14.2 全等三角形中辅助线的添法（三大常考模型总结）（压轴题专项讲练）（学生版）-沪科版(2024)八上

专题14.2全等三角形中辅助线的添法（三大常考模型总结）【模型一：倍长中线模型】1．（23-24八年级上·江苏·期末）如图，在△ABC中．AD是BC边上的中线，交BC于点D（1）如下图，延长AD到点E，使DE=AD，连接BE．求证：（2）如下图，若∠BAC=90°，试探究AD与（3）如下图，若CE是边AB上的中线，且CE交AD于点O．请你猜想线段AO与OD之间的数量关系，并说明理由．

2．（23-24八年级上·广西北海·期末）八年级数学课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，△ABC中，若AB=9，AC=5，求BC边上的中线AD的取值范围．小红在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到点E（1）由已知和作图能得到△ADC≌△EDBA．SSS

B．SAS

C．AAS

D．HL（2）求得AD的取值范围是______；A．5<AD<9

B．5≤AD≤9

C．2<AD（3）归纳总结：题目中出现“中点”“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中．完成上题之后，小红善于探究，她又提出了如下的问题，请你解答．如图2，在△ABC中，点E在BC上，且DE=DC，过E作EF∥AB，且EF3．（23-24八年级上·安徽安庆·期末）（1）如图①，在△ABC中，若AB=6，AC=4，AD为BC（2）如图②，在△ABC中，点D是BC的中点，DE⊥DF，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF，判断BE（3）如图③，在四边形ABCD中，AB∥CD，AF与DC的延长线交于点F，点E是BC的中点，若AE是∠BAF的角平分线．试探究线段AB，AF4．（23-24八年级上·江苏南通·期中）课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，△ABC中，若AB=6,AC=4，求BC边上的中线AD的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：如图1所示，延长AD到点E，使（1）由已知和作图能证得△ADC≌△EDB，得到BE=AC，在△ABE中求得方法总结：上述方法我们称为“倍长中线法”．“倍长中线法”多用于构造全等三角形和证明边之间的关系；（2）如图2，AD是△ABC的中线，AB=AE,AC（3）如图3，在△ABC中，D,E是BC5．（23-24七年级下·广东佛山·期中）【阅读理解】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图，△ABC中，AB=8，AC=6，求BC边上的中线AD的取值范围，经过组内合作交流．小明得到了如下的解决方法：延长AD到点请根据小明的方法思考：

（1）求得AD的取值范围是___________；【问题解决】请利用上述方法（倍长中线）解决下列三个问题如图，已知∠BAC+∠CDE=180°，AB=AC，

（2）如图1，若A，C，D共线，求证：AP平分∠BAC（3）如图2，若A，C，D不共线，求证：AP⊥（4）如图3，若点C在BE上，记锐角∠BAC=x，且AB=AC=CD【模型二：旋转模型（截长补短）】6．（23-24八年级上·湖北武汉·期末）如图，在五边形ABCDE中，∠B=∠E=90°，∠CAD=12∠BAE，A．6 B．8 C．10 D．127．（23-24八年级上·上海·期中）如图所示，已知AC平分∠BAD，∠B+∠D=180°，CE⊥AB于点E，判断8．（23-24八年级上·山东临沂·期中）【基本模型】（1）如图1，ABCD是正方形，∠EAF=45°，当E在BC边上，F在CD边上时，请你探究BE、DF与【模型运用】（2）如图2，ABCD是正方形，∠EAF=45°，当E在BC的延长线上，F在CD的延长线上时，请你探究BE、DF与9．（23-24八年级上·湖北武汉·周测）（1）如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°，E、F分别是边BC、（2）如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠ADC=180°，E、F分别是边BC、10．（23-24八年级上·贵州黔东南·期末）【初步探索】（1）如图1，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B=∠ADC=90°，∠BAD=120°，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF=60°，探究图中BE、EF、FD之间的数量关系．小芮同学探究此问题的方法是：延长FD到点G，使DG=【灵活运用】（2）如图2，若在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=∠180°，∠BAD=120°，E、F分别是【拓展延伸】（3）如图3，在四边形ABCD中，∠ABC+∠ADC=180°，AB=AD，若点E在CB的延长线上，点F在CD的延长线上，满足【模型三：“K子”型（一线三垂直）】11．（23-24八年级上·广东江门·阶段练习）已知，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，直线m过点A，且BD⊥m于D，CE⊥m于E（1）当直线m绕点A旋转至图2位置时，问：BD与DE、CE的关系如何？请予证明；（2）直线m在绕点A旋转一周的过程中，BD、DE、CE存在哪几种不同的数量关系？（直接写出，不必证明）12．（23-24八年级上·贵州铜仁·阶段练习）（1）如图1，已知△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，直线m经过点A,BD⊥直线m，（2）如图2，将（1）中的条件改为：在△ABC中，AB=AC,D,A13．（23-24八年级上·山西大同·阶段练习）某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本图形．（1）如图1．已知：在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，直线l经过点A，BD⊥直线l，CE⊥直线l（2）组员小明对图2进行了探究，若∠BAC=90°，AB=AC，直线l经过点A．BD⊥直线l，CE⊥直线l，垂足分别为点D、E．他发现线段DE、BD、CE之间也存在着一定的数量关系，请你直接写出段（3）数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用这个知识来解决问题：如图3，过△ABC的边AB、AC向外作正方形ABDE和正方形ACFG（正方形的4条边都相等，4个角都是直角），AH是BC边上的高，延长HA交EG于点I，若BH=3，CH=714．（23-24八年级上·河北石家庄·阶段练习）通过对如图数学模型的研究学习，解决下列问题：

（1）如图1，∠BAD=90°，AB=AD，过点B作BC⊥AC于点C，过点D作DE⊥AC于点E．由∠1+∠2=∠2+∠D=90°，得∠1=∠D．又∠ACB=∠AED=90°，可以推理得到△（2）如图2，∠BAD=∠CAE=90°，AB=AD，AC=AE，连接BC,DE，且BC⊥AF于点（3）如图3，已知四边形ABCD和DEGF为正方形，△AFD的面积为S1，△DCE的面积为S2，15．（23-24七年级下·广东深圳·期末）【材料阅读】小明在学习完全等三角形后，为了进一步探究，他尝试用三种不同方式摆放一副三角板（在△ABC中，∠ABC=90°，AB=CB；△【发现】（1）如图1，将两个三角板互不重叠地摆放在一起，当顶点B摆放在线段DF上时，过点A作AM⊥DF，垂足为点M，过点C作CN⊥①请在图1找出一对全等三角形，在横线上填出推理所得结论；∵∠ABC∴∠ABM∵AM⊥DF，∴∠AMB=90°，∠∴∠ABM∴∠BAM∵∠∠AB=__