第14章全等三角形（复习讲义）（教师版）-沪科版(2024)八上

第14章全等三角形（复习讲义）1.掌握全等三角形的定义，理解"完全重合"的含义，理解全等三角形的对应关系（对应顶点、对应边、对应角）.2.熟记5种判定方法（SSS/SAS/ASA/AAS/HL）及其适用条件,能准确运用判定定理证明三角形全等.3.会利用全等性质进行几何计算（求边长、角度等）,能解决实际生活中的测量问题（如河宽、高度测量）●一、全等三角形的概念★1、全等图形的概念：能够完全重合的两个图形叫做全等图形．【注意】全等形的形状相同，大小相同，与图形所在的位置无关，因此平移、翻折、旋转前后的图形全等．★2、全等三角形的有关概念和表示方法：（1）全等三角形：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形．（2）三角形全等的符号：“全等”用符号“≌”表示．全等的表示方法：△ABC≌△FDE【注意】在记两个三角形全等时，通常把对应顶点写在对应位置上．（3）对应顶点、对应边、对应角：把两个全等三角形重合到一起，重合的顶点叫做对应顶点；重合的边叫做对应边；重合的角叫做对应角．（4）寻找对应元素的规律①有公共边的，公共边一般是对应边；②有公共角的，公共角一般是对应角；③有对顶角的，对顶角一般是对应角；④两个全等三角形最大的边是对应边，最小的边也是对应边；⑤两个全等三角形最大的角是对应角，最小的角也是对应角.★32、三种常见的全等类型：（1）平移型；（2）翻折型；（3）旋转型.全等变化：一个图形经过平移、翻折、旋转后，位置变化了，但形状和大小都没有改变，即平移、翻折、旋转前后的两个图形全等．●二、全等三角形的性质★性质1：全等三角形的对应边相等．性质2：全等三角形的对应角相等．拓展：①全等三角形的对应边上的高、中线以及对应角的平分线相等．②全等三角形的周长相等，面积相等．【注意】①全等三角形的性质是证明线段和角相等的理论依据，应用时要会找对应角和对应边．②要正确区分对应边与对边，对应角与对角的概念，一般地：对应边、对应角是对两个三角形而言，而对边、对角是对同一个三角形的边和角而言的，对边是指角的对边，对角是指边的对角．●三、全等三角形的判定方法★★利用“SSS”判定两个三角形全等文字语言：三边分别相等的两个三角形全等，简写为“边边边”或“SSS”.几何语言：在△ABC和△DEF中，AB∴△ABC≌△DEF(SSS).★★利用“SAS”判定两个三角形全等1、文字语言：两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等，简写成“边角边”或“SAS”.2、几何语言：在△ABC和△DEF中，AB∴△ABC≌△DEF(SSS).3、方法：（1）已知两边，可以找“夹角”；（2）已知一角和这角的一夹边，可找这角的另一夹边【注意】1.有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等.2.说明两三角形全等所需的条件应按对应边的顺序书写.3.结论中所出现的边必须在所证明的两个三角形中.★★利用“ASA”判定两个三角形全等1、文字语言：有两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等(简写成“角边角”或“ASA”）.2、几何语言：在△ABC和△DEF中，∠∴△ABC≌△DEF(ASA).★★利用“AAS”判定两个三角形全等1、文字语言：两角和其中一角的对边分别相等的两个三角形全等.简写成“角角边”或“AAS”.2、几何语言：在△ABC和△DEF中，∠∴△ABC≌△DEF(AAS).★★利用“HL”判定两个三角形全等1、文字语言：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等(简写成“斜边、直角边”或“HL”).2、几何语言：∵∠C=∠C′=90°在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，AB∴Rt△ABC≌Rt△A′B′C′(HL).【注意】“SSA”可以判定两个直角三角形全等，但是“边边”指的是斜边和一直角边，而“角”指的是直角.3、判定两个直角三角形全等的方法：判定一般三角形全等的方法对判定两个直角三角形全等全部适用，因此我们可以根据“SSS”“SAS”“ASA”“AAS”“HL”这五种方法来判定两个直角三角形全等.题型一题型一全等三角形的概念【例1】（25-26八年级上·吉林·阶段练习）下列各组图形中，属于全等图形的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】此题主要考查了全等图形的概念，解题的关键是掌握形状相同，大小相等的两个图形是全等图形．根据全等图形的定义，逐项判断即可求解．【详解】解：A．大小不相等，不是全等图形，故本选项不符合题意；B．形状不相同，不是全等图形，故本选项不符合题意；C．形状相同，大小相等，是全等图形，故本选项符合题意；D．大小不相等，不是全等图形，故本选项不符合题意；故选：C．【变式1-1】（25-26八年级上·云南昆明·阶段练习）下列各选项中的两个图形属于全等形的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】本题主要考查了全等图形的定义，掌握全等图形为形状相同、大小相同的图形是解题的关键．利用全等图形的概念即可解答．【详解】解：A．两个图形形状相同，大小不同，不是全等图形，不符合题意；B．两个图形的形状和大小都不同，不是全等图形，不符合题意；C．两个图形形状相同，大小不同，不是全等图形，不符合题意；D．两个图形能完全重合，符合题意．故选：D．【变式1-2】（25-26八年级上·江苏徐州·阶段练习）下列汽车标志中，不是由多个全等图形组成的是（）A．丰田 B．奥迪C．雪铁龙 D．三菱【答案】A【分析】本题考查的是全等形的识别、全等图形的基本性质，属于较容易的基础题．根据能够完全重合的两个图形叫做全等图形对各选项分析判断利用排除法求解．【详解】解：A、组成图形的三个图形不全等，故本选项符合题意；B、组成图形的四个圆形全等，故本选项不符合题意；C、组成图形的两个图形全等，故本选项不符合题意；D、组成图形的三个图形全等，故本选项不符合题意．故选：A．【变式1-2】（25-26八年级上·广东东莞·阶段练习）下列说法正确的是（

）A．全等三角形是指形状相同的两个三角形B．全等三角形的周长和面积分别相等C．面积相等的两个三角形是全等三角形D．所有的等边三角形都是全等三角形【答案】B【分析】本题考查了等边三角形的定义，全等三角形的判定与性质，根据能够完全重合的两个三角形是全等三角形，全等三角形的周长和面积分别相等，再结合等边三角形的定义，进行分析，即可作答．【详解】解：A、全等三角形是指能够完全重合的两个三角形，故原说法是错误的；B、全等三角形的周长和面积分别相等，故原说法是正确的；C、面积相等的两个三角形不一定是全等三角形，故原说法是错误的；D、所有的等边三角形不一定是全等三角形，故原说法是错误的；故选：B．题型题型二利用全等三角形的性质求角度【例2】（25-26八年级上·云南保山·阶段练习）如图，△ABC≌△A'B'A．107° B．73° C．56° D．51°【答案】B【分析】本题主要考查三角形全等的性质，解决此题的关键是正确的计算；根据全等得到∠B【详解】解：∵△ABC≌△A∴∠B∴∠C故答案为：B．【变式2-1】（25-26八年级上·河南驻马店·阶段练习）如图，△ABE≌△ACD，AB=AC，BE=CD，A．120° B．70° C．60° D．50°【答案】C【分析】本题主要考查了全等三角形的性质、三角形内角和定理，根据全等三角形对应角相等，可得：∠AED=∠ADE，∠AEC=120°【详解】解：∵△ABE∴∠AED∵∠AEC∴∠AED∴∠ADE在△ADE中，∠∴∠DAE故选：C．【变式2-2】（25-26八年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，△OAD≌△OBC，且∠O=80°，∠A．75° B．100° C．105° D．130°【答案】C【分析】本题考查了全等三角形的性质、三角形外角的性质，熟练掌握三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和是解题的关键．根据全等三角形对应角相等得到∠D【详解】解：∵△OAD∴∠D∴∠DAC故选：C．题型题型三利用全等三角形的性质求线段长【例3】（25-26八年级上·江苏连云港·阶段练习）如图，△ACE≌△DBF，AD=10，BCA．8 B．6 C．5 D．4【答案】D【分析】本题考查了全等三角形的性质，解题的关键是掌握全等三角形的性质．由△ACE≌△DBF可得AC=BD，推出【详解】解：∵△ACE∴AC=∴AC-BC=∵AD=10，BC∴AB=故选：D．【变式3-1】（25-26八年级上·安徽阜阳·阶段练习）如图，点B，C，D在同一直线上，若△ABC≌△CDE，DE=6，BD=20A．10 B．12 C．14 D．16【答案】C【分析】本题考查了全等三角形的性质和线段和差．根据全等三角形的性质得出AB=CD，【详解】∵△ABC∴AB=CD，∵BD=20∴CD=∴AB=故选：C．题型题型四利用全等三角形的性质证明【例4】【分析】根据全等三角形对应角相等可得∠B＝∠D＝50°，然后利用三角形的内角和定理求出∠AOB＝90°，根据垂直的定义解答即可．【详解】解：AD⊥BC．理由如下：∵△ABC≌△ADE，∠D＝50°，∴∠B＝∠D＝50°，在△AOB中，∠AOB＝180°﹣∠BAD﹣∠B＝180°﹣40°﹣50°＝90°，∴AD⊥BC．【变式4-1】已知△ABF≌△DCE，E与F是对应顶点．证明AF∥DE．【分析】根据全等三角形的性质得出∠B＝∠C，∠BAF＝∠CDE，根据三角形外角性质求出∠AFE＝∠DEF，根据平行线的判定得出即可．【详解】证明：∵△ABF≌△DCE，∴∠B＝∠C，∠BAF＝∠CDE，∴∠B+∠BAF＝∠C+∠CDE，∴∠AFE＝∠DEF，∴AF∥DE．【变式4-2】如图，△ADF≌△CBE，且点E，B，D(1)试判断AD与BC的位置关系，并证明你的结论；(2)试判断BF与DE的数量关系，并证明你的结论．【答案】(1)AD∥(2)BF=【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的判定，能熟记全等三角形的性质是解题的关键，注意：全等三角形的对应边相等，对应角相等．（1）根据全等三角形的性质得出∠ADF=∠CBE（2）根据全等三角形的性质得出DF=【详解】（1）解：AD∥证明：∵△ADF∴∠∵∠ADF+∠ADB∴∠ADB∴AD∥（2）解：BF=证明：∵△ADF∴DF=∴DF+∴BF=题型题型五利用SAS证明全等【例5】（24-25八年级上·江苏徐州·阶段练习）如图，OA=OC，OB=OD，∠AOD=∠

【答案】见解析【分析】本题主要考查了全等三角形的判定定理，即SSS，SAS，根据题意利用SAS即可证明．【详解】证明：∵∠AOD∴∠AOD即∠AOB在△AOB和△OA=∴△AOB【变式5-1】（25-26八年级上·江苏南通·阶段练习）如图，点A、E、F、C在一直线上，DE∥BF,【答案】见解析【分析】本题主要考查了全等三角形的判定．根据平行线的性质，可得∠DEF【详解】证明：∵DE∥∴∠DEF=∠在△CDE和△∵AF=CE，∠DEF=∠∴△CDE【变式5-2】（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，AB=AE,∠【答案】见解析【分析】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，掌握全等三角形的对应边相等是解题的关键．首先根据∠BAD=∠EAC可证明∠BAC=∠EAD，然后根据【详解】证明∵∠BAD∴∠BAD+∠DAC在△ABC和△AB∴△ABC∴BC题型题型六利用AAS证明全等【例6】如图，在Rt△ABC中，直角顶点A在直线l上，AB=AC，过点B、C分别作直线l的垂线，垂足分别为D、【答案】见解析【分析】本题考查了全等三角形的判定，等腰直角三角形,熟练掌握一线三垂直模型是解题的关键．根据已知易得：∠BAD+∠CAE=90°，再利用垂直定义可得∠CEA=∠BDA=90°，从而可得【详解】证明：∵∠BAC∴∠BAD∵CE∴∠CEA∴∠ABD∴∠ABD在△ABD和△∠ADB∴△ABD【变式6-1】（25-26八年级上·湖北十堰·阶段练习）如图，∠A=∠B，点D在AC边上，AE和BD(1)求证：∠2=∠(2)若∠1=∠2，AC【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析．【分析】本题考查了全等三角形的判定，三角形内角和定理等知识，掌握相关知识是解题的关键．（1）由∠A=∠B，∠（2）由∠2=∠AEB，∠1=∠2，得到∠1=∠AEB，进而得到【详解】（1）证明：∵∠A=∠B，∠∴∠2=∠AEB（2）证明：∵∠2=∠AEB，∠1=∠2∴∠1=∠AEB∴∠AEC又∵∠A=∠B∴△AEC【变式6-2】如图，△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，BE⊥AC，垂足为E，AD与BE(1)求证：△ADC(2)若DF=2，AF=3，求【答案】(1)见解析(2)7【分析】本题主要考查的是全等三角形的判定与性质．（1）先证明∠BDF=∠ADC=90°，（2）根据DF=2，AF=3，得出AD=AF+DF=3+2=5【详解】（1）证明：∵AD⊥∴∠BDF∵BE⊥∴∠BEC∴∠CAD∴∠CAD在△ADC和△∠ADC∴△ADC（2）解：∵DF=2，AF∴AD=∵△ADC∴BD=AD=5∴BC=题型题型七利用ASA证明全等【例7】已知：如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，BC⊥CD，DE⊥AC于点E，AB＝CE，求证：△ABC≌△CED．【分析】由垂直的定义可知，∠DEC＝∠B＝90°，由平行线的性质可得，∠A＝∠DCE，进而由ASA可得结论．【详解】证明：∵DE⊥AC，∠B＝90°，∴∠DEC＝∠B＝90°，∵BC⊥CD，∴CD∥AB，∴∠A＝∠DCE，在△CED和△ABC中，∠DCE∴△CED≌△ABC（ASA）．【变式7-1】已知：如图，∠A＝∠B，AE＝BE，∠1＝∠2，点D在AC边上．求证：△AEC≌△BED．【分析】由∠1＝∠2，得到∠AEC＝∠BED，又∠A＝∠B，AE＝BE，由ASA即可证明△AEC≌△BED．【详解】证明：∵∠1＝∠2，∴∠AEC＝∠BED，在△AEC和△BED中，∠AEC∴△AEC≌△BED（ASA）．【变式7-2】如图，点C是线段AB的中点，∠B＝∠ACD，AD∥CE．求证：△ACD≌△CBE．【分析】由已知条件得到AC＝CB，∠A＝∠BCE，根据三角形全等的判定定理ASA可证得△ACD≌△CBE．【详解】证明：∵点C是AB的中点，∴AC＝CB，∵AD∥CE，∴∠A＝∠BCE，在△ACD和△CBE中，∠A∴△ACD≌△CBE（ASA）．【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL（直角三角形）．题型题型八利用SSS证明全等【例8】如图，AB=DC，AC=【答案】证明见详解【分析】本题主要考查了全等三角形的判定定理SSS，通过找出两个三角形三边对应相等来证明全等即可．在△ABC和△DCB中，已知AB=DC，AC=BD，同时还隐含条件【详解】证明：在△ABC和△AB=∴△ABC【变式8-1】如图，点B、E、C、F在同一直线上，AB=DE，AC=DF，【答案】见解析【分析】本题考查了全等三角形的判定定理，由BE=CF得出BC=EF，再利用【详解】证明：∵BE=∴BE+CE=在△ABC和△AB=DE∴△ABC【变式8-2】如图，已知在△ADF和△CBE中，(1)△ADF(2)∠B【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】本题考查了全等三角形的判定（SSS）与性质，解题的关键是通过线段和差得到全等所需的边，再利用全等性质推导角相等．（1）通过AE=CF推导出AF=CE，结合三组对边相等，用（2）利用全等三角形对应角相等，得出∠B【详解】（1）证明：∵AE=∴AE∴在△ADF和△CBE中，∴△ADF≌△CBE（2）证明：∵△ADF∴∠题型题型九利用HL证明全等【例9】（23-24八年级下·山东济南·开学考试）如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E，F【答案】见解析【分析】本题考查了HL证明三角形全等，掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．根据已知条件直接利用HL证明即可求解．【详解】证明∶∵DE⊥AB∴∠DEB∵D是BC∴BD在Rt△BDE与BD∴【变式9-1】如图，已知AD，BC相交于点O，AB＝CD，AM⊥BC于点M，DN⊥BC于点N，BN＝CM．求证：△ABM≌△DCN．【分析】先根据BN＝CM得出BM＝CN，再由垂直的定义得出∠AMB＝∠DNC＝90°，利用HL证明三角形全等即可．【详解】证明：∵BN＝CM，∴BN+MN＝CM+MN，即BM＝CN，∵AM⊥BC于点M，DN⊥BC于点N，∴∠AMB＝∠DNC＝90°．在Rt△ABM和Rt△DCN中，BM=∴Rt△ABM≌Rt△DCN（HL）．【点睛】本题考查证明两个三角形全等，熟练掌握HL证明三角形全等是解题的关键．【变式9-2】（25-26八年级上·山东菏泽·阶段练习）如图①，∠A=∠D=90°，AB=DC，点(1)求证：AF=(2)如图②，连接AE,DF，设DE,AF交于点G，过点G作GH⊥BC于点H，在不添加辅助线的前提下，直接写出图②中的4对全等三角形【答案】(1)证明见解析；(2)4对全等三角形分别为△ABE≌△DCF，△AEF≌△【分析】本题考查全等三角形的判定定理和性质，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．（1）由题意可证BF=CE，然后根据HL定理可证Rt△（2）由图可知，4对全等三角形分别为△ABE≌△DCF，△AEF≌△DFE，△AEG≌△DFG，△【详解】（1）证明：∵BE∴BE+EF在Rt△ABF和BF=∴Rt∴AF（2）图②中的4对全等三角形分别为△ABE≌△DCF，△AEF≌△∵Rt∴AF=DE，∠在△ABE和△AB=∴△ABE∴AE在△AEF和△AE=∴△AEF∴∠EAF∴∠在△AEG和△∠AGE∴△AEG∵GH∴∠GHE在△GEH和△∠GEH∴△GEH综上所述，图②中的4对全等三角形为△ABE≌△DCF，△AEF≌△题型题型十添加条件使三角形全等式【例10】如图，已知∠1=∠2，则下列条件中，不能使△ABC≌△DCBA．AB=CD B．AC=BD C．【答案】A【分析】本题考查了三角形全等的判定定理，熟练掌握三角形全等的判定定理是解答本题的关键．根据条件和图形可得∠1=∠2，BC=【详解】解：根据条件和图形可得∠1=∠2，BC=A、添加AB=CD不能判定B、添加AC=BD可利用SAS定理判定C、添加∠A=∠D可利用AASD、添加∠ABC=∠DCB可利用ASA故选：A．【变式10-1】（25-26八年级上·浙江湖州·阶段练习）如图，已知∠CAE=∠BAD，AC=AD，增加下列条件：①AB=AE；②BC=ED；③A．①②③④ B．①②③ C．①②④ D．①③④【答案】D【分析】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、SSA、HL．做题时要根据已知条件在图形上的位置，结合判定方法，进行添加．根据【详解】解：∵∠CAE∴∠BAC又AC=则添加①AB=AE，添加②BC=ED，△ABC添加③∠C=∠D添加④∠B=∠E则能使△ABC≌△AED的条件是故选：D．【变式10-2】（25-26八年级上·陕西渭南·阶段练习）如图，已知AB⊥AC，CD⊥BD，若用“HL”判定A．AE=CE B．AB=DC C．【答案】B【分析】本题考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定定理是解题关键．根据斜边和一条直角边分别对应相等的两个直角三角形全等求解即可．【详解】解：由题意可知，BC=若用“HL”判定Rt△ABC和即AB=CD或只有B选项符合.故选：B．【变式10-3】（25-26八年级上·全国·期中）如图，点C，F在线段BE上，∠ABC=∠(1)根据“SAS”，需添加的条件是；根据“HL”，需添加的条件是．(2)请从（1）中选择一种加以证明．【答案】(1)AB=DE(2)见解析【分析】（1）根据“SAS”和“HL”证明三角形全等所需要的条件解答即可；（2）根据“SAS”和“HL”证明三角形全等即可．【详解】（1）解：根据“SAS”，题中已给出一组角一组边，还缺以此组角为夹角的另一组边，即AB=DE．根据“HL”，题中已给出直角和一组直角边，还缺一组斜边，即故答案为：AB=DE，（2）解：添加“AB=DE在△ABC和△BC=∴△ABC选择“AC=DF∵∠ABC∴△ABC在Rt△ABC和AC=∴Rt△题型题型十一全等三角形的实际应用【例11】如图，小虎用10块高度都是3cm的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板（AC＝BC，∠ACB＝90°），点C在DE上，点A和B分别与木墙的顶端重合，则两堵木墙之间的距离为cm．【答案】30．【分析】根据题意可得AC＝BC，∠ACB＝90°，AD⊥DE，BE⊥DE，进而得到∠ADC＝∠CEB＝90°，再根据等角的余角全等三角形的性质进行解答．【详解】解：由题意得：AC＝BC，∠ACB＝90°，AD⊥DE，BE⊥DE，∴∠ADC＝∠CEB＝90°，∴∠ACD+∠BCE＝90°，∠ACD+∠DAC＝90°，∴∠BCE＝∠DAC，在△ADC和△CEB中，∠ADC∴△ADC≌△CEB（AAS）；由题意得：AD＝EC＝9cm，DC＝BE＝21cm，∴DE＝DC+CE＝30（cm），答：两堵木墙之间的距离为30cm．故答案为：30．【变式11-1】如图，要测量池塘的长度，但点F，C之间不能直接测量，已知点B，F，C，E在同一条直线l上，小明想了个办法先在l的一边取了个点A，连接AB，再在l的另一边取了个点D，使得AB∥DE，且∠A(1)求证：△ABC(2)若BE=10m，BF=3【答案】(1)见解析(2)4【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，平行线的性质．（1）先由平行线的性质得到∠ABC=∠DEF，再利用ASA（2）利用全等三角形的性质证明BC=【详解】（1）证明：∵AB∥∴∠ABC在△ABC与△∠ABC∴△ABC（2）解：∵△ABC∴BC=∴BF+∴BF=∵BE=10m，∴FC=10-3-3=4答：FC的长是4m【变式11-2】（25-26八年级上·辽宁抚顺·阶段练习）小丽与小琳在公园里荡秋千，如图，小丽坐在秋千的起始位置A处，OA与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，小琳在距OA水平距离BD=0.8m的B处接住她后用力一推，当秋千摆动到最高点C处时，小丽距离地面的高度EM为1m，已知∠BOC=90°，BD⊥OA于点D，(1)求证：△CEO≌(2)为了安全考虑规定户外秋千设置高度在2m以下，小丽所在公园的秋千高度OM【答案】(1)见解析(2)合理，理由见解析【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质等知识．（1）由同角的余角相等得到∠COE=∠OBD，根据AAS（2）由△CEO≌△ODB得到【详解】（1）证明：根据题意得CO=OB∵BD⊥OA于点D，CE∴∠CEO∵∠BOC∴∠COE=90º-∠在△CEO和△∠CEO∴△CEO（2）解：小丽所在公园的秋千高度设置合理，理由：∵点B到OA距离为0.8m，BD⊥OA于点D由（1）得△CEO≌△∴OE=∵EM=1∴OM∵1.8<2，∴小丽所在公园的秋千高度设置合理．题型题型十二全等三角形的性质与判定的综合【例12】（25-26八年级上·吉林松原·阶段练习）如图，BD=BC，BE=CA，(1)求证：△BDE(2)求∠AFD【答案】(1)见解析(2)33°【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，外角性质，熟练运用全等三角形的性质是本题的关键．（1）由SAS可证△BDE（2）先根据全等三角形的性质得∠BDE=∠CBA【详解】（1）解：在△BDE和△BD=∴△BDE（2）解：∵△BDE∴∠BDE∴∠A∴∠AFD【变式12-1】（25-26八年级上·浙江温州·阶段练习）如图，△ABC中，AB=AC=4，BC=6，点D、E分别在BC、AC(1)求证：△ABD(2)直接写出AE的长．【答案】(1)见解析(2)2【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．（1）根据∠B=∠1=∠C，推导出∠BAD=∠（2）利用全等三角形的性质可得AB=CD=4【详解】（1）证明：∵∠B∴∠BAD又∵∠ADB∴∠BAD在△ABD和△∠B∴△ABD（2）解：由（1）可知，△ABD∴AB=CD，∵AB=∴CD=4∵BC=6∴CE=∴AE=故答案为：2．【变式12-2】（25-26八年级上·四川南充·阶段练习）如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，E为AC(1)求证：△BDF≌(2)若AF=2,FD=3【答案】(1)详见解析(2)20【分析】本题考查了直角三角形全等的判定，解题的关键是熟练掌握直角三角形的判定方法；（1）利用HL即可证明；（2）根据△BDF≌△ADC，可得AD=BD【详解】（1）证明：∵AD⊥∴∠BDF在△BDF和△ADC中∴Rt△BDF≌Rt△（2）解：∵△BDF≌△∴AD=∵AF=2,∴BD=∴S△【变式12-2】如图①，点A、E、F、C在一条直线上，AE＝CF，过点E、F分别作DE⊥AC，BF⊥AC．连接AB、CD，且使AB＝CD．（1）求证：BD平分EF；（2）若将△DEC的边EC沿AC方向移动，△BFA的边FA沿CA方向移动，变为如图②所示时，其余条件不变，上述结论是否还成立；若成立，请说明理由．【分析】（1）根据题干中给出的条件可以证明Rt△ABF≌Rt△CDE，可以证明BF＝DE，即可证明△BFG≌△DEG，可得BG＝DG；（2）求证方法和（1）相同．【详解】解：（1）∵AE＝CF，AF＝AE+EF，CE＝CF+EF∴AF＝CE，∵DE⊥AC，BF⊥AC，∴△ABF、△CDE为直角三角形，在Rt△ABF和Rt△CDE中，AB=∴Rt△ABF≌Rt△CDE（HL），∴BF＝DE，在△DEG和△BFG中，∠EGD∴△DEG≌△BFG（AAS），∴EG＝FG，即BD平分EF；（2）成立，求证如下：∵AE＝CF，AF＝AE+EF，CE＝CF+EF∴AF＝CE，∵DE⊥AC，BF⊥AC，∴△ABF、△CDE为直角三角形，在Rt△ABF和Rt△CDE中，AB=∴Rt△ABF≌Rt△CDE（HL），∴BF＝DE，在△DEG和△BFG中，∠EGD∴△DEG≌△BFG（AAS），EG＝FG，即BD平分EF．【点睛】本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，本题中求证BF＝DE是解题的关键．题型题型十三一线三等角模型【例13】如图，∠ABC＝90°，FA⊥AB于点A，点D在直线AB上，AD＝BC，AF＝BD．（1）如图1，若点D在线段AB上，判断DF与DC的数量关系和位置关系，并说明理由；（2）如图2，若点D在线段AB的延长线上，其他条件不变，试判断（1）中结论是否成立，并说明理由．【分析】（1）利用SAS证明△FAD≌△DBC，再利用全等三角形的性质得出FD＝DC，∠ADF＝∠BCD，由∠BCD+∠CDB＝90°得∠ADF+∠CDB＝90°，即可证得DF＝CD且CD⊥DF；（2）由已知证明△FAD≌△DBC，得到DF＝DC，∠FDA＝∠DCB，由∠DCB+∠BDC＝90°，得到∠FDA+∠BDC＝90°，证出∠FDC＝90°即可得出结论．【详解】解：（1）DF＝CD，CD⊥DF．理由：∵AF⊥AB，∴∠DAF＝90°，在△ADF和△BCD中，AF=∴△ADF≌△BCD（SAS），∴DF＝CD，∠ADF＝∠BCD，∵∠BCD+∠CDB＝90°，∴∠ADF+∠CDB＝90°，即∠CDF＝90°，∴CD⊥DF．（2）成立，理由如下：∵AF⊥AB，∴∠DAF＝90°，在△ADF和△BCD中，AF=∴△ADF≌△BCD（SAS），∴DF＝CD，∠ADF＝∠BCD，∵∠BCD+∠CDB＝90°，∴∠ADF+∠CDB＝90°，即∠CDF＝90°，∴CD⊥DF．【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，直角三角形的性质，证明△ADF≌△BCD是解题的关键．【变式13-1】如图，在△ABC中，AB=AC，DE是过点A的直线，BD⊥DE(1)若B、C在DE的同侧（如图所示）且AD=CE．求证：(2)若B、C在DE的两侧（如图所示），其他条件不变，AB与AC仍垂直吗？若是请给出证明；若不是，请说明理由．【答案】(1)证明见解析(2)AB⊥【分析】此题考查了全等三角形的判定与性质，利用HL证明Rt△ABD（1）通过证明Rt△（2）用和（1）相同的方法证明Rt△【详解】（1）证明：∵BD⊥DE，∴∠ADB在Rt△ABD和∵AB=∴Rt△∴∠∵∠DAB∴∠DAB∴∠BAC∴AB⊥（2）AB⊥∵BD⊥DE，∴∠ADB在Rt△ABD和∵AB=∴Rt△∴∠DAB∵∠EAC∴∠EAC+∠DAB∴AB⊥【变式13-2】（1）如图1，直线m经过等腰直角△ABC的顶点A，过点B、C分别作BD⊥m，CE⊥m，垂足分别为D、E，求证：BD+CE＝DE；（2）如图2，直线m经过△ABC的顶点A，AB＝AC，在直线m上取两点D，E，使∠ADB＝∠AEC＝α，补充∠BAC＝（用α表示），线段BD，CE与DE之间满足BD+CE＝DE，补充条件后并证明；（3）在（2）的条件中，将直线m绕着点A逆时针方向旋转一个角度到如图3的位置，并改变条件∠ADB＝∠AEC＝（用α表示）．通过观察或测量，猜想线段BD，CE与DE之间满足的数量关系，并予以证明．【分析】（1）根据BD⊥m，CE⊥m，得出∠DAB+∠ABD＝90°，∠ADB＝∠AEC，再根据∠BAC＝90°，求出∠ABD＝∠EAC，在△ADB和△CEA中，根据“AAS”得出△ADB≌△CEA，从而证出BD+CE＝DE；则AE＝BD，AD＝CE，于是DE＝AE+AD＝BD+CE；（2）补充∠BAC＝α，根据ADB＝∠BAC＝α，得出∠CAE＝∠ABD，在△ADB和△CEA中，根据AAS证出△ADB≌△CEA，从而得出AE＝BD，AD＝CE，即可证出BD+CE＝DE（3）补充∠ADB＝∠AEC＝180°﹣α，根据补充的条件得出∠ABD+∠BAD＝α，再根据∠BAD+∠CAE＝α，得出∠ABD＝∠CAE，再根据AAS证出△ABD≌△CAE，得出AE＝BD，CE＝AD，即可证出BD+DE＝CE．【详解】解：（1）∵BD⊥m，CE⊥m，∴∠DAB+∠ABD＝90°，∠ADB＝∠AEC，∵∠BAC＝90°，∴∠DAB+∠EAC＝90°，∴∠ABD＝∠EAC，在△ADB和△CEA中，∠ADB∴△ADB≌△CEA（AAS），∴BD＝AE，AD＝CE，∴BD+CE＝AD+AE＝DE；（2）补充∠BAC＝α，理由如下：∵∠ADB＝∠BAC＝α，∴∠DBA+∠BAD＝∠BAD+∠CAE＝180°﹣α，∴∠CAE＝∠ABD，在△ADB和△CEA中，∠ABD∴△ADB≌△CEA（AAS），∴AE＝BD，AD＝CE，∴BD+CE＝AE+AD＝DE；（3）补充∠ADB＝∠AEC＝180°﹣α，理由如下：∵∠ADB＝180°﹣α，∴∠ABD+∠BAD＝α，∵∠BAD+∠CAE＝α，∴∠ABD＝∠CAE，在△ABD和△CAE中，∠ABD∴△ABD≌△CAE（AAS），∴AE＝BD，CE＝AD，∴BD+DE＝AE+DE＝AD＝CE；【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形的内角和定理，关键是根据全等三角形的判定添加适当的条件，求出各边之间的关系．题型题型十四利用截长补短构造全等三角形【例14】如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠ABC、∠BCD的平分线交AD于点E．求证：AB+CD＝BC．【分析】先利用角平分线的特点构造出△ABE≌△FBE，得出∠BAE＝∠BFE，借助平行线的性质判断出∠CFE＝∠CDE，得出△FCE≌△DCE即可．【解答】证明：在BC上截取BF＝AB，∵∠ABC、∠BCD的平分线交AD于点E，∴∠ABE＝∠FBE，∠BCE＝∠DCE，在△ABE和△FBE中AB=∴△ABE≌△FBE，∴∠BAE＝∠BFE，∵AB∥CD，∴∠BAE+∠CDE＝180°，∴∠BFE+∠CDE＝180°，∵∠BFE+∠CFE＝180°，∴∠CFE＝∠CDE，在△FCE和△DCE中，∠CFE∴△FCE≌△DCE，∴CF＝CD，∴BC＝BF+CF＝AB+CD．【点评】此题是全等三角形的性质和判定，主要考查了角平分线的定义，平行线的性质，同角或等角的补角相等，邻补角的定义，解本题的关键是判断出∠CFE＝∠CDE．【变式14-1】在“教、学、练、评一体化”学习活动手册中，全等三角形专题复习课，学习过七种作辅助线的方法，其中有“截长补短”作辅助线的方法．截长法：在较长的线段上截取一条线段等于较短线段；补短法：延长较短线段和较长线段相等．这两种方法统称截长补短法．请用这两种方法分别解决下列问题：已知，如图，在△ABC中，AB＞AC，∠1＝∠2，P为AD上任一点，求证：AB﹣AC＞PB﹣PC．【分析】解法一：在AB上截取AE，使AE＝AC，连接PE，证明△AEP≌△ACP，得PC＝PE，再根据三角形的任意两边之差小于第三边证明即可；解法二：延长AC到D，使AD＝AB，连接PD，证明△ADP≌△ABP，得PD＝PB，再根据三角形的任意两边之差小于第三边证明即可．【详解】解：解法一：如图，在AB上截取AE，使AE＝AC，连接PE，在△AEP和△ACP中，AE=∴△AEP≌△ACP（SAS），∴PE＝PC，在△PBE中，BE＞PB﹣PE，即AB﹣AC＞PB﹣PC；解法二：如图，延长AC到D，使AD＝AB，连接PD，在△ADP和△ABP中，AD=∴△ADP≌△ABP（SAS），∴PD＝PB，在△PCD中，CD＞PD﹣PC，即AB﹣AC＞PB﹣PC．【点评】此题考查了全等三角形的判定，熟记全等三角形的判定定理是解题的关键．【变式14-1】截长补短法”证明线段的和差问题：先阅读背景材料，猜想结论并填空，然后做问题探究．背景材料：（1）如图1：在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B＝∠ADC＝90°，E，F分别是BC，CD上的点，且∠EAF＝60°．探究图中线段BE，EF，FD之间的数量关系．探究的方法是，延长FD到点G．使DG＝BE，连接AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出的结论是．探索问题：（2）如图2，若四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E，F分别是BC，CD上的点，且∠EAF=12∠【分析】（1）延长FD到点G．使DG＝BE．连接AG，即可证明△ABE≌△ADG，可得AE＝AG，再证明△AEF≌△AGF，可得EF＝FG，即可解题；（2）延长FD到点G．使DG＝BE．连接AG，即可证明△ABE≌△ADG，可得AE＝AG，再证明△AEF≌△AGF，可得EF＝FG，即可解题．【详解】证明：（1）在△ABE和△ADG中，DG=∴△ABE≌△ADG（SAS），∴AE＝AG，∠BAE＝∠DAG，∵∠EAF=12∠∴∠GAF＝∠DAG+∠DAF＝∠BAE+∠DAF＝∠BAD﹣∠EAF＝∠EAF，∴∠EAF＝∠GAF，在△AEF和△GAF中，AE=∴△AEF≌△AGF（SAS），∴EF＝FG，∵FG＝DG+DF＝BE+DF，∴EF＝BE+DF；故答案为：EF＝BE+DF．（2）解：结论EF＝BE+DF仍然成立；理由：延长FD到点G．使DG＝BE．连接AG，在△ABE和△ADG中，DG=∴△ABE≌△ADG（SAS），∴AE＝AG，∠BAE＝∠DAG，∵∠EAF=12∠∴∠GAF＝∠DAG+∠DAF＝∠BAE+∠DAF＝∠BAD﹣∠EAF＝∠EAF，∴∠EAF＝∠GAF，在△AEF和△GAF中，AE=∴△AEF≌△AGF（SAS），∴EF＝FG，∵FG＝DG+DF＝BE+DF，∴EF＝BE+DF．【点评】本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，本题中求证△AEF≌△AGF是解题的关键．题型题型十五利用倍长中线构造全等三角形【例15】在通过构造全等三角形解决问题的过程中，有一种方法叫作倍长中线法，【举例】如图1，在△ABC中，AB>AC，AD是中线，延长AD至点E，使DE【应用】如图2，AB=AE，AB⊥AE，AD=AC，AD⊥【答案】举例:见解析；应用：见解析．【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定定理（SAS等）是解题的关键．举例：要说明△ADC≌△EDB，根据中线定义得到BD=CD应用：通过倍长中线法，延长AM到N使MN=AM，先证△AMC≌△NMB【详解】解：举例：∵AD∴BD在△ADC和△CD=∴△ADC应用：延长AM到N，使MN=AM，连接∵M为BC中点，∴CM在△AMC和△AM=∴△AMC∴AC=NB∵AD∴AD∵AB⊥AE∴∠∴∠又∵∠∴∠在△ADE和△AE=∴△ADE∴DE∵AN∴DE【变式15-1】【发现问题】（1）数学活动课上，老师提出了如下问题：如图1，在△ABC中，AB=8，AC=6【探究方法】第一小组经过合作交流，得到了如下的解决方法：①延长AD到E，使得DE=AD；②连接BE，通过三角形全等把AB、AC、2AD转化在△ABE中；③利用三角形的三边关系可得方法总结：解题时，条件中若出现“中点”、“中线”字样，可以考虑倍长中线构造全等三角形【问题拓展】（2）如图2，OA=OB，OC=OD，∠（3）如图3，在（2）的条件下，若∠AOB=90°，延长EO交BD于点F，【答案】（1）1<AD<7；（2）见解析；（3【分析】本题考查了倍长中线型全等问题，正确作出辅助线是解题关键．（1）根据提示证△ADC（2）延长OE至点H，使得HE=OE，先证△CEH≌△AEO（3）由（2）得△BOD≌△HCO，△CEH≌△AEO，可得BD=【详解】（1）解：∵AD是△ABC∴BD=又∵∠BDE=∠CDA∴△ADC∴BE=∵AB-∴8-6<AE∴2<2AD∴1<AD故答案为：1<AD（2）证明：延长OE至点H，使得HE=OE，连接∵E是AC的中点，∴CE=又∵∠CEH=∠AEO∴△CEH∴CH=AO=∴AO∥∴∠HCO∵∠AOB与∠∴∠AOB∴∠BOD∴∠BOD又∵OD=CO，∴△BOD∴OH=∴OE=（3）如图，由（2）得△BOD≌△HCO∴BD=OH=2∴S△∴S△∵∠AOB=90°，∴∠COD∴∠COE∵∠COE∴∠D∴OF⊥∴S△【变式15-2】综合与实践【问题情境】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，△ABC中，若AB=6，AC=4，求BC小明在组内和同学们合作交流后，得到了如下的解决方法：延长AD到E，使DE=AD，连接（1）由已知和作图能得到△ADC≌△EDBA．SSS

B．AAS

C．SAS

D．HL（2）由“三角形的三边关系”，可求得AD的取值范围是___________．解后反思：题目中出现“中点”“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中．[初步运用]（3）【答案】（1）C；（2）1<AD<5；（3【分析】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质、三角形三边关系等知识，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．（1）由全等三角形的判定定理解答即可；（2）根据三角形的三边关系计算；（3）延长AD到M，使AD=DM，连接BM，由SAS证得【详解】解：（1）∵AD是BC边上的中线，∴CD=在△ADC和△CD=∴△ADC故选：C；（2）∵AB-BE<∴2<AE∵AD=∴1<AD故答案为：1<AD（3）延长AD到M，使AD=DM，连接∵AE=EF，∴AC=∵AD是△ABC∴CD=∵在△ADC和△CD=∴△ADC∴BM=AC，∵AE=∴∠CAD∵∠AFE∴∠BFD∴BF=即BF=5基础巩固通关测基础巩固通关测1．（25-26八年级上·吉林长春·阶段练习）如图，△ABC沿边BC所在直线向右平移到△DEF，下列结论中不正确的是（A．△ABC≌△DEF B．∠DEF=∠B【答案】D【分析】本题考查了图形的平移，全等三角形的判定和性质，掌握图形平移的性质是解题的关键．根据图形平移是改变图形的位置，不改变其大小，对应边相等，对应角相等，由此即可求解．【详解】解：A、根据平移，△ABC≌△DEFB、根据对应角相等，则∠DEF=∠BC、根据平移的性质，△ABC≌△DEF，则BC=EF，那么BCD、根据平移可得AC=DF，AB=DE，但AB与故选：D．2．（25-26七年级上·山东泰安·阶段练习）已知，如图△ABC≌△ADE，AE=AC，∠A．60° B．90° C．80° D．20°【答案】D【分析】该题考查了全等三角形的性质，根据△ABC≌△ADE得出∠【详解】解：∵△ABC∴∠DAE∵∠DAE=∠DAB+∠BAE∴∠BAD故选：D．3．（25-26八年级上·甘肃张掖·阶段练习）贵州的传统建筑多采用木结构，其中榫卯结构是一种常见的连接方式，不仅美观，而且具有很强的稳定性和耐久性．如图，工匠将两块全等的木楔△ABC≌△DEF水平钉入长为10cm的长方形木条中（点B，C，A．2cm B．4cm C．6cm【答案】B【分析】本题考查了全等三角形的性质，解题的关键是利用全等三角形对应边相等的性质，结合已知线段长度进行计算．根据全等三角形△ABC≌△DEF得出BC=EF，再结合BE【详解】解：∵△ABC∴BC∵CF=2cm,∴BC∴木楔BC的长为4cm．故选：B．4．（25-26八年级上·江苏宿迁·期中）如图，AB=DB，∠1=∠2，添加下列条件，不能判定△ABCA．BC=BE BC．∠A=∠D【答案】B【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定定理（SAS、ASA、AAS）是解题的关键．根据已知条件AB=DB，∠1=∠2，得出∠DBE=∠ABC【详解】解：∵∠∴∠1+∠又∵AB选项A：∵BC=BE，∠∴△ABC≌△DBE选项B：虽然AC=DE，AB=DB，∠ABC=∠选项C：∵∠A=∠D∴△ABC≌△DBE选项D：∵∠ACB=∠DEB∴△ABC≌△DBE故选：B．5．（25-26八年级上·内蒙古乌兰察布·阶段练习）如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D，E是CD上一点，若△BDE≌△CDA，ABA．23 B．25 C．22 D．26【答案】B【分析】本题主要考查全等三角形的性质，掌握全等三角形的性质是解题的关键．由全等三角形的性质可得DE=DA,BE=【详解】解：∵△BDE∴DE=∴△BDE的周长BD∵AB=15,∴△BDE的周长为故选：B．6．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，在长方形ABCD中，AB=4,AD=6，延长BC到点E，使CE=2，连接DE，动点F从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿BC→CD→DA向终点A运动．设点F的运动时间为tsA．1 B．1或3 C．1或7 D．3或7【答案】C【分析】本题考查了全等三角形的性质．根据长方形的性质得到∠A【详解】在长方形ABCD中，∠A∴∠DCE∴∠A∵AB∴分两种情况：①当△ABF≌△DCE时，BF=CE由题意，得BF∴2t解得t=1②当△BAF≌△DCE时，AF=CE由题意，得AF∴16-2t解得t=7综上所述，以A,B,F三点为顶点构成的三角形与△DCE全等时，t故选：C．7．如图所示，在△ABC中，点E是BC边上一点，且AB＝EB，点D在AC上，连接BD，DE，若AD＝ED，∠A＝80°，∠CDE＝40°，则∠C的度数为°．【答案】40．【分析】证明△ABD≌△EBD（SSS），得∠BED＝∠A＝80°，再利用三角形外角定义即可解决问题．【解答】解：在△ABD和△EBD中，AB=∴△ABD≌△EBD（SSS），∴∠BED＝∠A，∵∠A＝80°，∠CDE＝40°，∴∠BED＝∠A＝80°，∴∠C＝80°﹣40°＝40°，故答案为：40．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是得到△ABD≌△EBD．8．如图，AB⊥CD，且AB＝CD，连接AD，CE⊥AD于点E，BF⊥AD于点F．若CE＝8，BF＝5，EF＝4，则AD的长为．【答案】9．【分析】只要证明△ABF≌△CDE（AAS），可得AF＝CE＝8，BF＝DE＝5，推出AD＝AF+DF即可得出答案．【详解】解：∵AB⊥CD，CE⊥AD，BF⊥AD，∴∠AFB＝∠CED＝90°，∠A+∠D＝90°，∠C＝∠D＝90°，∴∠A＝∠C，在△ABF和△CDE中，∠AFB∴△ABF≌△CDE（AAS），∴AF＝CE＝8，BF＝DE＝5，∵EF＝4，∴AD＝AF+DF＝8+（5﹣4）＝9，故答案为：9．【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．9．如图，在△ABC中，∠C＝90°，DE⊥AB于D，交AC于点E，若BC＝BD，AC＝6cm，BC＝8cm，AB＝10cm，则△ADE的周长是．【答案】8cm．【分析】连接BE，利用HL证明Rt△BCE与Rt△BDE全等，利用全等三角形的性质解答即可．【详解】解：连接BE，∵∠C＝90°，DE⊥AB于D，∴∠C＝∠BDE＝90°，在Rt△BCE与Rt△BDE中，BE=∴Rt△BCE≌Rt△BDE（HL），∴DE＝CE，∵AB＝10cm，BC＝8cm，AC＝6cm，∴△ADE的周长＝DE+AE+AD＝CE+AE+AB﹣BD＝AC+AB﹣BC＝6+10﹣8＝8（cm），故答案为：8cm．【点睛】此题考查全等三角形的判定和性质，关键是根据HL得出Rt△BCE与Rt△BDE全等解答．10．在△ABC中，AC＝5，中线AD＝7，则AB边的取值范围是．【答案】9＜AB＜19．【分析】如图，延长AD到E使DE＝AD，连接BE，通过证明△ACD≌△EBD就可以得出BE＝AC，在△AEB中，由三角形的三边关系就可以得出结论．【详解】解：延长AD到E使DE＝AD，连接BE，∵D是BC的中点，∴CD＝BD．在△ACD和△EBD中AD=∴△ACD≌△EBD（SAS），∴AC＝EB＝5．∵AD＝7，∴AE＝14．由三角形的三边关系为：14﹣5＜AB＜14+5，即9＜AB＜19．故答案为：9＜AB＜19．【点睛】本题考查了中线的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，三角形的三边关系的运用，解答时证明三角形全等是关键．能力提升进阶练能力提升进阶练11．（25-26八年级上·河南省直辖县级单位·阶段练习）如图，已知BD，CE是△ABC的高，点P在BD的延长线上，点Q在CE上，△AQC≌△PAB，AC和【答案】见解析【分析】本题主要考查全等三角形的性质，垂直的判定等知识；根据全等三角形的性质证明∠DAP【详解】证明：∵BD是△ABC∴BD⊥∴∠BDC∴∠DAP∵△AQC∴∠CAQ∴∠DAP即∠PAQ∴AP⊥12．已知：在△ABC和△DEF中，AB∥DE,AB=三个条件：①BE=CF；②AC=DF你选择的条件是_____（填写