2025-2026学年上海市嘉定区七校联考九年级（上）期中数学试卷（含解析）

2025-2026学年上海市嘉定区七校联考九年级（上）期中数学试卷一、选择题（共6题，每题4分，满分24分）.1．（4分）已知，那么下列等式中，不一定正确的是A． B． C． D．2．（4分）在以为坐标原点的直角坐标平面内，有一点，射线与轴正半轴的夹角为，那么的值为A． B． C． D．3．（4分）如图，、分别是△的边、上的点，下列各比例式不一定能推得的是A． B． C． D．4．（4分）下列两个三角形不一定相似的是A．有一个内角是的两个等腰三角形 B．腰与底的比都是的两个等腰三角形 C．两边对应成比例的两个直角三角形 D．一个内角为的两个直角三角形5．（4分）飞机离水平地面的高度为3千米，在飞机上测得该水平地面上的目标点的俯角为，那么此时飞机与目标点的距离为千米．A． B． C． D．6．（4分）如图，四边形中，对角线，交于点，若，则下列结论中正确的有①；②△与△的周长比为；③；④．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．（4分）已知：，那么．8．（4分）已知线段是线段、的比例中项，如果，，那么．9．（4分）如果两个相似三角形的面积比为，那么它们的周长比为．10．（4分）如果在比例尺为的地图上，、两地的图上距离是1.6厘米，那么、两地的实际距离是千米．11．（4分）已知向量是互不平行的非零向量，如果，那么向量与是否平行？答：．（填“是”或“不是”12．（4分）某小山坡的坡长为500米，山坡的高度为300米，那么该山坡的坡度．13．（4分）黄金分割是汉字结构最基本的规律．已知一条分割线的端点，分别在习字格的边，上，且，“晋”字的笔画“、”的位置在的黄金分割点处，且，若，则的长为（结果保留根号）．14．（4分）如图，的两条中线和相交于点，过点作交于点，那么．15．（4分）如图，直线，如果，，，那么线段的长是．16．（4分）如图，在中，，，，正方形的顶点、分别在、的边上，、在边上，则正方形的边长等于．17．（4分）已知是等边三角形，，点，，分别在边，，上，，同时平分和，则的长为．18．（4分）如图，在等腰直角△中，，，点为射线上一动点，以为腰且在的右侧作等腰直角△，，射线与射线交于点，联结．若，则的长为．三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19．（10分）计算：．20．（10分）如图，已知梯形中，，是上一点，，、相交于点，．（1）求的值；（2）联结，设，，那么，（用向量、表示）21．（10分）如图，在菱形中，，．（1）求对角线的长；（2）求的值．22．（12分）如图，在等腰△中，，点是边上的中点，过点作，交的延长线于点，过点作，交于点，交于点，交于点．求证：（1）；（2）．23．（10分）探究古代建筑，屋檐之上的数学密码——探究屋面结构与建筑高度的关系背景介绍在世界的历史长河中，中国的古建筑最具有视觉美感，历史源远流长、绵延不绝．大诗人李白的诗句：“危楼高百尺，手可摘星辰”，表述了他对建筑、数学以及宇宙星辰的认知．而中国古建筑屋顶是我国传统建筑造型艺术中非常重要的构成因素，不仅样式多，而且组成部分也很繁杂．中国屋顶多为坡屋面，从顶上屋脊或宝顶到下边的屋檐是一个向下弯曲的凹弧面，表达出顺应自然的谦卑，似与天空恰当而友善的对话．而弯曲屋面的出现，经历了漫长的过程．其中最具代表的就是两宋的建筑成就．建筑高度是建筑设计中的一个重要参数．学习小组的同学想要更全面具体地了解宋代建筑与数学的关系，来到了宋代建筑代表作——山西太原的晋祠圣母殿．想通过建模的方式探究屋面结构与建筑高度的关系．实践任务以晋祠圣母殿为例，通过建模的方式，探究屋面结构与建筑高度的关系．资料查阅1、晋祠圣母殿是常见的坡屋面式结构之一，在《建筑设计防火规范》年版）．0.1条中，建筑高度应为建筑室外设计地面至其檐口与屋脊的平均高度，即：建筑高度室外设计地面至檐口的高度檐口至屋脊的高度．如图2，建筑高度．2、如图1，根据晋祠圣母殿和《营造法式》中的几个典型的屋面剖面图的资料总结得出，从檐口到屋脊，坡屋面竖直高度半坡宽度．数据表达了古人的审美情趣，现代仿古建筑，如庑殿顶、歇山顶、硬山顶、悬山顶等建筑，均宜参照这个建筑密码营造．模型初建将晋祠圣母殿的屋面近似成平面结构，其剖面图可以简化成数学几何图形（简化为一层房檐）．如图3，△为等腰三角形，，假定米，米．模型优化屋面除了审美需求，也要便于房屋采光和排水．晋祠圣母殿的屋面正是中国古建筑中最具代表的凹曲屋面，使建筑物产生独特而强烈的视觉效果和艺术感染力．学习小组通过查阅资料可知，屋面可以近似看作圆心角为的圆弧．如图所示，弧和弧是半径为、圆心角为的圆弧，檐口到地面的距离为．问题解决任务1模型初建（1）根据“资料查阅”第一条，求出简易图中的建筑高度；任务2模型优化（2）根据“资料查阅”两条内容，直接写出屋脊与檐口的竖直高度和建筑高度（结果保留整数部分，．24．（12分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴、轴分别交于、两点，与反比例函数的图象相交于、两点，点的横坐标为3．轴，垂足为．（1）写出点、、的坐标，并求反比例函数的解析式；（2）是反比例函数图象上的一个动点且在点右侧，过点作轴，垂足为、是否存在这样的点，使得以点、、为顶点的三角形与△相似？如果存在，请求出所有满足条件的点坐标，如果不存在，请说明理由．（3）是反比例函数图象上的一个动点且在第三象限，如果，求点的坐标．25．（14分）已知：如图，在和中，，，，，（点、分别在直线的左右两侧），射线交边于点，点是的重心，射线交边于点，，．（1）求证：；（2）当点在边上时，求关于的函数关系式，并写出的取值范围；（3）如果是以为腰的等腰三角形，试求的长．

参考答案一．选择题（共6小题）题号123456答案BACCAC一、选择题（共6题，每题4分，满分24分）.1．（4分）已知，那么下列等式中，不一定正确的是A． B． C． D．解：、由比例的性质得到，故本选项不符合题意．、根据比例的性质得到是正整数），故本选项符合题意．、根据合比性质得到，故本选项不符合题意．、根据等比性质得到，故本选项不符合题意．故选：．2．（4分）在以为坐标原点的直角坐标平面内，有一点，射线与轴正半轴的夹角为，那么的值为A． B． C． D．解：过点作轴，垂足为，在△中，由题意得：，，，，，故选：．3．（4分）如图，、分别是△的边、上的点，下列各比例式不一定能推得的是A． B． C． D．解：，，故正确；，，故正确；，，故正确，故选：．4．（4分）下列两个三角形不一定相似的是A．有一个内角是的两个等腰三角形 B．腰与底的比都是的两个等腰三角形 C．两边对应成比例的两个直角三角形 D．一个内角为的两个直角三角形解：有一个内角是的等腰三角形，只能为顶角，底角均为，故两三角形角均相等，故项一定相似，不符合题意；腰与底的比都是的等腰三角形，三边比例相同，满足此条件的两个三角形三边对应成比例，故项一定相似，不符合题意；两边对应成比例的两个直角三角形，虽两边成比例，但夹角不一定相等（如三角形三边3，4，5和，两边4和5成比例，但夹角不相等），故项不一定相似，符合题意；一个内角为的两个直角三角形有两个角分别相等，故项一定相似，不符合题意；故选：．5．（4分）飞机离水平地面的高度为3千米，在飞机上测得该水平地面上的目标点的俯角为，那么此时飞机与目标点的距离为千米．A． B． C． D．解：如图，假设为飞机，依题意得：，，，在△中，，，飞机与目标的距离为千米，故选：．6．（4分）如图，四边形中，对角线，交于点，若，则下列结论中正确的有①；②△与△的周长比为；③；④．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个解：①，，△△，；故①正确；②△△，△与△的周长比；故②正确；③，，，，共圆，，如果，，但这两个角不一定相等，故③错误；④假设．，△和△共高，，△和△共高，，，故④正确．结论中正确的是①②④，故选：．二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．（4分）已知：，那么．解：，设，，．故答案为：．8．（4分）已知线段是线段、的比例中项，如果，，那么．解：线段是线段、的比例中项，，，，故答案为：．9．（4分）如果两个相似三角形的面积比为，那么它们的周长比为．解：两个相似三角形的面积比为，这两个相似三角形的相似比为，这两个相似三角形的周长比等于相似比，故答案为：．10．（4分）如果在比例尺为的地图上，、两地的图上距离是1.6厘米，那么、两地的实际距离是16千米．解：根据题意，厘米千米．即实际距离是16千米．故答案为：16．11．（4分）已知向量是互不平行的非零向量，如果，那么向量与是否平行？答：不平行．（填“是”或“不是”解：假设向量与平行，则，，，无解，向量与不平行．故答案为：不平行．12．（4分）某小山坡的坡长为500米，山坡的高度为300米，那么该山坡的坡度．解：设水平距离为米，根据勾股定理得：，，，，坡度为高度与水平距离的比值：，故答案为：．13．（4分）黄金分割是汉字结构最基本的规律．已知一条分割线的端点，分别在习字格的边，上，且，“晋”字的笔画“、”的位置在的黄金分割点处，且，若，则的长为（结果保留根号）．解：由题知，因为四边形是正方形，所以，又因为，所以，所以，则四边形是矩形．所以．因为，所以．因为点为线段的黄金分割点，且，所以，则．故答案为：．14．（4分）如图，的两条中线和相交于点，过点作交于点，那么．解：线段、是的中线，，，，，．故答案为：．15．（4分）如图，直线，如果，，，那么线段的长是3．解：延长，，相交于，，，，，，，．故答案为：3．16．（4分）如图，在中，，，，正方形的顶点、分别在、的边上，、在边上，则正方形的边长等于．解：，，，，四边形是正方形，，，，，即，同理，，设为，则为，为，，解得，，故答案为：．17．（4分）已知是等边三角形，，点，，分别在边，，上，，同时平分和，则的长为．解：如图，同时平分和，，，在与中，，，，，，是等边三角形，，，，，，，，设，，，，，，，，，，．故答案为：．18．（4分）如图，在等腰直角△中，，，点为射线上一动点，以为腰且在的右侧作等腰直角△，，射线与射线交于点，联结．若，则的长为．解：，分两种情况讨论：当点在线段上时，如图1，等腰直角△中，，，，，，设，在直角三角形中，由勾股定理得：，在△中，由勾股定理得：（不符合题意），点不在线段上；当点在线段的延长线上时，如图2，过点作于，设，，，，△和△是等腰直角三角形，，，△是等腰直角三角形，，，，，，，△△，，即，整理得：，解得：（负值舍去），经检验，是分式方程的解，且符合题意，．故答案为：．三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19．（10分）计算：．解：原式．20．（10分）如图，已知梯形中，，是上一点，，、相交于点，．（1）求的值；（2）联结，设，，那么，（用向量、表示）解：，，四边形为平行四边形，，，，，，，；（2）联结，如图，由（1）可得，，，，，，，，，，．故答案为：，．21．（10分）如图，在菱形中，，．（1）求对角线的长；（2）求的值．解：（1）连接交于点，如图1所示：四边形是菱形，，，，，，，，在△中，，设，，由勾股定理得：，，解得：，，，，，即对角线的长为4；（2）过点作于点，如图2所示：由（1）可知：，，由菱形的面积公式得：，，在△中，．22．（12分）如图，在等腰△中，，点是边上的中点，过点作，交的延长线于点，过点作，交于点，交于点，交于点．求证：（1）；（2）．【解答】证明：（1），，，，，△△，，；（2），点是边上的中点，，，，，，，，，△△，，，，即．23．（10分）探究古代建筑，屋檐之上的数学密码——探究屋面结构与建筑高度的关系背景介绍在世界的历史长河中，中国的古建筑最具有视觉美感，历史源远流长、绵延不绝．大诗人李白的诗句：“危楼高百尺，手可摘星辰”，表述了他对建筑、数学以及宇宙星辰的认知．而中国古建筑屋顶是我国传统建筑造型艺术中非常重要的构成因素，不仅样式多，而且组成部分也很繁杂．中国屋顶多为坡屋面，从顶上屋脊或宝顶到下边的屋檐是一个向下弯曲的凹弧面，表达出顺应自然的谦卑，似与天空恰当而友善的对话．而弯曲屋面的出现，经历了漫长的过程．其中最具代表的就是两宋的建筑成就．建筑高度是建筑设计中的一个重要参数．学习小组的同学想要更全面具体地了解宋代建筑与数学的关系，来到了宋代建筑代表作——山西太原的晋祠圣母殿．想通过建模的方式探究屋面结构与建筑高度的关系．实践任务以晋祠圣母殿为例，通过建模的方式，探究屋面结构与建筑高度的关系．资料查阅1、晋祠圣母殿是常见的坡屋面式结构之一，在《建筑设计防火规范》年版）．0.1条中，建筑高度应为建筑室外设计地面至其檐口与屋脊的平均高度，即：建筑高度室外设计地面至檐口的高度檐口至屋脊的高度．如图2，建筑高度．2、如图1，根据晋祠圣母殿和《营造法式》中的几个典型的屋面剖面图的资料总结得出，从檐口到屋脊，坡屋面竖直高度半坡宽度．数据表达了古人的审美情趣，现代仿古建筑，如庑殿顶、歇山顶、硬山顶、悬山顶等建筑，均宜参照这个建筑密码营造．模型初建将晋祠圣母殿的屋面近似成平面结构，其剖面图可以简化成数学几何图形（简化为一层房檐）．如图3，△为等腰三角形，，假定米，米．模型优化屋面除了审美需求，也要便于房屋采光和排水．晋祠圣母殿的屋面正是中国古建筑中最具代表的凹曲屋面，使建筑物产生独特而强烈的视觉效果和艺术感染力．学习小组通过查阅资料可知，屋面可以近似看作圆心角为的圆弧．如图所示，弧和弧是半径为、圆心角为的圆弧，檐口到地面的距离为．问题解决任务1模型初建（1）根据“资料查阅”第一条，求出简易图中的建筑高度；任务2模型优化（2）根据“资料查阅”两条内容，直接写出屋脊与檐口的竖直高度和建筑高度（结果保留整数部分，．解：（1）过作于，由知，，在△中，，，，由勾股定理得，，，解得：（负值舍去），（米，答：建筑高度为11米；（2）在上找到一点，使得，，，，△是等边三角形，，在△中，，，过作上的高，，，，，在△中，，，，，，由资料可得，檐口与屋脊的竖直高度：檐口与屋脊的水平宽度，，，建筑高度（米．根据“资料查阅”两条内容，直接写出屋脊与檐口的竖直高度为4米，建筑高度约为17米．24．（12分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴、轴分别交于、两点，与反比例函数的图象相交于、两点，点的横坐标为3．轴，垂足为．（1）写出点、、的坐标，并求反比例函数的解析式；（2）是反比例函数图象上的一个动点且在点右侧，过点作轴，垂足为、是否存在这样的点，使得以点、、为顶点的三角形与△相似？如果存在，请求出所有满足条件的点坐标，如果不存在，请说明理由．（3）是反比例函数图象上的一个动点且在第三象限