《随机过程学习指导及习题解析》课件 第1章第9节布朗运动_第1页
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文档简介

1.布朗运动的引入；2.布朗运动的数学模型3.布朗运动的定义；4.布朗运动的分布；5.布朗运动的数字特征；布朗运动1.布朗运动的引入；Brown运动最初是由英国生物学家R.Brown于1827年根据观察花粉在液面上作”无规则运动”的物理现象而提出的.Einstein于1905年首次对这一现象的物理规律给出了一种数学描述,使这一课题有了显著的发展.Wiener于1918年对这一现象在理论上作出了精确的数学描述,并进一步研究的Brown运动的轨道性质,提出了在Brown运动空间上定义测度与积分.Brown运动作为具有连续参数和连续状态空间的一个随机过程,是一个最基本,最简单同时又是最重要的随机过程.许多其它的随机过程常常可以看作是它的泛函或某种意义下的推广.Brown运动及其推广广泛出现在许多科学领域中,如物理,经济,通信理论等.同时,由于Brown运动与微分方程有密切联系,它又成为概率与分析联系的重要渠道.2、布朗运动的数学模型以B(t)表示运动中一微粒从时刻t=0到时刻t>0的位移的横坐标，且设B(0)=0。由于微粒的运动是受到大量随机的、相互独立的分子碰撞的结果，于是:

粒子在时段(s,t]上的位移可看作是许多微小位移的 和，根据中心极限定理，假设位移B(t)-B(s)服从正 态分布是合理的。(2)由于粒子的运动完全由液体分子不规则碰撞而引起 的，这样，在不相重叠的时间间隔内，碰撞的次数、 大小和方向可假设相互独立，即B(t)具有独立增量， 同时B(t)的增量具有平稳性。3.Brown运动的定义不失一般性，仅仅讨论标准Brown运动4.布朗运动的分布：布朗运动是正态过程。证明：所以：布朗运动是正态过程。设X(t)为布朗运动，若对任意的n及任意的t1<t2<t3…,<tn

，n维随机变量(B(t1),…,B(tn))服从n维正态分布，即其概率密度为5、维纳过程的数字特征(1)维纳过程的均值函数、方差函数、协方差函数与相关函数为例:

设{B(t),t≥0}是以σ2

为参数的布朗过程,求下列过程的协方差函数:解:(1)设Z(t)=B(t)+At,则(1)B(t)+At,(A为常数);(2)B(t)+Xt,X为与{B(t),t≥0}相互独立的标准正态变量.(3)aB(t/a2),a

为正常数.(2)设Z(t)=B(t)+At,则均值为其中，因为X

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