电工电子技术6

模块2正弦交流电路2.1正弦交流电路的基本概念2.2正弦交流电路的分析学习引导现代工程领域中，机电一体化、自动控制等系统均以“机械+电气”融合为核心——例如工业机器人的驱动电机控制、智能家居的电路开关逻辑，都依赖电路分析能力。对于机械工程师及相关技术人员，掌握电路分析不仅是理解复杂系统的基础，更是实现“机械结构与电气功能协同设计”的关键。

本模块是从工程实践视角出发，聚焦电路核心概念、定律及分析方法，通过“理论讲解+实操验证”的模式，帮助学习者既能深刻理解电路原理，又能掌握电路搭建、参数测量等实操技能，为后续正弦交流电路、电机控制等内容奠定基础。学习目标掌握正弦波的振幅、频率、相位等基本特性，了解正弦交流电的基本概念，掌握正弦交流电的瞬时值表达式、波形图以及相量表示法，掌握正弦交流电路的分析方法，了解正弦交流电在电力系统、通信系统、电子电路等领域的应用。知识目标具有正确使用信号发生器、双踪示波器、电子毫伏表的能力，具有测量正弦交流电路中电压、电流、功率的能力，具有独立完成实验操作的能力以及团队协作能力。技能目标培养交流电路问题分析与创新设计能力；注重电路设计的安全性、可靠性、环保性；提升知识向工程实践转化的能力。素养目标2.1

正弦交流电路的基本概念提出问题何为正弦交流电的三要素？怎么判断正弦交流电变化得快还是慢？怎么衡量正弦电实际能做多少功（比如带动电器）？两个正弦电怎么比“谁先变化”？相量表示法到底怎么用？核心提示：按正弦规律变化的电压、电流，比如家里的市电、电机里的电，都是正弦交流电。正弦电的关键特征可用其三要素：正弦交流电的变化快慢、大小、初始位置就能完全描述。知识准备发电厂产生的正弦交流电被广泛应用于工农业生产和日常生活中。工厂的电动机、照明系统、电话、计算机、家用电子设备以及医疗设备等都需要正弦交流电供电。这体现了正弦交流电作为高效、便捷能源形式的重要性，也说明了学习它的必要性。核心问题：正弦电是随时间按围绕正弦交流电三要素是什么？各要素反映什么？正弦交流电的表示方法和对相量表示法的理解展开。2.1.1

正弦交流电的三要素小实践：设备：双踪示波器、电源适配器（将市电降压）；操作：把适配器输出接示波器，观察波形（按正弦规律变化），读出周期（约0.02s），对应频率50Hz；目的：直观感受正弦电的变化规律，验证工频的周期和频率。1.正弦量的频率、周期和角频率u、it0周期、频率与角频率三者的数量关系：正弦量完整变化一周所需要的时间，单位是秒[s]正弦量在单位时间内变化的周数，单位［1/s］[Hz]T=0.5s周期频率f=2Hz角频率正弦量单位时间内经历的弧度数，单位：每秒弧度[rad/s]。ω=4πrad/s三者从不同角度反映了同一要素正弦量随时间变化的快慢程度2.正弦交流电的瞬时值、最大值和有效值ut0正弦量对应各个时刻的数值。正弦量变化过程中的正向振幅。瞬时值最大值有效值与交流电热效应相同的直流电数值定义为交流电的有效值。有效值或最大值均反映同一要素正弦量的大小及做功能力UmRiRI理论和实践均可证明：第2章正弦交流电路3.正弦交流电的相位、初相和相位差相位是时间的函数，它反映了正弦量随时间变化的整个进程。初相是正弦量计时始t=0时的电角度。相位初相初相确定的要素是正弦量对应计时始的位置规定：初相不得超过±180°。正弦量与纵轴相交处若在正半周，初相为正。正弦量与纵轴相交处若在负半周，初相为负。归纳总结要素之一频率、周期和角频率是从不同角度反映正弦量的同一个问题：正弦量随时间变化的快慢程度。要素之一有效值和最大值在数量上具有特定关系，它们均可以反映：正弦量的大小及做功能力。要素之一正弦量的初相可以确切地表征：正弦量计时始的位置。三要素确定之后，正弦量就是唯一和确定的。小实践：正弦交流电三要素观察设备：双踪示波器、函数信号发生器、交流毫伏表、导线。实践步骤：1.测频率：信号发生器输出50Hz、5V正弦信号，接示波器；调示波器显1个完整波形，读周期约20ms，反推频率=1/0.02s=50Hz，验证频率越高，周期越短。2.测有效值：毫伏表并联信号发生器输出端，读数值约3.5V；调信号发生器幅值为10V，毫伏表读数约7V，看幅值变大，有效值同步变大。3.观初相双踪显示：通道1接初相0°信号：起点0V，通道2接初相30°信号：起点正值；改通道2初相为-30°，起点变负值，见初相不同，初始状态不同。概括：三要素确定，正弦信号的变化快慢、大小、初始状态就唯一了。习题练1.已知正弦量重在对知识的理解，只有理解透彻才能真正掌握根据函数式写出该正弦量的三要素。2.已知正弦电流的频率为50Hz，有效值为5A，初相是60°，试写出该正弦量的解析式，画出波形图。3.已知波形图，写出正弦量的解析式。同频率正弦量的相位差可见，两个同频率正弦量之间的相位差，实际上是它们的初相之差。已知，求u、i的相位差。u1与u2相位差为180°，称为反相；u3ωtu4u2u1uu3超前u190°，或u1滞后u390°，90°的相位差称为相位正交；u1与u4相位差为零，称作相位同相。相位差的几个名词只有同频率的正弦量之间才有相位差的概念相位差无解思考回答何谓正弦量的三要素？它们各反映了什么？耐压为220V的电容器，能否用在180V的正弦交流电源上？何谓反相？同相？相位正交？超前？滞后？正弦量的三要素是指它的最大值、角频率和初相。最大值反映了正弦量的大小及做功能力；角频率反映了正弦量随时间变化的快慢程度；初相确定了正弦量计时始的位置。

不能！因为180V的正弦交流电，其最大值≈255V>180V!u1与u2反相，即相位差为180°；u3ωtu4u2u1uu3超前u190°，或说u1滞后u390°，二者为正交的相位关系。u1与u4同相，即相位差为零。2.1.2正弦交流电的相量表示法要点相量特指与正弦量相对应的复电压和复电流，相量可认为是对正弦量的一种变换，但二者并不相等。正弦电用波形图或瞬时值描述，算多个正弦电叠加时很麻烦；相量是简化分析的工具——用带箭头的线段（相量图）表示正弦量：线段长度=正弦电的有效值（或最大值）；线段与水平方向的夹角=正弦电的初相；同频率的正弦电，才能画在同一张相量图上（频率一致，不用额外标示）。第2章正弦交流电路如正弦电流i=14.1sin(ωt+36.9°)A，其最大值相量为：有效值相量为：正弦稳态电路的角频率与电源的角频率相同，因此频率要素可省略，相量与正弦量之间的一一对应关系为：相量的模值对应正弦交流电的有效值(或最大值)，幅角对应正弦量的初相。为区别与一般复数，相量的头顶一般加符号“·”。2.相量是正弦交流电路解题的数学工具，相量不等于正弦量，但正弦量可以用相量表示。相量特指与正弦量相对应的复数电压和复数电流深刻理解显然，复数相加、减时用代数形式比较方便；复数相乘、除时用极坐标形式比较方便。设有两个复数分别为：A、B加、减、乘、除时运算公式如下：复数的运算法则在复数运算当中，一定要根据复数所在象限正确写出幅角的值。如：注意：上式中的j称为旋转因子，一个复数乘以j相当于在复平面上逆时针旋转90°；除以j相当于在复平面上顺时针旋转90°。※数学课程中旋转因子是用i表示的，电学中为了区别于电流而改为j。+1+j034-3-4ABCD第2章正弦交流电路+1相量在复平面上构成的图称为相量图。相量图及其画法有效值相量线段的长度对应正弦量的有效值。通常默认水平位置为实轴+1，相量图坐标可省略+j相量与正向实轴之间的夹角对应正弦量的初相。电阻元件u、i同相电感元件u、i正交电容元件u、i正交相量图可直观的描述同一电路中各相量之间的关系已知三角函数式相加过程非常复杂，采用相量图辅助分析：+1相量图辅助分析法通常复平面坐标可省略！200cos36.9°+150cos53.1°200sin36.9°+150sin53.1°解得：U≈347V，φ≈43.8°根据相量与正弦量之间的对应关系：化繁为简！分析相量在复平面上表示的图形称为相量图相量在数学上是一个复数，所以复数运算法则的合理运用，将会给正弦稳态电路的分析带来方便。比如两个正弦电压叠加，用相量图比“算三角函数”简单多，直接应用平行四边形法则即可拼出总电压的相量。小实践：用相量图分析两电压叠加设备：两个信号发生器、双踪示波器、电阻（保护电路）。操作：1.让两个信号发生器输出同频率（如1kHz）、不同初相的正弦电压（比如一个初相0°，一个初相30°）；2.将两电压串联后接示波器，观察叠加后的总电压波形；3.按两电压的有效值、初相画相量图，用平行四边形法则算总相量，对比示波器的实际波形。目的：理解相量表示法的实用性，会用相量图简化叠加分析。检验学习效果如何把代数形式变换成极坐标形式？极坐标形式又如何化为代数形式？相量等于正弦量的说法对吗？正弦量的解析式和相量式之间能用等号吗？利用几何图形关系，如利用三角函数关系，如说法不对！相量和正弦量之间只有对应关系，没有相等之说。因此，解析式和相量式之间不能画等号！2.1.3正弦交流电的相量表示法的应用1.案例背景日光灯电路为RL串联电路：灯管=电阻R，镇流器=电感L，需快速计算电路电流、功率，避免三角函数繁琐运算，用相量法简化分析。2.已知条件市电：220V（有效值，50Hz）灯管电阻R=300Ω，镇流器感抗XL=400Ω。3.相量法分析步骤选参考相量：串联电路电流处处相同，以电流相为参考相量：画在水平方向，初相0°；2.画相量图：电阻电压与电流同相，电感电压超前电流90°，总电压为两者相量合成（利用平行四边形法则可获得）；3.算总阻抗：总阻抗相量的模=√(R²+XL²)=500Ω；4.求电流：电流有效值=220V/500Ω=0.44A；5.算功率：有功功率=UIcosφ（φ为电压超前电流的夹角），cosφ=R/Z=0.6，功率=220×0.44×0.6≈58W。4.应用优势不用复杂三角函数，相量图直观显相位关系，10分钟内完成计算，比时域分析效率提升80%，贴合工程快速分析需求。2.2正弦交流电路的分析提出问题在正弦交流电路中，电压与电流的关系以及功率情况如何？多参数电路的分析方法有哪些？你是否掌握了相量分析法？功率因数的高低对电路有何影响？实际工程中应怎样提高电路的功率因数？核心提示：用相量法将同频正弦量转化为复数，结合元件约束与KCL、KVL的相量形式，简化电压电流的大小与相位关系计算。2.2.1单一参数的正弦交流电路1.电阻元件（1）电阻元件上的电压、电流关系iR

u电流、电压的瞬时值表达式相量图u、i

即时对应！u、i

同相！u、i最大值或有效值之间符合欧姆定律的数量关系。相量关系式UI（2）电阻元件上的功率关系1)瞬时功率p瞬时功率用小写！则结论：1.p随时间变化；2.p≥0；耗能元件。uip=UI-UIcos2tUI－UIcos2tωtuip0由:可得瞬时功率在一个周期内的平均值:P=UI求“220V、100W”和“220V、40W”两灯泡的电阻。平均功率用大写！可见，额定电压相同时，瓦数越大的灯泡，其灯丝电阻越小。而电压一定时，瓦数越大向电源吸取的功率越多，视其为大负载。学习时一定要区别大电阻和大负载这两个概念。2)平均功率P(有功功率)把ui数量关系代入上式：例解第2章正弦交流电路3.电感元件（1）电感元件上的电压、电流关系i

uL电流、电压的瞬时值表达式导出u、i的有效值关系式：u、i

动态关系！u在相位上超前i90°电角！上式称为电感元件上的欧姆定律表达式。Lu、i

最大值的数量关系为：IU相量图为：电感元件上的电压、电流相量关系式为：式中XL称为电感元件的电抗，简称感抗。感抗反映了电感元件对正弦交流电流的阻碍作用。单位也是[Ω]。感抗与哪些因素有关？直流情况下感抗为多大？感抗与频率成正比，与电感量L成正比。直流情况下频率f等于零，因此感抗等于零，电感元件相当于短路。（2）电感元件的功率

1）瞬时功率p则uip=ULIsin2tωtui

关联,建立磁场;吸收电能;p>0ui

非关联,释放磁能;供出能量p<0ui

关联,建立磁场;吸收电能；p>0ui

非关联,释放磁能;供出能量；p<0p为正弦波，频率为ui的2倍；在一个周期内，L吸收的电能等于它释放的磁场能。第2章正弦交流电路问题与讨论2.能从字面上把无功功率理解为无用之功吗？f变化时XL随之变化，导致电流i变化。

不能！感性设备如果没有无功功率，则无法建立磁场及正常工作！无功功率意味着只交换不消耗。为和有功功率相区别，无功功率的单位定义为乏尔[Var]。

2）平均功率P电感元件不耗能！电感元件虽然不耗能，但它与电源之间的能量交换始终在进行，这种电能和磁场能之间交换的规模可用无功功率来衡量。即：1.电源电压不变，当电路的频率变化时，通过电感元件的电流发生变化吗？

3）无功功率Q第2章正弦交流电路电路理论中的电容元件是实际电容器的理想化模型。如下图所示。两块平行的金属极板就可构成一个电容器。

C在外电源作用下，电容器两极板分别存贮等量的异性电荷形成电场。+－US+q-qE电容器的储能本领用电容量C表示：式中电荷量q的单位是库仑[C]；电压u的单位是伏[V]；电容量C的单位为法拉[F]。实用中还有较小的单位，它们之间的换算关系如下：3.电容元件能够容纳和存储电荷的器件1F=106μF=109nF=1012pF第2章正弦交流电路设UIC

i超前u90°电角！（1）电容元件上的电压、电流关系则ui相量表达式

C

u

iC其中

称为电容元件的电抗，简称容抗。容抗反映了电容元件对正弦交流电流的阻碍作用。相量图

i和u

有效值符合欧姆定律！（2）电容元件的功率1)瞬时功率p瞬时功率iup=UICsin2tωtui

关联,电容充电;建立电场;p>0ui

非关联,电容放电;释放能量;p<0ui

关联,电容充电;建立电场;p>0ui

非关联,电容放电;释放电能;p<0

电容器的基本工作方式是充放电。在一个周期内C充电吸收的电能等于它放电时释放的电能。电容元件不耗能！容抗与频率成反比，与电容量成反比。

直流情况下频率f等于零，因此容抗等于无穷大，即直流下电容器相当于开路。[Var]

2）平均功率P电容元件不耗能！电容元件和电源之间的能量交换规模也是用无功功率衡量的。即：

3）元功功率Q问题与讨论1.直流情况下，电容器的容抗多大？2.容抗与哪些因素有关？小实践：测单一元件的电压电流特性设备：信号发生器、双踪示波器、万用表、1kΩ电阻、10mH电感、1μF电容。操作：1.分别将电阻、电感、电容接输出正弦波的信号发生器；2.用示波器看电压、电流的相位关系（电阻同相，电感电压超前，电容电流超前）；3.改变信号发生器频率如50Hz→1kHz，用万用表测电流：看电感电流变小（阻碍变大），电容电流变大（阻碍变小）。目的：验证电阻、电感、电容的电路特性，理解频率对电感、电容的影响。想练练1.电阻元件在交流电路中电压与电流的相位差是多少？判断下列表达式的正误。2.纯电感元件在交流电路中电压与电流的相位差是多少？感抗与频率有何关系？判断下列表达式的正误。3.纯电容元件在交流电路中电压与电流的相位差是多少？容抗与频率有何关系？判断下列表达式的正误。要点对简单正弦稳态电路的分析，主要用相量图求解。对于复杂正弦稳态电路的分析，则主要用相量法求解，同时相量图作为辅助分析工具。2.4多参数组合的正弦交流电路对正弦稳态电路分析时，只需将正弦电压和电流换成对应的电压和电流相量，将电路中的阻抗换成相应的复阻抗。对某一相量或复阻抗，题目已知条件可能只是模值、幅角，实部或虚部，求解时要视具体情况进行分析。1.串联正弦交流电路的相量分析法uRiuLuRLC串电路模型uCURIULURLC串相量模型UC相量模型中各元件均用复阻抗表示。只有实部没有虚部！只有正值虚部没有实部！只有负值虚部没有实部！律定姆欧的式形量相读阅解正弦交流电路中，正弦量用复数形式的相量表示、阻抗用复数形式的复阻抗表示后，直流电路的定理、定律以及分析法全部适用于正弦交流电路的分析与计算，这样的分析计算形式称作相量分析法。复阻抗是复数形式电阻、电抗的统称。正弦电路中几个阻抗相串联时，串联电路总的复阻抗与各复阻抗之间的关系仍是和的关系；几个阻抗相并联时，并联电路总的复阻抗与各复阻抗之间的关系仍是倒数和的倒数关系。所不同的是，直流电路是实数运算，正弦电路是复数运算。相量分析法中，公式中所有各量均为复数形式！阻抗三角形是直角三角形，其斜边对应正弦交流电路中的阻抗z，也是复阻抗的模值；两个直角边描述了R和X在复平面的位置；电阻、电抗和阻抗三者之间的数量关系符合勾股玄定理。阻抗三角形仅表征了串联各参数之间的数量关系阻抗三角形RLC串联电路电压三角形是相量图，其斜边对应正弦交流电路中的路端电压u，也是总电压相量的模值；它不仅定性反映了各电压间的数量关系，还反映了各电压之间的相位关系。电压三角形反映了各电压的数量关系和相位关系电压三角形RLC串的电压三角形有关电路性质的讨论由可知，电路的性质取决于电抗UX。当时，UX>0，电路呈感性，u超前i一个φ角；时，UX<0，电路呈容性，u滞后i一个φ角；时，UX=0，电路呈阻性，u和i同相，φ=0。IULURUCUUX=UL+UCIULURUCUUX=UL+UCUX=0IULURUCU串路举1.已得RL串联电路中UR＝80V，UL＝60V，问电路中路端电压的有效值U＝？2.某RL串联电路中，测得工频端电压的有效值U＝220V，电流有效值I＝11A，有功功率P＝1936W，求电路参数R、L。解画出电压相量三角形：解根据P＝I2R可得电路阻抗相量模型图中，R=15Ω，L=12mH，C=40μF，解例3电路复阻抗已知端电压u=28.3sin(2500t)V，求：i、uR、uL和uC。URIULURLC串联电路UC根据正弦量与相量的对应关系2.多参数组合串联电路的功率观察功率三角形可看出：同相位的电压和电流构成了有功功率P；正交的电压和电流构成了无功功率Q，二者和视在功率S三者之间的数量关系满足勾股定理。即：功率三角形RLC串联电路的功率三角形由功率三角形还可看出：正交关系的电压和电流构成的是无功功率Q，且规定电感元件的无功功率QL为正值；电容元件的无功功率QC为负值。功率三角形中的P称为平均功率，即有功功率，数值上等于瞬时功率在一个周期内的平均值：视在功率是电路中有功功率和无功功率的总和，是电路中的总功率，三者之间的数量关系为：三种功率都是电压、电流的乘积，为区别它们，定义有功功率P的单位为瓦特【W】；无功功率Q的单位为乏尔【var】；视在功率S的单位为伏安【VA]。小实践：RLC串联电路性质测试设备：信号发生器、双踪示波器、1kΩ电阻、10mH电感、电容C可调。操作：1.连接RLC串联电路，信号发生器输出50Hz正弦电；2.用示波器观察电压、电流的相位差：改变电容值，看相位差变化；3.找到“谐振点”：当电压、电流同相时，记录此时的电容值形。目的：判断RLC电路的感性、容性、阻性，理解谐振的特点。功率因数cosφ是电力技术经济中的一个重要指标。实际应用中，若线路中cosφ过低，除造成电源设备总容量不能得到充分利用外，在功率一定、电压一定的情况下，输电线路上的电流I=P/(Ucosφ)越大，使供电线路上的功率损耗增大。3功率因数cosφ数值上等于有功功率P和视在功率S的比值，反映了系统吸收电能实际做功所占供电总容量的多少，称为功率因数。显然：提高功率因数对国民经济发展具有重要意义！由P=UIcosφ还可看出，输电线的电压和功率一定时，提高功率因数，可减少输电线上的功率损失。功率因数为0.5时，工厂所需总容量S=6/0.5=12MVA，主变可向36/12=3个工厂供电；功率因数提高为1时，工厂所需总容量S=P=6MVA，该主变可向36/6=6个这样的工厂供电。可见提高功率因数可以提高供配电设备的利用率。提高功率因数的意义设备总功率P=6MW。若工厂的功率因数是0.5，该主变能够向几个这样的工厂供电？如果工厂的功率因数提高为1，该主变又能给几个这样的工厂供电？分析已知变电站主变容量为36MVA，如果某工厂1.避免感性设备的空载和减少其轻载；2.在感性线路两端并联适当的电容。提高功率因数的方法一台功率为1.1kW的感应电动机，接在220V、50Hz的电路中，电动机所需电流为10A，求：(1)电动机的功率因数；(2)若在电动机两端并联一个79.5μF的电容器，电路的功率因数又为多少？（1）（2）设未并联电容前电路中的电流为I1；并联电容后，电动机中的电流不变，仍为I1，但电路中的总电流发生了变化，由I1变成I。电流相量关系为：画电路相量图分析：解例UIICI1IC可见，电路并联了电容C后，功率因数由原来的0.5增加到0.845，电源利用率得到了提高。UIICI1IC可见，电路并联了电容C后，功率因数由原来的0.5提高到了0.845，电源利用率得以提高。小实践：日光灯电路功率因数的改善设备：日光灯组件（灯管、镇流器）、电容（1μF/2μF）、

万用表。操作：1.接好日光灯电路，测电源电压（220V）和电路电流；2.在日光灯两端并联电容，再测电流；3.对比：并联电容后电流变小，说明电源利用率提高。目的：直观感受功率因数改善的效果，理解并联电容的作

用。检验学习