14.2 三角形全等的判定（5个知识点+7个题型+强化练习）-学生版(同步讲义)-沪科版(2024)八上

14.2全等三角形的判定课程标准学习目标①掌握基本事实：两边及其夹角分别相等的两个三角形全等。②掌握基本事实：两角及其夹边分别相等的两个三角形全等。③掌握基本事实：三边分别相等的两个三角形全等。④证明定理：两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等。1.经历探索三角形全等的条件的过程，理解判定一般三角形和直角三角形全等的条件；2.能灵活运用SSS、SAS、ASA和AAS证明两个三角形全等，会用HL证明两个直角三角形全等；3.能综合运用全等三角形的判定和性质解决线段相等或角相等的问题，并能解决实际生活中的有关问题。判定方法01两边及其夹角分别相等的两个三角形两边及其夹角分别相等的两个三角形全等．简记为“边角边”或“SAS”（S表示边，A表示角）．如图，【即学即练1】（23-24八年级上·安徽滁州·期中）如图，在中，，，M、N、K分别是，，AB上的点，且，．则的度数为．

【即学即练2】已知：如图，AB＝AD，AC＝AE，∠1＝∠2．求证：△ABC≌△ADE判定方法02两角及其夹边分别相等的两个三角形·两角及其夹边分别相等的两个三角形全等．简记为“角边角”或“ASA”．如图，【即学即练3】（23-24八年级上·安徽·期末）如图，在四边形中，，为对角线上一点，，且．(1)求证：．(2)若，，求的长．判定方法03三边分别相等的两个三角形·三边分别相等的两个三角形是全等三角形．简记为“边边边”或“SSS”．如图，·三角形的稳定性：只要三角形三边的长度确定了，这个三角形的形状和大小就完全确定，这个性质叫做三角形的稳定性．【即学即练4】（23-24八年级上·安徽亳州·阶段练习）如图，在中，，，可直接利用“”判定（

）A． B．C． D．【即学即练5】（23-24八年级上·安徽合肥·阶段练习）尺规作图是起源于古希腊的数学课题，尺规作图中往往蕴含着丰富的数学知识和思想方法．如图，为了得到，在用直尺和圆规作图的过程中，得到的依据是（

）A． B． C． D．【即学即练6】如图，相交于点，，．求证：；

判定方法04两角及其邻边分别相等的两个三角形三角形的其中两个角对应相等，且对应相等的角所对应的边也对应相等的两个三角形全等．简记为“角角边”或“AAS”． 如图，【即学即练7】（23-24八年级上·安徽马鞍山·期末）如图，已知点B、F、C、E在直线l上，点A、D在l异侧，连接且，，．(1)证明：；(2)说明关系．判定方法05两个直角三角形全等的判定·斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等．简记为“斜边、直角边”或“ＨＬ（H表示直角边，L表示斜边）．如图，【即学即练8】如图，已知，能直接用“”判定的条件是（）

A．， B．，C．， D．，·选择合适的方法证明两个三角形全等三角形全等的证明思路：①找夹角：SS三(1)已知两边对应相等②找一边：SS角③找直角：HL形(2)已知一边一角对应相等①找一角：AS或AS全②找一边：SA等(3)已知两角对应相等①找夹边：AA②找一边:AA·证明两个三角形全等的应用（1）求角与边，可以构造两个三角形全等，借助对应边相等、对应角相等来解题。（2）求高时可能使用等积变换公式·常见的全等三角形模型模型①手拉手全等模型（应用SAS证明）适用关键条件：两个有公共顶点的等腰三角形、等边三角形或正方形组成的图形模型②一线三等角模型（应用AAS或ASA证明）适用关键条件：一条直线上出现2个三角形和3个相等的角，且有一组相等的边模型③倍长中线模型（应用SAS或ASA证明）适用关键条件：出现中线【题型一：全等三角形的性质与判定】例1．（23-24八年级上·安徽滁州·期中）已知：如图，点E、点F在上，且，，．求证：．例2.（22-23八年级上·安徽淮北·期末）如图，在中，，，为边上的中线，过点C作，垂足为点F，在直线上截取．求证：．

例3.如图：在中，、CF分别是、AB两边上的高，在上截取，在CF的延长线上截取，连接AD、．试猜想线段AD与的关系，并证明你的猜想．【技巧方法与总结】①审题：描出问题中的线段或角度关系；②找到要证明全等的两个三角形，标出对应边和对应角；③运用三角形、平行线等知识进行综合证明【题型二：利用全等三角形“SAS”的判定方法尺规作角】例4．如图，已知三角形和射线，用直尺和圆规按下列步骤作图(保留作图痕迹，不写作法)：(1)在射线的上方，作；(2)在射线上作线段，在射线上作线段，使得，；(3)连接，观察并猜想：与的数量关系是_____，填(“＞”、“＜”或“＝”)【技巧方法与总结】将尺规作角的原理与全等三角形SAS的判定方法相联系【题型三：全等模型——“手拉手”】例5．（23-24七年级下·安徽宿州·期末）如图，已知．试判断和的数量关系和位置关系，并说明理由．变式5-1.（23-24八年级上·安徽合肥·期末）如图，在和中，，连接，则与之间的大小关系是（

）A． B． C． D．大小关系不确定变式5-2．（24-25八年级上·安徽合肥·阶段练习）在和中，，，．(1)当点在上时，如图①所示，线段，有怎样的数量关系和位置关系？直接写出你猜想的结论；(2)当点在如图②所示的位置时，请问（1）中的数是关系和位置关系是否还成立？请说明理由．【方法技巧与总结】见难点分析【题型四：全等模型——一线三等角】例6．如图1，，，，P，Q分别为线段AB，BD上任意一点．(1)若为的中点，点与点重合，试说明与全等；(2)如图2，若，，求，，之间的数量关系；(3)如图3，将“，”改为“（为锐角）”，其他条件不变．若，，判断（2）中的数量关系是否会改变？并说明理由．变式6.（23-24八年级上·安徽亳州·期末）如图所示，在平面直角坐标系中，一次函数与坐标轴交于、两点，若是等腰直角三角形，求点的坐标．

【方法技巧与总结】在坐标系中求一个直角三角形的顶点坐标，可以由顶点向坐标轴作垂线，构造一线三直角的全等三角形，再求坐标。【题型五：倍长中线构造全等】例7．（23-24七年级下·山东济南·期中）阅读下列材料，完成相应任务．数学活动课上，老师提出了如下问题：如图1，已知中，是边上的中线．求证：智慧小组的证法如下：证明：如图2，延长至E，使，∵是边上的中线，∴，在△BDE和△CDA中，，∴△BDE≌△

CDA（依据1），∴，在中，（依据2），∴．(1)任务一：上述证明过程中的“依据1”和“依据2”分别是指：依据1：；依据2：．【归纳总结】上述方法是通过延长中线，使，构造了一对全等三角形，将，，转化到一个三角形中，进而解决问题，这种方法叫做“倍长中线法”．“倍长中线法”多用于构造全等三角形和证明边之间的关系．(2)任务二：如图3，，，则的取值范围是；A．； B．； C．(3)任务三：利用“倍长中线法”，解决下列问题．如图4，中，，D为中点，求证：．变式7.（23-24八年级上·安徽安庆·期末）一个三角形的两边长分别为4和8，设第三边上的中线长为x，则x的取值范围是（）A． B． C． D．【题型六：分类讨论思想·全等三角形与动点问题】例8．（22-23八年级上·广东广州·期中）如图（1），，，，；点P在线段上以1cm/s的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段上由点B向点D运动，它们运动的时间为t（s）．

(1)若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当时，与是否全等，请说明理由，并判断此时线段和线段的位置关系；(2)如图（2），将图（1）中的“，”改为“”，其他条件不变．设点Q的运动速度为xcm/s，是否存在实数x，使得与全等？若存在，求出相应的x的值；若不存在，请说明理由．变式8.如图，与相交于点，，，，点从点出发，沿方向以的速度运动，点从点出发，沿方向以的速度运动，、两点同时出发，当点到达点时，、两点同时停止运动．设点的运动时间为．

(1)求证：．(2)写出线段的长（用含t的式子表示）．(3)连接，当线段经过点时，求的值．【方法技巧与总结】此类问题需要运用分类讨论和方程思想。先根据全等三角形的判定，针对对应边进行分情况讨论，列出全等三角形，再根据对应边相等，用含t的式子表示出相关的线段长，列方程解决问题。【题型七：应用全等三角形判定解实际问题】例7．（23-24八年级上·安徽阜阳·期末）星期六，数学兴趣小组的同学一起到校园参加社会实践活动，他们利用一根长的竿子来测量旗杆的高度．方法如下：如图，在旗杆前选一点P，使，并测得，然后把竖直的竿子（）在水平地面上前后移动（点，，，，在同一平面内且，，在同一直线上），使，此时测得．请根据这些数据，计算出旗杆的高度．

一、选择题1．（22-23八年级上·安徽淮北·阶段练习）在和中，下列条件不能判断这两个三角形全等的是（

）A．，， B．，，C．，， D．，，2．（17-18八年级·辽宁大连·期末）如图是一个平分角的简单仪器，其中．将A放在角的顶点，和沿着角的两边放下，沿画一条射线就是的平分线．在这个过程中的根据是（

）A． B． C． D．3．（22-23八年级上·安徽亳州·期末）下列命题中，真命题是（

）A．三角形的三条高线相交于三角形内 B．三角形三个内角中至少有两个锐角C．两边分别相等且其中一组等边所对的角相等的两个三角形全等 D．两边分别相等的两个直角三角形全等4．（23-24八年级上·安徽淮北·期末）如图，已知，，，下列结论：①；②；③；④，其中正确的有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个二、填空题5．（23-24八年级上·安徽阜阳·阶段练习）如图，，现添加“”，则判定的直接依据是．6．（23-24八年级上·安徽亳州·期末）如图，，，的延长线交于点，若，则的度数为．三、解答题7．（24-25八年级上·安徽合肥·阶段练习）阅读下题及其证明过程：已知：如图，是中BC的中点，，试说明：．证明：是中BC的中点在和中，（第一步）（第二步）在和中（第三步）问：(1)上面证明过程是否正确？若正确，请写出每一步推理根据，若不正确，请指出错在哪一步？(2)写出你认为正确的推理过程．8．（23-24八年级上·安徽芜湖·期中）如图，点E，F在线段上，且，若，且，求证：．

9．（23-24八年级上·安徽芜湖·期末）如图，在中，，，，、交于点．在不添加字母和辅助线的情况下，请你在图中找出一对全等三角形并证明．10．（23-24八年级上·安徽合肥·期末）如图，在中，，延长至点，过点作，使，连接交于点．(1)求证：；(2)若是上一点，满足，连接，请你判断和的关系，并证明你的结论．

11．（23-24八年级上·安徽马鞍山·期末）如图，已知，，为平面内一动点，，为上一点，，上两点，，．下面能表示最小值的线段是（

）A．线段 B．线段 C．线段 D．线段12．（22-23七年级下·安徽宿州·期末）如图，在锐角中，，，的平分线交于点D，点M，N分别是和上的动点，则的最小值是．

13.如图，在和中，，，，连接，交于点M．

(1)如图1，当点B，C，D在同一条直线上时，可以得到图中的一对全等三角形，即__________；(2)当点D不在直线上时，如图2位置，且．①求证：；②求的大小（用含的代数式表示）．14.（23-24八年级上·安徽合肥·期末）如图，与相交于点C，，，cm，点P从点A出发，在线段上沿A→B→A方向以4cm/s的速度往返运动，点Q从点D出发，沿D→E方向以2cm/s的速度运动，P、Q两点同时出发，当点Q到达点E时，P，Q两