第14章全等三角形（复习讲义）（学生版）-沪科版(2024)八上

第14章全等三角形（复习讲义）1.掌握全等三角形的定义，理解"完全重合"的含义，理解全等三角形的对应关系（对应顶点、对应边、对应角）.2.熟记5种判定方法（SSS/SAS/ASA/AAS/HL）及其适用条件,能准确运用判定定理证明三角形全等.3.会利用全等性质进行几何计算（求边长、角度等）,能解决实际生活中的测量问题（如河宽、高度测量）●一、全等三角形的概念★1、全等图形的概念：能够完全重合的两个图形叫做全等图形．【注意】全等形的形状相同，大小相同，与图形所在的位置无关，因此平移、翻折、旋转前后的图形全等．★2、全等三角形的有关概念和表示方法：（1）全等三角形：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形．（2）三角形全等的符号：“全等”用符号“≌”表示．全等的表示方法：△ABC≌△FDE【注意】在记两个三角形全等时，通常把对应顶点写在对应位置上．（3）对应顶点、对应边、对应角：把两个全等三角形重合到一起，重合的顶点叫做对应顶点；重合的边叫做对应边；重合的角叫做对应角．（4）寻找对应元素的规律①有公共边的，公共边一般是对应边；②有公共角的，公共角一般是对应角；③有对顶角的，对顶角一般是对应角；④两个全等三角形最大的边是对应边，最小的边也是对应边；⑤两个全等三角形最大的角是对应角，最小的角也是对应角.★32、三种常见的全等类型：（1）平移型；（2）翻折型；（3）旋转型.全等变化：一个图形经过平移、翻折、旋转后，位置变化了，但形状和大小都没有改变，即平移、翻折、旋转前后的两个图形全等．●二、全等三角形的性质★性质1：全等三角形的对应边相等．性质2：全等三角形的对应角相等．拓展：①全等三角形的对应边上的高、中线以及对应角的平分线相等．②全等三角形的周长相等，面积相等．【注意】①全等三角形的性质是证明线段和角相等的理论依据，应用时要会找对应角和对应边．②要正确区分对应边与对边，对应角与对角的概念，一般地：对应边、对应角是对两个三角形而言，而对边、对角是对同一个三角形的边和角而言的，对边是指角的对边，对角是指边的对角．●三、全等三角形的判定方法★★利用“SSS”判定两个三角形全等文字语言：三边分别相等的两个三角形全等，简写为“边边边”或“SSS”.几何语言：在△ABC和△DEF中，AB∴△ABC≌△DEF(SSS).★★利用“SAS”判定两个三角形全等1、文字语言：两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等，简写成“边角边”或“SAS”.2、几何语言：在△ABC和△DEF中，AB∴△ABC≌△DEF(SSS).3、方法：（1）已知两边，可以找“夹角”；（2）已知一角和这角的一夹边，可找这角的另一夹边【注意】1.有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等.2.说明两三角形全等所需的条件应按对应边的顺序书写.3.结论中所出现的边必须在所证明的两个三角形中.★★利用“ASA”判定两个三角形全等1、文字语言：有两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等(简写成“角边角”或“ASA”）.2、几何语言：在△ABC和△DEF中，∠∴△ABC≌△DEF(ASA).★★利用“AAS”判定两个三角形全等1、文字语言：两角和其中一角的对边分别相等的两个三角形全等.简写成“角角边”或“AAS”.2、几何语言：在△ABC和△DEF中，∠∴△ABC≌△DEF(AAS).★★利用“HL”判定两个三角形全等1、文字语言：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等(简写成“斜边、直角边”或“HL”).2、几何语言：∵∠C=∠C′=90°在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，AB∴Rt△ABC≌Rt△A′B′C′(HL).【注意】“SSA”可以判定两个直角三角形全等，但是“边边”指的是斜边和一直角边，而“角”指的是直角.3、判定两个直角三角形全等的方法：判定一般三角形全等的方法对判定两个直角三角形全等全部适用，因此我们可以根据“SSS”“SAS”“ASA”“AAS”“HL”这五种方法来判定两个直角三角形全等.题型一题型一全等三角形的概念【例1】（25-26八年级上·吉林·阶段练习）下列各组图形中，属于全等图形的是（

）A． B． C． D．【变式1-1】（25-26八年级上·云南昆明·阶段练习）下列各选项中的两个图形属于全等形的是（

）A． B．C． D．【变式1-2】（25-26八年级上·江苏徐州·阶段练习）下列汽车标志中，不是由多个全等图形组成的是（）A．丰田 B．奥迪C．雪铁龙 D．三菱【变式1-2】（25-26八年级上·广东东莞·阶段练习）下列说法正确的是（

）A．全等三角形是指形状相同的两个三角形B．全等三角形的周长和面积分别相等C．面积相等的两个三角形是全等三角形D．所有的等边三角形都是全等三角形题型题型二利用全等三角形的性质求角度【例2】（25-26八年级上·云南保山·阶段练习）如图，△ABC≌△A'B'A．107° B．73° C．56° D．51°【变式2-1】（25-26八年级上·河南驻马店·阶段练习）如图，△ABE≌△ACD，AB=AC，BE=CD，A．120° B．70° C．60° D．50°【变式2-2】（25-26八年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，△OAD≌△OBC，且∠O=80°，∠A．75° B．100° C．105° D．130°题型题型三利用全等三角形的性质求线段长【例3】（25-26八年级上·江苏连云港·阶段练习）如图，△ACE≌△DBF，AD=10，BCA．8 B．6 C．5 D．4【变式3-1】（25-26八年级上·安徽阜阳·阶段练习）如图，点B，C，D在同一直线上，若△ABC≌△CDE，DE=6，BD=20A．10 B．12 C．14 D．16题型题型四利用全等三角形的性质证明【例4】【变式4-1】已知△ABF≌△DCE，E与F是对应顶点．证明AF∥DE．【变式4-2】如图，△ADF≌△CBE，且点E，B，D(1)试判断AD与BC的位置关系，并证明你的结论；(2)试判断BF与DE的数量关系，并证明你的结论．题型题型五利用SAS证明全等【例5】（24-25八年级上·江苏徐州·阶段练习）如图，OA=OC，OB=OD，∠AOD=∠

【变式5-1】（25-26八年级上·江苏南通·阶段练习）如图，点A、E、F、C在一直线上，DE∥BF,【变式5-2】（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，AB=AE,∠题型题型六利用AAS证明全等【例6】如图，在Rt△ABC中，直角顶点A在直线l上，AB=AC，过点B、C分别作直线l的垂线，垂足分别为D、【变式6-1】（25-26八年级上·湖北十堰·阶段练习）如图，∠A=∠B，点D在AC边上，AE和BD(1)求证：∠2=∠(2)若∠1=∠2，AC【变式6-2】如图，△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，BE⊥AC，垂足为E，AD与BE(1)求证：△ADC(2)若DF=2，AF=3，求题型题型七利用ASA证明全等【例7】已知：如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，BC⊥CD，DE⊥AC于点E，AB＝CE，求证：△ABC≌△CED．【变式7-1】已知：如图，∠A＝∠B，AE＝BE，∠1＝∠2，点D在AC边上．求证：△AEC≌△BED．【变式7-2】如图，点C是线段AB的中点，∠B＝∠ACD，AD∥CE．求证：△ACD≌△CBE．题型题型八利用SSS证明全等【例8】如图，AB=DC，AC=【变式8-1】如图，点B、E、C、F在同一直线上，AB=DE，AC=DF，【变式8-2】如图，已知在△ADF和△CBE中，(1)△ADF(2)∠B题型题型九利用HL证明全等【例9】（23-24八年级下·山东济南·开学考试）如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E，F【变式9-1】如图，已知AD，BC相交于点O，AB＝CD，AM⊥BC于点M，DN⊥BC于点N，BN＝CM．求证：△ABM≌△DCN．【变式9-2】（25-26八年级上·山东菏泽·阶段练习）如图①，∠A=∠D=90°，AB=DC，点(1)求证：AF=(2)如图②，连接AE,DF，设DE,AF交于点G，过点G作GH⊥BC于点H，在不添加辅助线的前提下，直接写出图②中的4对全等三角形题型题型十添加条件使三角形全等式【例10】如图，已知∠1=∠2，则下列条件中，不能使△ABC≌△DCBA．AB=CD B．AC=BD C．【变式10-1】（25-26八年级上·浙江湖州·阶段练习）如图，已知∠CAE=∠BAD，AC=AD，增加下列条件：①AB=AE；②BC=ED；③A．①②③④ B．①②③ C．①②④ D．①③④【变式10-2】（25-26八年级上·陕西渭南·阶段练习）如图，已知AB⊥AC，CD⊥BD，若用“HL”判定A．AE=CE B．AB=DC C．【变式10-3】（25-26八年级上·全国·期中）如图，点C，F在线段BE上，∠ABC=∠(1)根据“SAS”，需添加的条件是；根据“HL”，需添加的条件是．(2)请从（1）中选择一种加以证明．题型题型十一全等三角形的实际应用【例11】如图，小虎用10块高度都是3cm的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板（AC＝BC，∠ACB＝90°），点C在DE上，点A和B分别与木墙的顶端重合，则两堵木墙之间的距离为cm．【变式11-1】如图，要测量池塘的长度，但点F，C之间不能直接测量，已知点B，F，C，E在同一条直线l上，小明想了个办法先在l的一边取了个点A，连接AB，再在l的另一边取了个点D，使得AB∥DE，且∠A(1)求证：△ABC(2)若BE=10m，BF=3【变式11-2】（25-26八年级上·辽宁抚顺·阶段练习）小丽与小琳在公园里荡秋千，如图，小丽坐在秋千的起始位置A处，OA与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，小琳在距OA水平距离BD=0.8m的B处接住她后用力一推，当秋千摆动到最高点C处时，小丽距离地面的高度EM为1m，已知∠BOC=90°，BD⊥OA于点D，(1)求证：△CEO≌(2)为了安全考虑规定户外秋千设置高度在2m以下，小丽所在公园的秋千高度OM题型题型十二全等三角形的性质与判定的综合【例12】（25-26八年级上·吉林松原·阶段练习）如图，BD=BC，BE=CA，(1)求证：△BDE(2)求∠AFD【变式12-1】（25-26八年级上·浙江温州·阶段练习）如图，△ABC中，AB=AC=4，BC=6，点D、E分别在BC、AC(1)求证：△ABD(2)直接写出AE的长．【变式12-2】（25-26八年级上·四川南充·阶段练习）如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，E为AC(1)求证：△BDF≌(2)若AF=2,FD=3【变式12-2】如图①，点A、E、F、C在一条直线上，AE＝CF，过点E、F分别作DE⊥AC，BF⊥AC．连接AB、CD，且使AB＝CD．（1）求证：BD平分EF；（2）若将△DEC的边EC沿AC方向移动，△BFA的边FA沿CA方向移动，变为如图②所示时，其余条件不变，上述结论是否还成立；若成立，请说明理由．题型题型十三一线三等角模型【例13】如图，∠ABC＝90°，FA⊥AB于点A，点D在直线AB上，AD＝BC，AF＝BD．（1）如图1，若点D在线段AB上，判断DF与DC的数量关系和位置关系，并说明理由；（2）如图2，若点D在线段AB的延长线上，其他条件不变，试判断（1）中结论是否成立，并说明理由．【变式13-1】如图，在△ABC中，AB=AC，DE是过点A的直线，BD⊥DE(1)若B、C在DE的同侧（如图所示）且AD=CE．求证：(2)若B、C在DE的两侧（如图所示），其他条件不变，AB与AC仍垂直吗？若是请给出证明；若不是，请说明理由．【变式13-2】（1）如图1，直线m经过等腰直角△ABC的顶点A，过点B、C分别作BD⊥m，CE⊥m，垂足分别为D、E，求证：BD+CE＝DE；（2）如图2，直线m经过△ABC的顶点A，AB＝AC，在直线m上取两点D，E，使∠ADB＝∠AEC＝α，补充∠BAC＝（用α表示），线段BD，CE与DE之间满足BD+CE＝DE，补充条件后并证明；（3）在（2）的条件中，将直线m绕着点A逆时针方向旋转一个角度到如图3的位置，并改变条件∠ADB＝∠AEC＝（用α表示）．通过观察或测量，猜想线段BD，CE与DE之间满足的数量关系，并予以证明．题型题型十四利用截长补短构造全等三角形【例14】如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠ABC、∠BCD的平分线交AD于点E．求证：AB+CD＝BC．【变式14-1】在“教、学、练、评一体化”学习活动手册中，全等三角形专题复习课，学习过七种作辅助线的方法，其中有“截长补短”作辅助线的方法．截长法：在较长的线段上截取一条线段等于较短线段；补短法：延长较短线段和较长线段相等．这两种方法统称截长补短法．请用这两种方法分别解决下列问题：已知，如图，在△ABC中，AB＞AC，∠1＝∠2，P为AD上任一点，求证：AB﹣AC＞PB﹣PC．【变式14-1】截长补短法”证明线段的和差问题：先阅读背景材料，猜想结论并填空，然后做问题探究．背景材料：（1）如图1：在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B＝∠ADC＝90°，E，F分别是BC，CD上的点，且∠EAF＝60°．探究图中线段BE，EF，FD之间的数量关系．探究的方法是，延长FD到点G．使DG＝BE，连接AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出的结论是．探索问题：（2）如图2，若四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E，F分别是BC，CD上的点，且∠EAF=12∠题型题型十五利用倍长中线构造全等三角形【例15】在通过构造全等三角形解决问题的过程中，有一种方法叫作倍长中线法，【举例】如图1，在△ABC中，AB>AC，AD是中线，延长AD至点E，使DE【应用】如图2，AB=AE，AB⊥AE，AD=AC，AD⊥【变式15-1】【发现问题】（1）数学活动课上，老师提出了如下问题：如图1，在△ABC中，AB=8，AC=6【探究方法】第一小组经过合作交流，得到了如下的解决方法：①延长AD到E，使得DE=AD；②连接BE，通过三角形全等把AB、AC、2AD转化在△ABE中；③利用三角形的三边关系可得方法总结：解题时，条件中若出现“中点”、“中线”字样，可以考虑倍长中线构造全等三角形【问题拓展】（2）如图2，OA=OB，OC=OD，∠（3）如图3，在（2）的条件下，若∠AOB=90°，延长EO交BD于点F，【变式15-2】综合与实践【问题情境】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，△ABC中，若AB=6，AC=4，求BC小明在组内和同学们合作交流后，得到了如下的解决方法：延长AD到E，使DE=AD，连接（1）由已知和作图能得到△ADC≌△EDBA．SSS

B．AAS

C．SAS

D．HL（2）由“三角形的三边关系”，可求得AD的取值范围是___________．解后反思：题目中出现“中点”“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中．[初步运用]（3）基础巩固通关测基础巩固通关测1．（25-26八年级上·吉林长春·阶段练习）如图，△ABC沿边BC所在直线向右平移到△DEF，下列结论中不正确的是（A．△ABC≌△DEF B．∠DEF=∠B2．（25-26七年级上·山东泰安·阶段练习）已知，如图△ABC≌△ADE，AE=AC，∠A．60° B．90° C．80° D．20°3．（25-26八年级上·甘肃张掖·阶段练习）贵州的传统建筑多采用木结构，其中榫卯结构是一种常见的连接方式，不仅美观，而且具有很强的稳定性和耐久性．如图，工匠将两块全等的木楔△ABC≌△DEF水平钉入长为10cm的长方形木条中（点B，C，A．2cm B．4cm C．6cm4．（25-26八年级上·江苏宿迁·期中）如图，AB=DB，∠1=∠2，添加下列条件，不能判定△ABCA．BC=BE BC．∠A=∠D5．（25-26八年级上·内蒙古乌兰察布·阶段练习）如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D，E是CD上一点，若△BDE≌△CDA，ABA．23 B．25 C．22 D．266．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，在长方形ABCD中，AB=4,AD=6，延长BC到点E，使CE=2，连接DE，动点F从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿BC→CD→DA向终点A运动．设点F的运动时间为tsA．1 B．1或3 C．1或7 D．3或77．如图所示，在△ABC中，点E是BC边上一点，且AB＝EB，点D在AC上，连接BD，DE，若AD＝ED，∠A＝80°，∠CDE＝40°，则∠C的度数为°．8．如图，AB⊥CD，且AB＝CD，连接AD，CE⊥AD于点E，BF⊥AD于点F．若CE＝8，BF＝5，EF＝4，则AD的长为．9．如图，在△ABC中，∠C＝90°，DE⊥AB于D，交AC于点E，若BC＝BD，AC＝6cm，BC＝8cm，A