电路分析基础 9

目录jibenggainianhehuanludinglv基本概念和换路定律Yijiedianludezhantaifenxi一阶电路的暂态分析Yijiedianludejieyuexiangying一阶电路的阶跃响应Erjiedianludelingshuruxiangying二阶电路的零输入响应第8章

电路的暂态分析12/3/2025本章导论生活中，我们常会遇到这样的电路现象：打开日光灯开关，灯管不是瞬间亮起，而是要经历“预热-起跳”的短暂过程；给手机充电时，充电器内的电容电压不会立刻达到额定值，而是逐渐上升。这些“非瞬间稳定”的过程，就是电路的暂态过程。显著变化，为工程应用提供基础。在电力系统和电子设备中，暂态过程至关重要：比如电网突然合闸时的冲击电流可能损坏变压器，电子电路中暂态电压的突变可能干扰信号传输。本章将聚焦电路暂态分析，揭示换路后电压、电流的变化规律，掌握一阶电路的核心分析方法，并了解二阶电路的振荡特性，为解决实际电路的稳定与保护问题奠定基础。12/3/2025学习要点理解和明确：理解暂态与稳态的区别，明确“换路”的含义，掌握零输入响应、零状态响应、全响应的概念。掌握换路定律：iL(0+)=iL(0-)，uC(0+)=uC(0-)，掌握电路响应初始值的求解步骤。掌握一阶电路：RC、RL一阶电路的零输入、零状态、全响应规律，运用三要素法计算任意一阶电路响应。理解单位阶跃函数：的定义与应用，掌握一阶电路阶跃响应的求解方法。了解：二阶RLC电路零输入响应的四种状态：过阻尼、欠阻尼、临界阻尼、等幅振荡及判定条件。8.1

基本概念和换路定律8.1.1基本概念1.状态变量：代表物体所处状态的可变化量称为状态变量。如通过电感元件的电流iL及电容元件的极间电压uC。2.换路：由于电路的接通、断开或电路的结构及参数发生变化等，引起电路工作状态的变化，统称为换路。3.暂态：换路时，必定引起电感、电容元件的能量WL和WC发生变化，但这种变化持续的时间非常短暂，因此称为

“暂态”。4.稳态：换路后，动态元件中的储能不再发生变化，称为稳态。5.过渡过程：动态元件的能量发生变化、即从一种稳定状态过渡到另一稳定状态时需要时间，期间经历的物理过程称为过渡过程。6.过渡过程响应：过渡过程响应分有零输入响应、零状态响应和全响应，求各种响应就是求过渡过程中各电压、电流的变化规律。12/3/20258.1.2换路定律换路定律由于能量不能发生跃变，与能量有关的状态变量iL和uC，在电路发生换路后的一瞬间，其数值必定等于换路前一瞬间的原有值不变。即：换路发生在t=0时刻，(0-)为换路前一瞬间，该时刻电路还未换路；(0+)为换路后一瞬间，此时刻电路已经换路。(0-)时刻、(0+)时刻和0时刻的时间间隔趋近零但不等于零。12/3/2025储能元件的能量发生变化时，必然在电路中引起过渡过程过渡过程产生的原因电阻元件的电压、电流任一瞬间均遵循欧姆定律。因此，单一电阻元件的电路不存在过渡过程。t0iL(t=0)US_＋SLiLR电感电路电感元件是储能元件，它储存的磁能：能量不能发生跃变！t0uC电容电路电容元件是储能元件，它储存的电能：能量不能发生跃变！(t=0)US_＋SCucR_＋iC12/3/2025过渡过程响应的初始值过渡过程如果发生在t=0时刻，响应对应于t=0+时刻的数值称为响应的初始值，用f(0+)表示。由换路定律得iL(0+)或uC(0+)，画出t=0+时刻的等效电路，应用电路基本定律确定其它待求量的初始值。根据换路前一瞬间t=0-电路，应用所学电路基本定律确定状态变量iL(0-)或uC(0-)。初始值求解要点注意t=0+时刻等效电路中状态变量初始值的处理方法12/3/2025初求解1.已知iL(0

)=0，uC(0

)=0，试求S

闭合瞬间，电路中所标示的各电压、电流的初始值。(t=0)_＋S0.1Hu2u120Ω10Ω1μF20ViC_＋_＋iiLuL_＋uC_＋根据换路定律可得：画出t=0+时等效电路iL(0+)=iL(0–)=0uC(0+)=uC(0–)=0解_＋S0.1Hu2(0+)u1(0+)20Ω10Ω1μF20ViC(0+)_＋_＋iuL(0+)_＋求得：L相当于开路C相当于短路12/3/2025初求解解2.换路前电路已达稳态，t=0时开关S打开，求iC(0+)。根据换路前电路求uC(0+）R1＋40k10kSiCuC－i＋－10VR2画出t=0+等效电路图如下：根据t=0+等效电路求得iC(0+）：R140k10kSic(0+）＋－10VR2＋－8V12/3/2025初求解解3.换路前电路已达稳态，t=0时S闭合，求uL(0+)。R1＋1ΩSiLuL－＋－10VR24Ω根据换路前电路求iL(0+）画出t=0+等效电路图如下：由t=0+等效电路求uL(0+)：uL(0+)为负值，说明其真实方向与图上标示的参考方向相反，即与iL(0+)非关联，实际向外供出能量。R1＋1ΩSuL－＋－10VR24ΩiL(0+）＋－则：12/3/2025初求解1.由换路前电路（稳定状态）求uC(0-)和iL(0-)；2.由换路定律得uC(0+)和iL(0+)；3.画出t=0+的等效电路图，在等效电路图中：iL(0+)=0时开路；iL(0+)≠0时用恒流源代替；恒流源数值等于iL(0+)，方向与原电路假定的电感电流的参考方向保持一致。4.由t=0+的等效电路图求出其它响应的初始值。uC(0+)=0时用短接线代替；uC(0+)≠0时用恒压源代替，恒压源数值等于uC(0+)、方向与原电路假定的电容电压参考方向保持一致；12/3/2025习题练1.电路如图示，t=0时S闭合。求开关S闭合后电容端电压及各支路电流的初始值。设换路前电路已达稳态。R1＋5kΩSi2uC－＋－10VR21kΩ0.1μFiC(t=0)i12.电路如图示，设换路前电路已达稳态，t=0时开关S闭合。求开关闭合后各电压及各支路电流的初始值。＋2ΩSiLuL－＋－10Vik(t=0)i13Ω0.1H＋uR1－＋uR2－12/3/20258.2

一阶电路的暂态分析8.2.1一阶电路的零输入响应1.RC电路的零输入响应仅含一个动态元件C或L的电路称为一阶电路，其暂态响应均按指数规律变化，核心参数是时间常数τ。零输入响应指换路前动态元件有储能，换路后无外激励，响应由储能释放产生。R＋1SiC(0+)uC(0+）－t=0＋－USC2图示电路在开关动作之前，电容储有能量且达稳态。t=0时开关由位置1迅速投向位置2，使电路换路。换路后，由电容元件的原始能量uC(0+)引起的过渡过程响应有uC(t)、

uR(t)和iC(t)，即该电路的零输入响应。求解响应的过程，实际上就是寻求一阶电路响应的规律12/3/2025根据RC零输入响应电路，根据KVL列写电路方程：此方程是一阶常系数线性齐次微分方程，对其求解可得：式中τ=RC称为一阶电路的时间常数。令电路中的US不变，取几组不同数值的R和C，可发现：RC值越小，过渡过程进行得越快；RC值越大，过渡过程进行得越慢。R＋1SiC(0+)uC(0+）－t=0＋－USC2即：一阶电路过渡过程进行的快慢程度取决于时间常数τRC电路的零输入响应工程实际一般认为：经历了3~5τ的时间过渡过程基本结束12/3/2025上式中，R单位[Ω]，C单位[F]，时间常数τ的单位是秒[s]。如果上式中的时间t分别取1τ、2τ直至5τ，可得如下表所示的响应uc(t)在各个时刻的数值：1τ

2τ3τ4τ5τe-10.368USe-20.135USe-30.050USe-40.018USe-50.007US由表可知，经历一个τ的时间，uC衰减到初始值的36.8%；经历两个τ的时间，uC衰减到初始值的13.5%；经历3~5τ时间后，uC的数值已经微不足道。对时间常数τ的讨论12/3/20251.时间常数τ是用来表征一阶电路过渡过程进行的快慢程度的物理量。2.时间常数τ仅由电路参数决定，RC一阶电路中，τ＝RC；RL一阶电路中，τ＝L/R。τ的大小反映了电路的特性，与换路情况和外加电压无关。3.时间常数τ是已经完成了过渡过程63.2%所经过的时间。在工程计算中，一般认为经历了3～5τ时间，过渡过程基本结束。4.时间常数τ中电阻的求解：从动态元件两端看进去：换路后无源二端网络（若含有独立源时，所有的独立源置零：恒压源短路处理，恒流源开路处理）的等效电阻。读阅解12/3/2025uCiC零输入响应电路实际上是RC放电电路，因此电容上的电压和电流方向非关联。电阻端电压与电流成正比，三者都是按指数规律衰减。RC一阶电路零输入响应规律tiCuCUSiC(0+)0τ0.368USuC(0+)uR12/3/2025图示电路在换路前已达稳态。t=0时开关闭合。R＋SISuL－t=0＋－uRLiL

对电路列KVL方程：

以iL为待求响应，可得上式的解：RL一阶电路的零输入响应开关闭合将电流源短路，暂态过程在R和L构成的回路中进行。可见，RL一阶电路的时间常数τ=L/R。uRiLtiLuLuL(0+)0τ0.368f(0+)f(0+)uL12/3/2025响应1.一阶电路的零输入响应都是随时间按指数规律衰减到零的，这实际上反映了在没有外激励(电源)的作用下，储能元件的原始能量逐渐被电阻消耗掉的物理过程。2.零输入响应取决于电路的原始能量和电路的特性，对于一阶电路来说，电路的特性是通过时间常数τ来体现的。3.原始能量增大A倍，则零输入响应将相应增大A倍，这种原始能量与零输入响应的线性关系称为零输入线性，是线性电路激励与响应线性关系的必然反映。12/3/2025响应1.图示电路中，开关S在t=0由位置1迅速打向位置2，求t≥0时

的各支路电流。设换路前电路已达稳态。解根据t=0－电路可得画出t=0＋时等效电路：1210Ω10Ω20Ω1H10VS10Ω10Ω20Ω求时间常数τ：代入响应求得结果：12/3/2025响应解根据换路前的电路求电流响应的初始值2.图示电路中，开关S在t=0断开，求t≥0时流过1Ω电阻的电流。

设换路前电路已达稳态。画出t=0＋时等效电路：t＝0＋等效电路1Ω2V时间常数：求得待求响应：4Ω1Ω1F10VS12/3/2025参考答案：1.图示电路中，开关S在t=0闭合，求t≥0时的电流i(t)。设

换路前电路已达稳态。10VS6Ω2Ω2F2Ω习题练12/3/2025习题练2.图示电路中，开关S在t=0由位置1打向位置2，求t≥0时的

电流iL(t)和uL(t)。设换路前电路已达稳态。参考答案：10VS1Ω4Ω211H4Ω12/3/2025换路时，动态元件的初始能量为零，仅在外输入激励作用下引起的电路响应，称为零状态响应。R＋SiCuC－t=0＋－USC图示电路换路前uC=0且达稳态。t=0时开关S闭合。由图可看出，RC一阶零状态电路实际上是电容C的充电电路。求解RC电路的零状态响应，就是寻求电容充电电路中各电压、电流的变化规律。8.2.2

一阶电路的零状态响应RC电路的零状态响应无论一阶电路形式如何，RC电路的时间常数τ=RC12/3/2025状态变量uC不能跃变，只能从0逐渐但过渡到稳态值，其稳态值uCiCiC(0+)tiCuCUS00.632USτRC零状态电路中，电容元件的极间电压与电流方向关联，电容元件吸取电能建立电场。RC零状态电路的充电电流iC在换路开始时达到最大值，之后按指数规律衰减，即：8.2.2

一阶电路的零状态响应R＋SiCuC－t=0＋－USC显然，RC零状态电路中各响应也均按指数规律变化12/3/2025当RC零状态电路的过渡过程结束时，电容的极间电压重新达到稳态值，即：电容极间电压的零状态响应公式：电容电流的零状态响应：RC零状态电路中的计算公式R＋SiCuC－t=0＋－USC电阻电压的零状态响应：12/3/2025RL零状态电路换路前电感元件的原始能量为零且达稳态，t=0时开关S闭合。R＋SiLuL－t=0＋－USL＋uR－RL电路的零状态响应中状态变量iL不能跃变，只能按指数规律逐渐上升为稳态值；L的感应电压uL换路始最大，过渡过程中按指数规律衰减；电阻电压uR=iR按指数规律增长，响应曲线：显然，在RL零状态响应电路中，电感元件是建立磁场的过程，因此其电压、电流方向关联。RL一阶电路的零状态响应12/3/2025RL零状态响应电路过渡过程结束时电感电流达到稳态值：

因此电感电流的零状态响应为：电感元件自感电压的零状态响应：RL零状态电路中的计算公式R＋SiLuL－t=0＋－USL＋uR－为什么电容电流和电感电压在过渡过程中只有瞬态？12/3/20251.图示电路中，开关S在t＝0时闭合，求t≥0时电感L两端

的电压响应及通过L的电流响应。解求零状态响应电路的iL(∞)画出求时间常数的等效电路

6Ω＋SiLuL－（t=0）＋－9V2H

3Ω

6Ω2H

3Ω可得iL(t)求uL(t)响应12/3/2025解求电容电压稳态值画出求时间常数的等效电路2.图示电路中，开关S在t＝0时闭合，求t≥0时电容C两端

的电压响应。设换路前C的原始能量为零。

6kΩ＋SuC－（t=0）＋－9V50μF

3kΩ则容电压：响应12/3/20251.一阶电路的零状态响应也是随时间按指数规律变化。其中电容电流和电感电压均随时间按指数规律衰减，因为它们只存在于过渡过程中；而电容电压和电感电流则按指数规律增长，这实质上反映了动态元件吸收电能建立磁场或电场的物理过程；3.零状态响应取决于电路的独立源和电路本身特性，也是通过时间常数τ来体现其特性的。2.在零状态响应公式中的(∞)符号，代表换路后新的稳态值，根据电路的不同情况一般稳态值也各不相同。响应12/3/2025参考答案：1.图示电路中，开关S在t＝0时闭合，求t≥0时电容C两端的电压响应。设换路前C的原始能量为零。

10Ω＋uC－＋－12V10μF

5Ω

10ΩS（t=0）2.图示电路中，开关S在t＝0时闭合，求t≥0时电感L中的电流响应。

3kΩSiL（t=0）＋－36V12mH

6kΩ10kΩ习题练12/3/2025电路中既有外输入激励，动态元件上又存在原始能量，当电路发生换路时，在外激励和原始能量的共同作用下所引起的电路响应称为全响应。典型RC一阶全响应电路R2＋SiLuL－(t=0)＋－USLR1根据线性电路的叠加性可知，电路中动态元件有原始能量可引起零输入响应；电路中的独立源可引起零状态响应，因此：全响应=零输入响应＋零状态响应＋—US2＋—US1R1(t=0)R2SC＋—UC8.2.3一阶电路的全响应典型RL一阶全响应电路12/3/2025例解图示电路在换路前已达稳态，且UC(0-)=12V，试求t≥0时的uC(t)和iC(t)。根据换路定律：电路的时间常数τ零输入响应uC(t)'：以电容电压为例，令其零输入响应为uC(t)′；零状态响应为uC(t)″，则全响应：8.2.3一阶电路的全响应＋iCuC－＋－（t=0）2kΩ1mF1kΩ9VS12/3/2025其中，f(∞)为响应的稳态值。根据线性电路的叠加性：电容电流的全响应iC(t)：零状态响应uC(t)"：式中常数6为稳态分量，6后面按指数规律变化的是暂态分量，因此：全响应=稳态分量+暂态分量＋iCuC－＋－（t=0）2kΩ1mF1kΩ9VS12/3/2025全响应uC(t)：电容电流的全响应iC(t)：电容电压的稳态值：零状态响应uC(t)"：＋iCuC－＋－（t=0）2kΩ1mF1kΩ9VS非状态变量响应的求解一般应根据动态关系进行12/3/2025对形式千差万别，需求响应各不相同的一阶电路来讲，仅以uc(t)

和iL(t)为主要分析对象求解电路响应的方法适用面太窄，寻求一种更加简便地、能直接计算一阶电路任意响应的方法十分必要。一阶电路响应的初始值f(0+)、响应的稳态值f(∞)和时间常数τ是一阶电路响应的三要素。只要求出一阶电路的三要素，直接代入响应的求解公式中进行求解的方法，称为一阶电路暂态分析的三要素法。表达式：★8.2.4一阶电路暂态分析的三要素法三要素公式适用于恒定激励下一阶电路任意响应的求解必要性12/3/20251.已知U1=3V，U2=6V，R1=1k

，R2=2k

，C=3F

，t<0时电路已处于稳态。用三要素法求t≥0时的uC(t)，并画出响应的规律曲线。R1＋SiCuC－（t=0）＋－U1CR2＋－U2先确定初始值uC(0+)：再确定稳态值uC(

)：确定时间常数τ：法举解三12/3/2025将求得的三要素代入公式可得：电容电压的变化曲线为：uC/V00.632uC(t)τ2V4V2τ3τ4τ5τ法举uC(t)画响应变化曲线的关键是确定响应的初始值和稳态值三12/3/20251.确定初始值f(0+)应用三要素法求解一阶电路响应的具体步骤初始值f(0+)是指任一响应在换路后瞬间t=0+时的数值。先作t=0-电路。确定换路前电路的状态变量uC(0-)或iL(0-),它们均为t＜0阶段的稳定状态，稳态下电容C视为开路，电感L用短接线代替。再作t=0+等效电路。利用此电路可确定非状态变量的初始值。在t=0+等效电路中：若uC(0+)=U0，用电压源U0代替；iL(0+)=I0，用电流源I0代替；若uC(0+)=0用短路线代替，

iL(0+)=0，则开路处理。

作出t=0+等效电路后，即可按一般电阻性电路求解非状态变量响应的初始值。12/3/2025

作t=∞的等效电路，暂态过程结束后，电路进入新的稳态，用此时的电路确定响应的稳态值f(∞)。在此电路中，电容C视为开路，电感L视为短路，可按一般电阻性电路来求各响应的稳态值。3.确定时间常数τ

RC电路中，τ=RC；RL电路中，τ=L/R；其中R的正确求解是关键：将电路中所有独立源置零，从C或L两端看进去的无源二端网络的等效电阻即为R(相当于戴维南等效电路的R0)。2.确定稳态值f(∞)应用三要素法求解一阶电路响应的具体步骤12/3/2025参考答案1.图示电路中，开关S在t＝0时由位置1打向位置2，求t≥0时的i和iL。设换路前电路已达稳态。2.图示电路中，开关S在t＝0时闭合，求t≥0时电容C两端电压响应。

6Ω＋－9V2S（t=0）2.5H＋－9V

3Ω1

3ΩiLi＋uC－10A

4Ω10V

＋－2μF

6ΩS（t=0）

4Ω习题练实验：一阶电路响应测试实验电路：方波信号源频率f=1kHz，峰峰值Upp=5V→RC串联参数：R=1kΩ，C=0.1μF、0.47μF、1μF→示波器测电容电压uC。数据记录：对比实测τ（从波形读t=0.632Upp时刻）与理论值相比对。实验步骤：1.分别接入不同C，计算时间常数τ=RC。如C=0.1μF时τ=0.1ms，方波周期T=1ms。2.观察τ<<T/2（快速充电放电，波形接近方波）、τ≈T/2（缓慢充放电，波形为三角波）、τ>>T/2（充放电不充分，波形平缓）三种情况，记uC波形。实验：一阶电路三种响应测试实验电路：10V直流电源→RC串联：R=10kΩ，C=1μF→单刀双掷开关→示波器。分析：验证三种响应的叠加关系，计算τ并与理论值相比对。实验步骤：1.零输入响应：先将开关接电源（C充电至10V），再切换至空端（C放电），观察uC衰减波形。2.零状态响应：开关接空端（C放电至0），再切换至电源（C充电），观察uC上升波形。3.全响应：开关接电源（C充电至5V），再切换至10V电源，观察uC从5V上升至10V的波形。12/3/2025ε(t)的波形如右图示，它在(0-，0+)时域内发生了单位阶跃。单位阶跃函数用ε(t)表示，其定义如下：

阶跃函数可简化“开关动作”的描述，阶跃响应是零状态响应的特殊形式。ε(t)=0t≤0-1t≥0+

ε(t)

01t8.3

一阶电路的阶跃响应8.3.1单位阶跃响应注意：ε(t)在t=0处不连续，函数值由0跃变到1。12/3/2025单位阶跃函数可用来表示1V的电压源或者是1A的电流源，在t＝0时与一个零状态电路接通的开关动作。如图所示：＋－1VS（t=0）零状态电路＋－ε(t)零状态电路1AS（t=0）零状态电路ε(t)零状态电路ε(t)=0t≤0-1t≥0+8.3.1单位阶跃函数12/3/2025ε(t-t0)的波形如右图示：如果阶跃发生在t=t0时刻，则可认为是ε(t)在时间上延迟了t0后得到的结果，此时的阶跃称为延时单位阶跃，记作：ε(t-t0)=0t≤t01t≥t0

ε(t-t0)

01tt0延迟单位阶跃函数注意：ε(t-t0)在t0处不连续，函数值由0跃变到1。12/3/2025f(t)'

01tt1t2

ε(t)

01t－ε(t-t0)

0－1tt0即：f(t)=ε(t)-ε(t-t0)

ε(t-t1)

01tt1

－ε(t-t2)

0－1tt2即：f(t)'=ε(t-t1)－ε(t-t2)f(t)

01tt0根据叠加定理，分解阶跃函数即：任意一个阶跃函数均可由不同的单位阶跃叠加而成12/3/2025已知u=5·1(t-2)V，uC(0+)=10V，求电路的阶跃响应i。当激励为单位阶跃函数ε(t)时，电路的零状态响应称为单位阶跃响应，简称阶跃响应，一般用S(t)表示。解例＋－uR=2Ω1FuC(0+)_＋i零状态响应分两部分，先求uC(0+)单独作用下的初始值：再求u单独作用下的初始值：时间常数τ：应用叠加定理求得响应：8.3.2单位阶跃响应12/3/20251.你能正确区分单位阶跃函数1(t－t0)、1(t＋t0)、1(t0-t)、-1(t-t0)、-1（t0-t)的波形并画出它们吗？解t应举诸如此类的单位阶跃或阶跃函数应在理解的基础上掌握12/3/20251.单位阶跃函数是如何定义的？其实质是什么？它在电路分析中有什么作用？2.说说1(-t)、1(t+2)和1(t-2)各对应时间轴上的哪一点？3.试用阶跃函数分别表示下图所示的电流和电压。i/A

02t/s23114u/V

02t/s23114应练12/3/20251.画出单位阶跃函数1(t＋t0)和1(t0-t)的波形。1(t0-t)是否等于－1(t－t0)？3.左图示延时脉冲作用于右图示电路，已知iL(0+)=0，求电路响应i(t)。2.试用阶跃函数表示图示波形。f(t)

02t/s23114

－23－15u(t)

0t2311习题练12/3/2025前面讨论的一阶电路中只含一个动态元件，而含有两个储能元件的电路，往往需用二阶线性常微分方程来描述，因此称为二阶电路。R＋SuC－（t=0）＋－uRC＋i0uL－LU0图示RLC串联的零输入响应电路中已知uC(0+)=uC(0-)=U0，电流i(0+)=i(0-)=I0，电路在t=0时开关闭合，其过渡过程可描述为：因为此式是一个以uC为变量的二阶线性齐次微分方程式，其特征方程为：

LCS2+RCS+1=08.4

二阶电路的零输入响应1