，E，F，G分别是线段PA，PD，CD的中点，求证：平面EFG//平面PBC．

题型八：证明平面与平面平行【典例8-1】如图所示，平面PAD⊥平面ABCD，四边形ABCD为正方形，△PAD是直角三角形，且PA＝AD＝2，E，F，G分别是线段PA，PD，CD的中点，求证：平面EFG//平面PBC．

题型八：证明平面与平面平行

题型八：证明平面与平面平行【方法技巧】

（1）证明两平面内有两条相交直线分别平行．（2）转化为证两平面的法向量平行（常用此方法）．

题型八：证明平面与平面平行

题型九：证明直线与直线垂直

题型九：证明直线与直线垂直

题型九：证明直线与直线垂直

题型十：证明直线与平面垂直

题型十：证明直线与平面垂直

题型十：证明直线与平面垂直

题型十一：证明平面和平面垂直

题型十一：证明平面和平面垂直

题型十一：证明平面和平面垂直

题型十二：求两异面直线所成角

题型十二：求两异面直线所成角

题型十二：求两异面直线所成角

题型十三：求直线与平面所成角

题型十三：求直线与平面所成角

题型十三：求直线与平面所成角

题型十三：求直线与平面所成角

题型十四：求平面与平面所成角

题型十四：求平面与平面所成角

题型十四：求平面与平面所成角

题型十四：求平面与平面所成角

题型十四：求平面与平面所成角

题型十四：求平面与平面所成角

题型十五：求点面距、线面距、面面距

题型十五：求点面距、线面距、面面距

题型十五：求点面距、线面距、面面距

题型十五：求点面距、线面距、面面距

题型十六：点到直线距离、异面直线的距离

题型十六：点到直线距离、异面直线的距离

题型十六：点到直线距离、异面直线的距离04真题练习·命题洞见稿定PPT稿定PPT，海量素材持续更新，上千款模板选择总有一款适合你02

CABD

05课本典例·高考素材

06易错分析·答题模板02易错点：计算线面角出错易错分析：计算线面角时出错，常见原因包括：1．对线面角概念理解不清，错误地将直线与平面上任意直线的夹角视为线面角；2．在利用向量法计算时，未正确设置平面的法向量和直线的方向向量，导致计算结果偏离实际；3．忽视线面角的取值范围，错误地计算了钝角或超出规定范围的角；4．计算过程中存在符号错误或计算失误，影响最终结果的准确性．因此，在计算线面角时需仔细理解概念，正确设置向量，并仔细检查计算